一類四自由度混聯(lián)可重構(gòu)主模塊的全域靜剛度預(yù)估

孫 濤，宋軼民，李永剛,2，董 罡

(1. 天津大學機械工程學院，天津 300072；2. 天津職業(yè)技術(shù)師范大學機械工程學院，天津 300222)

一類四自由度混聯(lián)可重構(gòu)主模塊的全域靜剛度預(yù)估

孫 濤1，宋軼民1，李永剛1,2，董 罡1

(1. 天津大學機械工程學院，天津 300072；2. 天津職業(yè)技術(shù)師范大學機械工程學院，天津 300222)

為滿足國家飛機、汽車等零部件制造作業(yè)需求，提出了一種混聯(lián)可重構(gòu)機械手，與同體積的 Tricept機械手相比，該機械手能實現(xiàn)更大的工作空間，對其四自由度混聯(lián)主模塊的關(guān)鍵設(shè)計指標——靜剛度進行了研究.考慮到主模塊的拓撲構(gòu)型為混聯(lián)形式，將主模塊劃分為并聯(lián)子系統(tǒng)和串聯(lián)子系統(tǒng).在利用虛功原理和子結(jié)構(gòu)綜合思想分別建立并聯(lián)和串聯(lián)子系統(tǒng)靜剛度解析模型的基礎(chǔ)上，借助線性疊加原理構(gòu)造了球坐標系下主模塊的整體靜剛度解析模型.借助三維造型和有限元商用軟件對主模塊進行了建模和有限元分析，驗證了該主模塊整機靜剛度解析模型的有效性，并結(jié)合算例對四自由度混聯(lián)主模塊的靜剛度進行了全域預(yù)估.研究結(jié)果為研制具有我國自主知識產(chǎn)權(quán)的并/混聯(lián)構(gòu)型裝備提供了理論依據(jù).

混聯(lián)可重構(gòu)機械手；靜剛度預(yù)估；子系統(tǒng)；虛功原理；有限元分析

可重構(gòu)并聯(lián)構(gòu)型裝備(reconfigurable parallel kinematic machines)是指為滿足客戶需求進而可快速改變其結(jié)構(gòu)及軟、硬件形式與功能的構(gòu)型裝備，由美國Michigan大學Koren教授提出的這一概念極大地促進了可重構(gòu)構(gòu)型裝備的模塊化發(fā)展，為制造業(yè)提供了更多選擇[1].目前最成功的范例之一當屬西班牙PKM Tricept公司生產(chǎn)的 Tricept[2]系列模塊，該類模塊具有速度高、剛度大、可重構(gòu)性強等優(yōu)點，已被制成高檔數(shù)控機床或機器人，在波音、空中客車、大眾、通用等大型飛機和汽車制造廠商進行了應(yīng)用.Tricept機器人在工業(yè)上取得的巨大成功，引起了學術(shù)界的廣泛關(guān)注，文獻[3-7]對其運動學、精度、剛體動力學和靜剛度問題進行了較深入的研究.

