從高斯公式到高斯定理＊

陳修芳

（武漢工業(yè)學(xué)院，湖北 武漢 430023）

俗話說，“數(shù)理不分家”，主要是說數(shù)學(xué)中的理論來源于物理實(shí)踐，反過來又可以應(yīng)用于物理。理論上，大學(xué)物理教師的主要任務(wù)是提出物理概念，建立物理模型，至于模型計算如求導(dǎo)積分等只要交給學(xué)生利用數(shù)學(xué)工具去解決就可以了。

數(shù)學(xué)中的高斯公式是曲面積分的一個重要公式。設(shè)空間區(qū)域V由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面S圍成。若函數(shù)P，Q，R在V上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則：

而高斯定理是靜電學(xué)中的一個重要定理。［2］在靜電場中，高斯定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

教科書上一般都是利用點(diǎn)電荷的電場線的特點(diǎn)和位于球面球心的點(diǎn)電荷在球面上產(chǎn)生的電通量這個特例及電場線的特點(diǎn)和電場強(qiáng)度的疊加原理來證明高斯定理，［3］這種證明雖然較為簡單，但學(xué)生較難理解。下面利用高斯公式推導(dǎo)高斯定理：

見圖1，閉合曲面為球面S（方程 x2＋y2＋z2＝R2），其所圍的立體為V，單位正電荷q放在球心。點(diǎn)電荷在球面上的電場強(qiáng)度為是由點(diǎn)電荷q指向球面的單位矢量。由于球面指向外側(cè)的法向量為故通過高斯面的電通量可寫成：

根據(jù)高斯公式，有：

若包含點(diǎn)電荷的閉合曲面為任意的，由于電場線不會在無電荷的地方中斷，因此，通過任意閉合曲面的電通量與上式相等，若高斯面內(nèi)包含多個電荷，根據(jù)矢量疊加原理，就可以得出高斯定理

圖1 高斯面上電場強(qiáng)度示意圖

高斯公式和高斯定理雖然表面形式不同，但從高斯公式推導(dǎo)出高斯定理，不僅使我們在電磁學(xué)中較容易地引進(jìn)高斯定理，而且使學(xué)生對高斯定理有比較準(zhǔn)確地、深刻地理解，更重要的是對學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識的能力的一個訓(xùn)練，收到較好的效果。

1 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2005

2 施傳柱.關(guān)于高斯定律應(yīng)用的探討［J］.曲靖師專學(xué)報，1996（6）：20～21

3 馬文蔚.物理學(xué)中冊（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2008