P波作用下地下輸流管道的動(dòng)力響應(yīng)分析

王鐵成，王 卉

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072；2. 天津市土木工程結(jié)構(gòu)及新材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

隨著我國(guó)工業(yè)的迅速發(fā)展，輸流管道系統(tǒng)已經(jīng)越來(lái)越廣泛地應(yīng)用于許多領(lǐng)域，關(guān)于輸流管道振動(dòng)問(wèn)題已有一些方法和研究成果[1-6]．地下結(jié)構(gòu)對(duì)地震波的波動(dòng)散射問(wèn)題，多年來(lái)一直是國(guó)內(nèi)外頗引人注目的研究課題之一[7-8]，但對(duì)于地震波散射問(wèn)題中地下輸流管道的流固耦合研究還鮮見(jiàn)報(bào)道．為了揭示管道內(nèi)流體對(duì)入射波散射特性的影響，本文采用波動(dòng)解析復(fù)變函數(shù)法[9]，建立地下輸流管道的流固耦聯(lián)波函數(shù)，對(duì)地下輸流管道的波動(dòng)散射動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解，結(jié)合地下工程實(shí)例，研究地下輸流管道在地震P波作用下引起的動(dòng)應(yīng)力集中問(wèn)題，考慮管道內(nèi)無(wú)黏結(jié)可壓縮流體的作用，對(duì)入射波空間頻率、入射角度及管道埋深等參數(shù)進(jìn)行分析，針對(duì)給出的具體算例進(jìn)行討論．

1 理論分析

1.1 輸流管道模型

如圖1所示，平面P波沿垂直于管道軸向的任意方向入射到地下輸流管道中．計(jì)算模型如圖 2所示，穩(wěn)態(tài)平面 P波以α角度入射，管道的中心坐標(biāo)為(1x，1y)，中心到地表距離為h，管道半徑為a，內(nèi)孔半徑為b；半空間自由地表采用外凸大圓弧近似方法[10]，大圓弧中心坐標(biāo)為(2x，2y)，半徑為l．

圖1 地下輸流管道模型Fig.1 Model of underground liquid-filled pipe

圖2 地下輸流管道計(jì)算模型Fig.2 Geometrical model of underground liquid-filled pipe

1.2 控制方程

為便于分析問(wèn)題，將位移場(chǎng)轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)形式

式中θ為極軸r與x軸的夾角．極坐標(biāo)下的應(yīng)力場(chǎng)為

1.3 可壓縮流體中的聲波方程

設(shè)流體密度和壓強(qiáng)變化是在常數(shù)背景下擾動(dòng)，流體的運(yùn)動(dòng)方程可表示為

式中：ρ0為流體在擾動(dòng)前的密度；p′為擾動(dòng)壓強(qiáng)；v為流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度；t為擾動(dòng)時(shí)間．

式(12)即為流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的速度勢(shì)滿足的波動(dòng)方程．與固體彈性動(dòng)力方程比較，壓強(qiáng)相當(dāng)于應(yīng)力，密度相當(dāng)于應(yīng)變，質(zhì)點(diǎn)流速相當(dāng)于位移．

1.4 入射波場(chǎng)的波函數(shù)

式中：P0為入射 P波勢(shì)振幅；P1、P2為P波和 SV波的反射系數(shù)，其表達(dá)式分別為

1.5 管道內(nèi)的駐波場(chǎng)波函數(shù)

當(dāng)入射P波到達(dá)管道的表面時(shí)，由于入射波與管道表面的相互作用，一部分波反射和散射到周圍介質(zhì)中，還有一部分波透射到管道內(nèi)部，透射到管道內(nèi)的P波發(fā)生波型轉(zhuǎn)換，在固體中以透射P波和透射轉(zhuǎn)換SV波的形式存在，而透射到管內(nèi)液體中的波型只有透射P波而無(wú)轉(zhuǎn)換SV波．這樣管道內(nèi)的駐波場(chǎng)分別為固體駐波場(chǎng)和流體駐波場(chǎng)，其駐波場(chǎng)位移勢(shì)函數(shù)可分別由Hankel函數(shù)的線性組合構(gòu)成．

其中管道固體駐波位移勢(shì)函數(shù)為

考慮管內(nèi)流體性質(zhì)為非黏性、可壓縮流體，其位移勢(shì)函數(shù)滿足波動(dòng)方程式(12)