從機構(gòu)拓撲構(gòu)型的角度，Tricept機器人是由一個球坐標并聯(lián)機構(gòu)和1個二自由度(2-degree-offreedom，2-DoF)末端執(zhí)行器組成，其中球坐標并聯(lián)機構(gòu)包含3條UP S支鏈和1條UP支鏈(U代表虎克鉸鏈、S代表球鉸鏈、P代表移動副、P 代表主動移動副).筆者在球坐標機構(gòu)和2-DoF末端執(zhí)行器之間加入了一個主動移動副P，構(gòu)成了一個可重構(gòu)機器人，包括1個4-DoF混聯(lián)可重構(gòu)主模塊和1個2-DoF末端執(zhí)行器.考慮此類構(gòu)型裝備主要應(yīng)用在大型結(jié)構(gòu)件加工、零部件裝配和白車身焊接等領(lǐng)域，靜剛度是其虛擬樣機設(shè)計與開發(fā)的重要性能指標之一.國內(nèi)外學者借助結(jié)構(gòu)矩陣法和螺旋理論等工具[8-9]對一些經(jīng)典并聯(lián)機床的靜剛度進行了分析，然而，與分析和設(shè)計工作主要集中在純并聯(lián)主模塊上不同，對主模塊為混聯(lián)模塊的研究相對匱乏.筆者首先將上述4-DoF混聯(lián)主模塊劃分為并聯(lián)和串聯(lián)2個子系統(tǒng)，在分別建立2個子系統(tǒng)靜剛度解析模型的基礎(chǔ)上，利用線性疊加原理構(gòu)建了4-DoF主模塊的整體剛度模型，并利用有限元方法(finite element analysis，F(xiàn)EA)驗證了其有效性，最后結(jié)合算例對其靜剛度進行了工作空間中的全域預(yù)估，為其虛擬樣機的設(shè)計和制造奠定了理論基礎(chǔ).

1 機構(gòu)描述

如圖1所示，新型可重構(gòu)機器人由1個4-DoF混聯(lián)可重構(gòu)主模塊和 1個 2-DoF末端執(zhí)行器組成.為構(gòu)造4-DoF主模塊的整機靜剛度模型，將其劃分為并聯(lián)子系統(tǒng)和串聯(lián)子系統(tǒng).并聯(lián)子系統(tǒng)包括 1個靜平臺、1個動平臺、3條無約束主動 UPS支鏈和 1條恰約束從動UP支鏈，而串聯(lián)子系統(tǒng)則由1條主動P支鏈構(gòu)成.3條 UP S支鏈的拓撲結(jié)構(gòu)完全相同，一端通過虎克鉸鏈與靜平臺相連，另一端通過球鉸鏈與動平臺相連接；UP支鏈一端通過虎克鉸鏈與靜平臺相連，另一端則與動平臺固接；主動 P 支鏈一端被包含在UP支鏈內(nèi)，另一端與 2-DoF末端執(zhí)行器固接，可相對于動平臺末端移動，而2-DoF末端執(zhí)行器是為了提高機器人的姿態(tài)能力.

圖1 4-DoF混聯(lián)主模塊虛擬樣機造型Fig.1 Virtual prototype of 4-DoF hybrid module

圖 2給出了 4-DoF混聯(lián)主模塊的結(jié)構(gòu)示意.圖中：點 Bi(i＝1，2，3)為 UPS支鏈 i的虎克鉸鏈的中心；點Ai為其球鉸鏈的中心；點O為UP支鏈虎克鉸鏈的中心；點 A4和點 P分別為并聯(lián)子系統(tǒng)和串聯(lián)子系統(tǒng)的末端參考點.不失一般性，靜平臺和動平臺平面為外接圓半徑分別等于b和a的2個等邊三角形平面.qi和 wi分別表示 UP S支鏈的長度和軸線的單位矢量，q4則表示并聯(lián)和串聯(lián)子系統(tǒng)的末端點之間的距離.在靜平臺平面內(nèi)，以點O為原點建立固定坐標系Oxyz，其中x軸與UP支鏈虎克鉸鏈外圈支承軸線重合，z軸與靜平臺平面垂直，而 y軸滿足右手定則.為描述動平臺姿態(tài)，以點A4為原點建立動坐標系A(chǔ)4uvw，其中 v軸與 UP支鏈虎克鉸鏈內(nèi)圈支承軸線重合，w軸與UP支鏈軸線重合并由點O指向點A4，u軸滿足右手定則.

圖2 4-DoF混聯(lián)主模塊結(jié)構(gòu)示意Fig.2 Schematic diagram of 4-DoF module

根據(jù)上述定義，系 A4uvw相對系Oxyz的姿態(tài)可通過首先繞x軸旋轉(zhuǎn)φ角，然后繞v軸旋轉(zhuǎn)θ角來實現(xiàn).據(jù)此，系A(chǔ)4uvw相對系Oxyz的姿態(tài)矩陣可表示為

式中wx、wy和wz是單位矢量w沿系Oxyz3個坐標軸的分量.

