離心力對高速主軸軸承內(nèi)環(huán)過盈配合特性的影響

張 霞 路長厚

（山東大學機械工程學院，山東 濟南 250061）

機床主軸是高速機床的核心部件，其性能好壞在很大程度上決定了整臺機床的加工精度和生產(chǎn)效率［1］。主軸組件中，滾動軸承內(nèi)圈與主軸通常以過盈配合聯(lián)接，過盈量的大小會影響軸承工作游隙，繼而影響主軸的剛度、旋轉(zhuǎn)精度以及主軸和軸承的使用壽命。過盈量過大會使軸承裝配困難，甚至破壞配合表面；過盈量過小則會造成配合面打滑，加劇主軸、軸承的磨損和溫升。因此，機床主軸與軸承內(nèi)圈間的過盈配合特性是影響主軸性能的重要因素之一。

高速機床主軸的工作轉(zhuǎn)速較高，其DN 值甚至超過了1.0 ×106mm·r/min。軸承內(nèi)圈和主軸在很大的離心力作用下，會在徑向產(chǎn)生不同程度的膨脹，使內(nèi)圈與主軸之間的配合過盈量發(fā)生變化。傳統(tǒng)的過盈配合設計是以拉美（Lame）方程為基礎，并在俄羅斯學者加道林院士提出的組合圓筒理論基礎上進行的［2］?；诶婪匠毯秃癖谕苍淼膫鹘y(tǒng)方法存在著一定局限性，只停留在滿足靜態(tài)扭矩傳遞需求上，而沒有考慮主軸高速旋轉(zhuǎn)時離心力對聯(lián)結(jié)狀態(tài)的影響，因此只適用于較低轉(zhuǎn)速下。近年來國內(nèi)外一些學者基于非線性有限元方法對高速主軸與轉(zhuǎn)子之間的過盈配合特性作了研究，將兩者均簡化為厚壁圓筒［3-4］。由于軸承與轉(zhuǎn)子存在外形尺寸及結(jié)構(gòu)的較大差異，所以不能將這兩種情況完全等效。因此有必要采用適合軸承內(nèi)圈的更加合理的假設，在離心力成為主要載荷的情況下，分析過盈量與轉(zhuǎn)速、接觸應力與轉(zhuǎn)速間的關(guān)系，為高速主軸與軸承間過盈配合的設計提供理論依據(jù)。

高速離心力對軸承的內(nèi)環(huán)與軸、外環(huán)與孔及滾動體與內(nèi)外環(huán)的配合特性均有重要影響。本文僅就離心力對內(nèi)環(huán)與軸的配合特性的影響進行研究。

1 初始過盈量的確定

高速主軸與軸承內(nèi)環(huán)間常采用過盈配合，因此正確地確定過盈量，并從工作的可靠性和經(jīng)濟性的原則出發(fā)，合理地運用標準，選擇相應的配合，是高速主軸過盈配合設計的基本工作［2］。工作于高速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下主軸與軸承內(nèi)圈的配合，其接觸面上的變形和接觸應力由于離心力的作用而變化，這種變化在通常使用的轉(zhuǎn)速下一般忽略不計。但在研究轉(zhuǎn)速較高的聯(lián)結(jié)時，必須分析變形、接觸應力與轉(zhuǎn)速間的關(guān)系，為主軸/軸承聯(lián)結(jié)的設計和優(yōu)化提供理論依據(jù)［5］。

假設高速主軸與軸承的結(jié)構(gòu)如圖1 呈軸對稱，以等角速度ω 繞其軸線旋轉(zhuǎn)，離心力為ρω2r，應力沿厚度方向沒有變化。將離心力作為徑向單位體積力作用于主軸和軸承內(nèi)圈上，軸承內(nèi)圈寬度和壁厚遠小于其直徑，將其簡化為薄壁圓環(huán)，按平面應力問題求解；而空心主軸簡化為厚壁圓筒，按平面應變問題求解。在分析中，不考慮由于轉(zhuǎn)動所引起的切向剛性位移分量，僅考慮其相對變形部分。所作的分析是以遠離封閉端的中間截面為對象，且相同半徑處的所有點將產(chǎn)生同樣大小的位移。