式中 cl為流體中的縱波波速．

對(duì)于穩(wěn)態(tài)情況，流體的位移勢(shì)函數(shù)φ( x , y, t )要滿足Helmholtz波動(dòng)方程

式中：流體位移勢(shì)函數(shù)φ與時(shí)間的依賴關(guān)系為 e-iωt(以下略去諧和因子 e-iωt)；kPl為入射波在流體中的波數(shù)，kPl=ω/cl．

局限在流體內(nèi)的駐波只有縱波位移勢(shì)而無(wú)剪切波位移勢(shì)，在復(fù)坐標(biāo)(z1)下管道內(nèi)的流體駐波位移勢(shì)函數(shù)用Bessel函數(shù)表示得

1.6 邊界條件

在充滿液體的管道中，管道應(yīng)力受流體駐波影響．假設(shè)管道中的液體為非黏性可壓縮流體，在管道和流體的接觸面上，由于沒(méi)有考慮液體的黏性，管道的環(huán)向位移 uθΙΙ可能與管內(nèi)流體的環(huán)向位移 uθΙ不同．各邊界條件分別為

2 算例與結(jié)果

引入邊界條件，將各波場(chǎng)中的位移勢(shì)函數(shù)代入式(4)～式(8)的位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)中，即可求得各待定系數(shù)，再由式(6)和式(7)得到管道內(nèi)的徑向和環(huán)向動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)[11]

設(shè)管道的等效彈性模量 E = 3 .0× 1 04MPa，泊松比v= 0 .3，管道內(nèi)流體性質(zhì)為水，體積彈性模量K= 2 .0× 1 03MPa．管道外壁半徑為a，內(nèi)壁半徑為b，取無(wú)量綱管壁厚度 a / b = 1 .2，管道埋深為 h / b = 2 、12．定義無(wú)量綱空間頻率η=2b/λ，該參數(shù)反映了地下輸流管道的內(nèi)徑與巖土介質(zhì)中的 SV波波長(zhǎng)的比值．無(wú)量綱空間頻率η取0.5、1.0和2.0．場(chǎng)地介質(zhì)的動(dòng)剪切模量取μ=700MPa，泊松比v=0.3，剪切波速cS= 5 00m/s．采用Fortran語(yǔ)言編制計(jì)算程序，截?cái)嘤邢揄?xiàng)對(duì)其進(jìn)行求解．

圖3和圖4給出了P波作用下，地下輸流管道在不同埋深下的環(huán)向和徑向動(dòng)應(yīng)力集中分布，圖 3(a)和圖 3(c)為管道內(nèi)壁受入射 P波作用所產(chǎn)生的環(huán)向動(dòng)應(yīng)力集中分布，圖 3(b)和圖 3(d)為管道受內(nèi)流的影響所產(chǎn)生的徑向動(dòng)應(yīng)力集中分布．從環(huán)向應(yīng)力分布圖中可以看出，掠入射下淺埋管道的環(huán)向應(yīng)力峰值較小，當(dāng)入射波自管道下方垂直入射時(shí)，應(yīng)力峰值對(duì)稱分布于管道兩側(cè)，并出現(xiàn)較大的峰值點(diǎn)，埋深對(duì)掠入射下的峰值應(yīng)力影響較大，而垂直入射下管道的峰值應(yīng)力受埋深的影響較?。芄軆?nèi)流體作用，入射 P波對(duì)管道產(chǎn)生的徑向動(dòng)應(yīng)力集中分布受入射空間頻率的影響較大，在低頻波作用下徑向應(yīng)力沿管周均勻分布，當(dāng)頻率增大時(shí)，管道內(nèi)流體震蕩影響了分布形態(tài)，埋深對(duì)掠入射下徑向應(yīng)力的影響大于垂直入射．

圖5給出了P波入射，有液管道與無(wú)液管道的環(huán)向動(dòng)應(yīng)力集中分布的對(duì)比.由圖 5可以看出，低頻域下有液和無(wú)液管道的動(dòng)應(yīng)力集中峰值點(diǎn)較多，隨著入射波空間頻率的增加，應(yīng)力集中程度呈衰減趨勢(shì)；有液管道與無(wú)液管道的環(huán)向應(yīng)力集中分布差別不明顯，僅在低頻入射下無(wú)液管道的應(yīng)力峰值略高于有液管道，當(dāng)空間頻率增大時(shí)有液與無(wú)液管道的環(huán)向應(yīng)力峰值基本相同，說(shuō)明管內(nèi)流體對(duì)管道的應(yīng)力影響以徑向?yàn)橹鳎?/p>