2 靜剛度解析模型

不失一般性，在構(gòu)造4-DoF混聯(lián)主模塊整體靜剛度解析模型時，假定各零部件靜變形均屬線彈性小變形范疇.假定靜、動平臺均為理想剛體，各鉸鏈所受約束均為理想約束，各軸承接觸變形可忽略不計.基于上述假定，在分別考察并、串聯(lián)子系統(tǒng)靜剛度的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了4-DoF混聯(lián)主模塊整體靜剛度解析模型.

2.1 并聯(lián)子系統(tǒng)靜剛度解析模型

以下暫將串聯(lián)子系統(tǒng)視為剛體，僅計因并聯(lián)子系統(tǒng)彈性而引起的4-DoF混聯(lián)主模塊的末端變形.

假定作用于串聯(lián)子系統(tǒng)末端參考點 P的6維載荷為FP，相應(yīng)的6維變形為ΔP，由虛功原理得

式中τ和Δ分別表示并聯(lián)子系統(tǒng)末端參考點A4的6維內(nèi)力及相應(yīng)的彈性變形.

式中 Kb和 K'b分別表示僅計并聯(lián)子系統(tǒng)彈性時 4-DoF混聯(lián)主模塊及其并聯(lián)子系統(tǒng)的靜剛度矩陣.

考慮到串聯(lián)子系統(tǒng)暫視為剛體，故下述變形映射成立

假定并聯(lián)子系統(tǒng)各支鏈末端內(nèi)力、變形及其靜剛度矩陣分別表示為 f、Δq和 K'q，由虛功原理及虎克定律可得

并聯(lián)子系統(tǒng)變形與其各支鏈末端變形的映射關(guān)系可表達為

式中：Ka和 Kc分別表示并聯(lián)子系統(tǒng)的驅(qū)動和約束靜剛度矩陣；kai表示第 i條 UPS支鏈的軸向剛度；Kcb表示 UP支鏈末端的等效彎曲剛度矩陣；kct表示 UP支鏈末端繞其軸向的扭轉(zhuǎn)剛度.其中，Ka和 Kc的具體表達如下.

如圖 3所示，由 UP S支鏈的具體機械機構(gòu)及其力傳遞關(guān)系知

式中：kaij(j＝1，7)分別表示 UPS支鏈球鉸鏈和虎克鉸鏈沿支鏈軸向的剛度；kaij(j＝2～6)分別表示 UPS支鏈伸縮桿、螺母、絲杠、軸承的軸向剛度.

UP支鏈僅受扭轉(zhuǎn)力時，由力的傳遞關(guān)系得

圖3 UPS支鏈結(jié)構(gòu)Fig.3 Schematic diagram of UPS limb

式中 kctj分別表示 UP支鏈套筒前段、后段及虎克鉸鏈繞UP支鏈軸向的扭轉(zhuǎn)剛度.

借助結(jié)構(gòu)力學理論，將 UP支鏈處理成超單元[10]，其彎曲剛度矩陣為

式中K'e的具體表達可參見文獻[10].

2.2 串聯(lián)子系統(tǒng)靜剛度解析模型

以下暫將并聯(lián)子系統(tǒng)視為剛體，僅計因串聯(lián)子系統(tǒng)彈性而引起的4-DoF混聯(lián)主模塊的末端變形.

假定作用于串聯(lián)子系統(tǒng)末端參考點 P的6維載荷為FP，相應(yīng)的6維變形為ΔP，由虛功原理得

式中，kPaj(j＝1，2，3，4)分別表示串聯(lián)子系統(tǒng)的伸縮桿、螺母、絲杠和軸承的軸向剛度；kPaj(j＝5)表示 UP支鏈與電機端軸承固接部分到末端的軸向剛度.