1.1 軸承內(nèi)徑徑向位移

由于軸承內(nèi)環(huán)是軸對稱的，因此在極坐標系中，應力與位移是軸對稱的，配合件的切向位移和剪應力為零。根據(jù)彈性力學原理，應力函數(shù)只是徑向尺寸r 的函數(shù)，與極角無關(guān)。由幾何方程可得應變分量為

平面應力下的物理方程為

式中：εr、εθ分別代表徑向和環(huán)向應變分量；σr，σθ分別代表徑向和環(huán)向應力；u 為徑向位移；E 為軸承內(nèi)圈材料的彈性模量；μ 為軸承內(nèi)圈材料的泊松比。

高速旋轉(zhuǎn)的軸承內(nèi)圈因離心力引起徑向位移，其在極坐標系的平衡微分方程簡化為［6］

式中：ρ 為軸承內(nèi)圈材料密度；ω 為旋轉(zhuǎn)角速度；r 為徑向半徑。

聯(lián)立式（1）、（2）、（3）得

其一般解為

并代入式（1）、（2）有

如圖2 所示，對于高速旋轉(zhuǎn)的軸承內(nèi)圈，假設其溝道和內(nèi)圈外徑表面不受力，內(nèi)徑表面過盈安裝于主軸上，且承受均勻壓力p。內(nèi)圈尺寸為2b，用內(nèi)溝尺寸2c近似模型中的外環(huán)尺寸，將該內(nèi)圈的邊界條件r=b，σr=-p；r=c，σr=0，代入式（6）可得C1和C2，再將C1和C2代入式（5），令r=b，可得到內(nèi)圈內(nèi)徑的徑向位移為

1.2 主軸外徑徑向位移

將空心主軸簡化為厚壁圓筒，按平面應變問題求解，可得平面應變下的物理方程為

聯(lián)立以上式（1）、（3）、（8）可得：

其一般解為

代入式（1）、（8）有

如圖2，空心主軸外徑受配合壓力p，內(nèi)徑表面自由，由邊界條件r=b，σr=-p；r=a，σr=0 代入式（10）可以求得C1、C2，再將C1和C2代入式（9），并令r=b，可以得到主軸外徑的徑向位移為

1.3 考慮離心力時所需要的過盈量

機床主軸與軸承內(nèi)圈過盈配合，當主軸高速旋轉(zhuǎn)時，一方面由于離心力的作用，會引起軸承內(nèi)圈內(nèi)徑擴張，主軸外徑膨脹，從而引起過盈量變化；另一方面，軸承內(nèi)圈內(nèi)徑尺寸因受配合壓力的作用而增大，主軸外徑尺寸因配合壓力的作用而減小。此時，內(nèi)圈與主軸配合所需的過盈量可按下式計算：

其中，式（12）前一項Is與轉(zhuǎn)速無關(guān)，它與配合面間的壓力成正比，后一項Ii是內(nèi)圈和主軸由于離心力的作用而需要的過盈量，在主軸軸承結(jié)構(gòu)尺寸一定的情況下與主軸轉(zhuǎn)速的平方成正比。另外，所確定的過盈量應滿足主軸及軸承內(nèi)圈的強度。