圖3 輸流管道內(nèi)壁的環(huán)向和徑向動(dòng)應(yīng)力集中分布( / 2h b= )Fig.3 Distribution of loop and radial dynamic stress concentration in liquid-filled pipe( / 2h b= )

圖4 輸流管道內(nèi)壁的環(huán)向和徑向動(dòng)應(yīng)力集中分布( / 12h b= )Fig.4 Distribution of loop and radial dynamic stress concentration in liquid-filled pipe( / 12h b= )

圖5 不同入射頻率下有液和無(wú)液管道的環(huán)向動(dòng)應(yīng)力集中Fig.5 Loop dynamic stress concentration of pipe with and without liquid at different incident frequencies

3 結(jié) 語(yǔ)

本文采用復(fù)變函數(shù)法，研究了地下輸流管道受地震P波作用引起的動(dòng)應(yīng)力集中問(wèn)題，考慮了管道內(nèi)無(wú)黏結(jié)可壓縮流體的作用，分析了無(wú)量綱的入射空間頻率、入射角度及管道埋深對(duì)地下輸流管道動(dòng)應(yīng)力集中的影響．分析結(jié)果表明：管內(nèi)流體對(duì)管道的動(dòng)應(yīng)力集中分布的影響以徑向?yàn)橹?，在低頻入射波作用下管內(nèi)流體對(duì)管道的徑向動(dòng)應(yīng)力集中沿管周呈均勻分布；頻率增加，管內(nèi)流體震蕩明顯增強(qiáng)，影響了管道的徑向動(dòng)應(yīng)力集中的分布形態(tài)．管道埋深對(duì)輸流管道動(dòng)應(yīng)力集中分布的影響在掠入射下較為明顯，埋深越深，應(yīng)力峰值越高．低頻域下有液和無(wú)液管道的環(huán)向動(dòng)應(yīng)力集中峰值點(diǎn)較多，隨著入射波頻率的增加，應(yīng)力集中程度呈衰減趨勢(shì)．

［1］Fuller C R. Monopole excitation of vibrations in all infinite cylindrical elastic shell filled with fluid[J]. ASMEJournal of Sound and Vibration，1984，96(1)：101-110.

［2］Jong C A F. Analysis of Pulsations and Vibrations Influid-Filled Pipe Systems[D]. Eindhoven：Eindhoven Uni-versity of Technology，1994.

［3］Hatfield F J，Wiggert D C. Seismic pressure surges in liquid-filled pipelines[J].J Pressure Vessel Technol，1990，112(3)：279-283.

［4］Sender C，Li G X，Paidoussis P M. The nonlinear equations of motion of pipe conveying fluid[J].Journal of Sound and Vibration，1994，169(5)：577-599.

［5］Williams E G. Structural intensity in thin cylindrical shells[J].Journal of the Acoustic Society of America，1991，89(4)：1615-1622.

［6］Pavic G. Vibrational energy flow in elastic circular cylindrical shells[J].Journal of Sound and Vibration，1990，142(4)：293-310.

［7］史文譜，劉殿魁，林 宏，等.半無(wú)限空間中穩(wěn)態(tài) P波在襯砌周圍的散射[J]. 地震工程與工程振動(dòng)，2002，22(3)：19-26.

Shi Wenpu，Liu Diankui，Lin Hong，et al. Scattering of steady P-wave around a circular lining in half space[J].Earthquake Engineering and Engineering Vibration，2002，22(3)：19-26(in Chinese).

［8］紀(jì)曉東，梁建文，楊建江. 地下圓形襯砌洞室在平面 P波和 SV波入射下動(dòng)應(yīng)力集中問(wèn)題的級(jí)數(shù)解[J]. 天津大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，39(5)：511-517.

Ji Xiaodong，Liang Jianwen，Yang Jianjiang. On dynamic stress concentration of an underground cylindrical lined cavity subjected to incident plane P and SV waves[J].Journal of Tianjin University，2006，39(5)：511-517(in Chinese).

［9］Liu Diankui，Gai Bingzheng，Tao Guiyuan. Applications of the method of complex function to dynamic stress concentration[J].Wave Motion，1982，5(4)：293-304.

［10］Davis C A，Lee V W，Bardet J P. Transverse response of underground cavities and pipes to incident SV waves[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics，2001，30：383-410.

［11］Pao Y H，Mow C C.Diffraction of Elastic Waves and Dynamics Stress Concentrations[M]. New York：Crane，Russak & Company Inc，1973.