考慮到串聯(lián)子系統(tǒng)支鏈末端同時承受剪力、彎矩和扭矩，故將KPc寫為分塊矩陣形式

式中：kPt= G IP/q4表示串聯(lián)子系統(tǒng)支鏈末端的扭轉(zhuǎn)剛度；KPb表示串聯(lián)子系統(tǒng)支鏈末端的彎曲剛度矩陣，利用超單元方法可得

式中，EI為P 支鏈伸出部分的抗彎截面模量.

圖4 UP支鏈和P支鏈的結(jié)構(gòu)Fig.4 Schematic diagram of UP and Plimbs

2.3 4-DoF主模塊靜剛度解析模型

借助線性疊加原理，可得在4-DoF主模塊末端參考點P處的載荷作用下，主模塊靜剛度矩陣為

式中K表示4-DoF混聯(lián)主模塊的整機靜剛度矩陣.

為便于觀察整機靜剛度的分布情況，可將 K轉(zhuǎn)化至如圖 5所示的球坐標系 Pu''v''w''下.其中，w''軸與 UP支鏈軸線重合，v''、w''軸分別與進動角 ψ、章動角θ的正向一致.

圖5 4-DoF主模塊球坐標系Fig.5 Spherical coordinate system of 4-DoF module

3 靜剛度解析模型驗證

假定4-DoF混聯(lián)主模塊的工作空間為一半徑1,000,mm、高 300,mm 的圓柱體，借助尺度綜合可得該主模塊的其他尺度參數(shù)，進而可利用商用三維造型軟件構(gòu)造該4-DoF混聯(lián)可重構(gòu)主模塊的物理樣機模型，如圖1所示.在此基礎(chǔ)上，利用商用有限元軟件可建立4-DoF混聯(lián)主模塊的有限元模型，考慮到商用有限元軟件ANSYS僅能解決離散位姿的靜剛度預(yù)估問題，為驗證靜剛度解析模型的有效性，可針對工作空間中的典型位姿Ⅰ和Ⅱ(見圖 6)，構(gòu)造其虛擬樣機的有限元模型，并求其末端的各向剛度.同時，表1～表3給出了4-DoF主模塊各零部件的剛度參數(shù)值.

圖6 工作空間中的典型位姿Fig.6 Point position in workspace

表1 UPS支鏈線剛度Tab.1 Axial stiffness of UPS limb

表2 UP支鏈角剛度Tab.2 Torsional stiffness of UP limb

表3 P支鏈線剛度Tab.3 Axial stiffness of Plimb

根據(jù)上述 4-DoF混聯(lián)可重構(gòu)主模塊的靜剛度解析模型和有限元模型，可得在其工作空間中2個典型位姿處的解析模型和有限元模型的計算結(jié)果，如表 4所示.在未計入靜/動平臺彈性和忽略軸承接觸變形的前提下，解析模型和有限元模型的計算結(jié)果已比較接近，兩者的最大差值小于 13%，因此上述所建立的4-DoF混聯(lián)主模塊的整機靜剛度解析模型是有效的，可用于后續(xù)的靈敏度分析、靜剛度預(yù)估和設(shè)計等.

表4 解析模型與有限元模型計算結(jié)果比較Tab.4 Comparison of analytical and FEA models result

4 靜剛度全域預(yù)估

本文所建立的4-DoF混聯(lián)主模塊的整機靜剛度解析模型已經(jīng)借助有限元方法驗證了其有效性，利用表 1～表 3中的各零部件的剛度參數(shù)值，在球坐標系Pu''v''w''下，借助數(shù)值算法可得4-DoF主模塊工作空間上中下3個平面上的靜剛度分別情況，如圖7所示.圖中：kpφ、kpθ、kpr分別表示 u''向、v''向、w''向的線剛度；kαφ、kαθ、kαr分別表示繞u''向、v''向、w''向的角剛度.