2 高速旋轉(zhuǎn)主軸過盈配合的仿真模擬

近年來，隨著計算機軟硬件技術(shù)和非線性有限元技術(shù)的發(fā)展，人們開始借助于非線性有限元法來分析、仿真模擬過盈配合面間的應力、位移變化規(guī)律。高速旋轉(zhuǎn)時，主軸與軸承內(nèi)圈均受到過盈配合引起的應力和離心力產(chǎn)生的應力作用。從力學角度看，過盈配合是接觸問題的一種，屬于邊界條件高度非線性的復雜問題，配合面間呈現(xiàn)出很復雜的接觸狀態(tài)和應力狀態(tài)［7］。用有限元法求解接觸問題時以往常采用的物理模型是節(jié)點接觸對模型，即將兩接觸物體的接觸面劃分成相同的網(wǎng)格，組成一一對應的節(jié)點對，并假定兩接觸體間的力是通過節(jié)點對傳遞的。這種模型必須預先知道接觸發(fā)生的明確部位，以便建立接觸節(jié)點對和施加單位虛擬載荷，對于結(jié)構(gòu)復雜問題和考慮摩擦的動態(tài)接觸問題，節(jié)點對模型將給結(jié)構(gòu)離散和方程求解帶來極大困難，從而難以解決［8］。本文中采用了面面接觸模型，把兩接觸面分為目標面和接觸面，這種模型能有效地處理復雜接觸表面和動態(tài)接觸問題［9］。

為適應高速主軸高速、較高剛度運轉(zhuǎn)的需求，高速主軸軸承模型采用了如圖1 的支撐結(jié)構(gòu)形式。所選用高速主軸前軸承處配合面的基本尺寸為：外徑2b=70 mm，內(nèi)孔直徑為2a=25 mm；后軸承處配合面的基本尺寸為：外徑2b′=60 mm，內(nèi)孔直徑為2a′=25 mm。主軸和軸承內(nèi)圈都為鋼質(zhì)材料，材料的彈性模量E=2.1 ×1011N/m2，泊松比ν=0.3，主軸與軸承內(nèi)圈配合面間的摩擦系數(shù)μ=0.09，主軸材料的許用應力σ 為567 N/mm2，軸承材料的許用應力［σ］為628 N/mm2。軸承選用接觸角為15°的特輕系列角接觸混合陶瓷球軸承，輕預緊，代號為7000CD/HCP4DBA，其技術(shù)參數(shù)見表1。

表1 混合陶瓷球軸承的主要參數(shù)

由于軸對稱，進行有限元分析時，為減小運算規(guī)模提高運算速度，采用1/4 實體建模。實體單元采用帶中間節(jié)點的SOLID186 單元，利用掃略法劃分網(wǎng)格，三維有限元模型見圖3。該有限元模型包含4276 個單元，19375 個節(jié)點，把軸承內(nèi)圈的內(nèi)表面定義為目標面，把主軸的外圓柱面定義為接觸面，把接觸表面過盈量以及旋轉(zhuǎn)速度產(chǎn)生的慣性力視為作用在主軸與軸承內(nèi)圈上的載荷。

2.1 旋轉(zhuǎn)速度對配合過盈量的影響

當主軸高速旋轉(zhuǎn)時，在離心力的作用下，主軸外徑與軸承內(nèi)圈內(nèi)徑表面發(fā)生不同程度的膨脹，影響兩者之間的過盈配合特性。當速度低于松脫轉(zhuǎn)速時兩者之間仍然處于非線性接觸狀態(tài)，離心力的影響僅僅是減小了過盈量，當速度高于松脫轉(zhuǎn)速時，兩者將處于分離狀態(tài)。

圖4 顯示了旋轉(zhuǎn)速度分別為2500 r/min、5000 r/min、10000 r/min、15000 r/min、20000 r/min、30000 r/min、40000 r/min、50000 r/min 時主軸外圓柱面徑向位移、軸承內(nèi)圈內(nèi)圓柱面徑向位移以及過盈減小量的變化情況（半徑方向）。