如圖7所示，4-DoF混聯(lián)主模塊末端的各向剛度均呈近似三對稱分布，且均在 z軸取得最大值；kpr與kαr的分布規(guī)律近似，且均隨章動角 θ的增大而單調(diào)遞減；在工作平面的邊緣處，kpφ與 kαφ(kpθ與 kαθ)的分布規(guī)律相反，若前者取得極小值則后者取得極大值，反之亦然；此外，工作平面距靜平臺平面的距離愈小，其對應(yīng)的線(角)剛度分布曲面的位置“愈高”.換言之，UP/P 支鏈伸長量愈小，整機靜剛度性能愈好.

圖7 4-DoF混聯(lián)主模塊靜剛度在工作空間上中下3個平面的分布Fig.7 Stiffness distribution of 4-DoF module over upper, middle and bottom planes in workspace

利用相同的方法可求得 4-DoF混聯(lián)主模塊工作空間中的任意一點的靜剛度值，從而完成其在工作空間中的全域剛度預(yù)估，為4-DoF混聯(lián)主模塊的虛擬樣機的設(shè)計奠定理論基礎(chǔ).

5 結(jié) 論

面向國家飛機、汽車等零部件制造需求，對一類4-DoF混聯(lián)主模塊的全域靜剛度預(yù)估問題進行了研究，為研制具有我國自主知識產(chǎn)權(quán)的并/混聯(lián)構(gòu)型裝備提供了理論依據(jù).結(jié)論如下：

(1) 考慮到4-DoF主模塊的混聯(lián)特性，借助子結(jié)構(gòu)綜合的思想，分別建立了其并聯(lián)和串聯(lián)子系統(tǒng)的靜剛度模型，進而利用線性疊加原理得到了4-DoF混聯(lián)主模塊的整機靜剛度模型.

(2) 借助商用三維造型和有限元軟件，構(gòu)建了4-DoF主模塊工作空間中典型位姿的虛擬樣機模型，進行了有限元分析，并將其結(jié)果與解析模型的結(jié)果進行了比照，兩者最大差值小于 13%，驗證了整機靜剛度解析模型的有效性.

(3) 利用經(jīng)過驗證的整機靜剛度解析模型，借助數(shù)值算法得到了4-DoF主模塊工作空間上中下3平面的剛度分布情況，揭示了其分布規(guī)律.

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Global Stiffness Estimation of 4-DoF Hybrid and Reconfigurable Module

SUN Tao1，SONG Yi-min1，LI Yong-gang1,2，DONG Gang1
(1. School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. School of Mechanical Engineering，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China)

In this paper a hybrid and reconfigurable robot is presented in order to meet the demands of the component manufacture of aeroplanes and automobiles. Compared with the well-known Tricept robot, the unique topology of this robot leads to larger workspace. To ensure better performance of the virtual prototype design, an analytical approach is presented for evaluating the stiffness distribution throughout the workspace. The 4-degree-of-freedom (4-DoF) hybrid and reconfigurable main module in this novel robot is firstly decomposed into parallel and serial subsystems, after developing the stiffness analytical model of each subsystem based upon the principle of virtual work and the substructure synthesis method respectively. The stiffness model of the entire system in the spherical coordinate system is then formulated with resort to the linear superposition principle, whose validity can be further proved by 3D modeling and finite element analysis (FEA) software. Finally, the stiffness distribution of the 4-DoF main module may be investigated over the global workspace. The results mentioned above lay the theoretical basis for the design and manufacture of parallel/hybrid mechanism with Chinese intellectual property rights.

hybrid and reconfigurable robot；stiffness estimation；subsystem；virtual work principle；finite element analysis

TP241

A

0493-2137(2010)11-1003-06

2009-09-15；

2010-03-12.

國家自然科學基金資助項目(50675151，51075295)；國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃(863計劃)重點資助項目（2007AA042001)；教育部博士點基金資助項目（20060056018）.

孫 濤（1983— ），男，博士研究生，suntaotju@gmail.com.

宋軼民，ymsong@tju.edu.cn.