對于旋轉(zhuǎn)速度較低的機床主軸而言，由于離心力對過盈配合量影響較小，因此分析時一般忽略不計，僅把傳遞最大扭矩作為計算有效過盈量的依據(jù)即可滿足設計需要。但對于高速旋轉(zhuǎn)的主軸而言，則必須考慮離心力對過盈量的減小效應，并將這種影響給予補償；否則，當轉(zhuǎn)速超過一定極限值時，就會出現(xiàn)松脫現(xiàn)象，造成配合面打滑，加劇主軸、軸承的磨損和溫升，縮短軸承的使用壽命。因此，必須研究轉(zhuǎn)速對過盈配合的影響。如圖4a 所示，當旋轉(zhuǎn)速度為2500 r/min 時，半徑方向過盈減小量僅為0.11 μm，可以忽略不計；當旋轉(zhuǎn)速度為30000 r/min 時，半徑方向的過盈減小量上升為16.14 μm ；當旋轉(zhuǎn)速度為50000 r/min 時，半徑方向過盈減小量高達44.85 μm，就需要增加初始過盈量，以補償離心力對過盈量的影響。該補償值極有可能遠遠大于靜態(tài)過盈量，從而成為影響過盈配合設計的主要因素。圖4a 為前軸承處接觸面徑向位移，圖4b 為后軸承處接觸面徑向位移，由圖4 可得，主軸與軸承內(nèi)圈之間的過盈量會隨速度的增大而減小，并與轉(zhuǎn)速的平方成正比；由4a、b 兩圖可得，當配合面的基本尺寸增大時，這種影響更加明顯。

對本文上述所采用的模型，取ω=4186.67 rad/s（40000 r/min），代入式（12）中，可得考慮離心力時的過盈量I=58.89 μm。當初始過盈量為60 μm 時，考慮過盈配合產(chǎn)生的端部效應，最大等效應力為184 MPa，小于軸承內(nèi)圈及主軸材料的許用應力，所以可以取初始過盈量為60 μm（直徑方向）。

圖5 是當以上有限元模型主軸與前軸承內(nèi)圈之間存在60 μm 的過盈量時，旋轉(zhuǎn)速度分別為2500 r/min、5000 r/min、10000 r/min、15000 r/min、20000 r/min、30000 r/min、40000 r/min、50000 r/min 時前軸承處主軸外圓柱面徑向位移、軸承內(nèi)圈內(nèi)圓柱面徑向位移及過盈量減小值的變化關(guān)系（半徑方向）。比較圖4a 和圖5，可看出增加初始過盈量后，當轉(zhuǎn)速小于40000 r/min 時，曲線斜率變化緩慢，即采用提高初始過盈量的方法能較好的補償離心力對過盈量的影響。

2.2 旋轉(zhuǎn)速度對接觸應力的影響

在高速旋轉(zhuǎn)工作中，主軸與軸承內(nèi)圈均受到過盈配合引起的應力和離心力產(chǎn)生的應力作用。由力的疊加原理可知，接觸面間各點應力均為上述兩方面應力疊加而成。離心力所產(chǎn)生的拉應力抵消部分過盈產(chǎn)生的壓應力，從而減小了接觸應力。圖6 為前軸承配合面處的接觸應力與轉(zhuǎn)速的關(guān)系。從圖6 可以看出，接觸應力隨著轉(zhuǎn)速的提高而逐漸減小。對本文上述所采用的模型，在過盈量為60 μm 的情況下，當主軸轉(zhuǎn)速達到40000 r/ min 時，主軸與軸承內(nèi)環(huán)間的接觸應力接近為零。

3 結(jié)語

研究表明，處于高速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下的主軸與軸承內(nèi)環(huán)間的過盈聯(lián)接特性會受到旋轉(zhuǎn)速度的影響，尤其當旋轉(zhuǎn)速度很高時，這種影響較大，有可能成為影響過盈配合特性的主要因素。高速旋轉(zhuǎn)的軸承內(nèi)圈和空心主軸可簡化為薄壁圓環(huán)和厚壁圓筒，將徑向離心力作為徑向單位體積力作用于主軸和軸承內(nèi)圈上，建立高速主軸軸承內(nèi)圈與轉(zhuǎn)軸配合過盈量的計算公式。由該公式及模擬仿真均可得出主軸與軸承間的過盈量與接觸應力隨著轉(zhuǎn)速的提高而逐漸減小，且按轉(zhuǎn)速的平方關(guān)系衰減。為補償離心力對聯(lián)接特性的影響，可以采用該公式確定初始過盈量。

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