小波去噪在GPS動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用研究

侯凱，丁良國(guó)，羅濤

(1.鄭州市規(guī)劃勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，河南鄭州 450052； 2.中科院高能物理研究所，北京 100049)

小波去噪在GPS動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用研究

侯凱1?，丁良國(guó)1，羅濤2

(1.鄭州市規(guī)劃勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，河南鄭州 450052； 2.中科院高能物理研究所，北京 100049)

介紹了小波去噪的原理和步驟，基于不同的閾值選取方法、選擇幾種不同的小波函數(shù)、比較了在GPS動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中的去噪效果。結(jié)果表明，應(yīng)用小波分析的方法可以較好實(shí)現(xiàn)去噪效果。

小波去噪；GPS數(shù)據(jù)處理；動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)；小波函數(shù)；閾值確定

1 引 言

隨著GPS的廣泛普及，GPS動(dòng)態(tài)變形監(jiān)測(cè)是GPS技術(shù)應(yīng)用的一個(gè)重要方向[1]。GPS動(dòng)態(tài)變形監(jiān)測(cè)時(shí)，由于受到衛(wèi)星攝動(dòng)、衛(wèi)星數(shù)據(jù)更新率、大氣效應(yīng)(對(duì)流層和平流層影響等)、多路徑效應(yīng)和GPS數(shù)據(jù)處理方法等多種因素影響，使得觀測(cè)波形不能客觀地反映實(shí)際變形，因而動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的處理與分析是制約GPS動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)技術(shù)的關(guān)鍵。

小波分析是最近十幾年發(fā)展起來的新的信號(hào)處理技術(shù)，在時(shí)域和頻域都可以達(dá)到很高的分辨率，有“數(shù)學(xué)顯微鏡”之稱。作為一種新的時(shí)頻局部化分析方法，小波能夠?qū)υ夹盘?hào)各頻率成分進(jìn)行分解，在大尺度上獲取信號(hào)的概貌，小尺度上獲取信號(hào)的細(xì)節(jié)。將其應(yīng)用于GPS動(dòng)態(tài)變形監(jiān)測(cè)，對(duì)于變形觀測(cè)數(shù)據(jù)處理和變形分析具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值[2]。

2 小波去噪的基本原理

假設(shè)觀測(cè)信號(hào)由兩部分組成[3]:

其中，x(t)是觀測(cè)數(shù)據(jù)，σ為噪聲強(qiáng)度，e(t)為噪聲。在最簡(jiǎn)單的情況下，σ＝1。

小波變換的基本思想[5]是用一族函數(shù)去表示或逼近一信號(hào)或函數(shù)。這一族函數(shù)稱為小波函數(shù)系，由一基本小波函數(shù)(母小波)通過平移和伸縮構(gòu)成。若設(shè)基本小波函數(shù)為ψ(t)，平移和伸縮因子分別為a和b，則小波分析基底的定義為:

式中，a，b∈R，a≠0。對(duì)于任意函數(shù)或信號(hào)x(t)∈L2(R)，L2(R)為平方可積的實(shí)數(shù)空間，其小波變換為該函數(shù)與小波函數(shù)的內(nèi)積:

在小波變換去噪中，變形信號(hào)表現(xiàn)為低頻信號(hào)或是一些比較平穩(wěn)的信號(hào)，而噪聲信號(hào)則主要集中在小波分解的高頻層。因此，需要選擇合理的閾值去掉噪聲信號(hào)，利用保留下來的小波分解系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，就能得到有效的變形信號(hào)，繼而獲得變形體的變形信息。

一般來說，小波信號(hào)去噪的基本步驟主要包括以下3步[4～7]:

(1)信號(hào)的小波分解過程。根據(jù)問題的性質(zhì)，選擇某小波函數(shù)以及其分解的層次N，計(jì)算各層小波分解系數(shù)。

(2)小波分解高頻系數(shù)的作用閾值過程。從第一層到第N層，每一層選擇一個(gè)閾值，并且對(duì)高頻系數(shù)進(jìn)行處理，這樣便可以將集中于高頻系數(shù)的噪聲成分舍去。在實(shí)際應(yīng)用中，也可以對(duì)各層高頻系數(shù)進(jìn)行硬閾值處理，即將大于閾值的高頻系數(shù)完全保留。研究表明，硬閾值處理后的信號(hào)比軟閾值處理后的信號(hào)粗糙。

(3)信號(hào)的小波重構(gòu)過程。使用小波分解第N層的低頻系數(shù)以及閾值量化處理后的各層高頻系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)，可以得到去噪后的信號(hào)，達(dá)到去噪的目的。若將閾值量化處理后的各層高頻系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)，則可以得到觀測(cè)精度的估計(jì)值。

3 影響小波去噪效果的因素分析

3.1 小波基的選取

小波分析在GPS動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理中，一個(gè)十分重要的問題就是最優(yōu)小波基的選擇，不同的小波基會(huì)產(chǎn)生不同的效果。最佳小波基的選擇，一般根據(jù)信號(hào)特征和實(shí)際應(yīng)用效果而定，目前主要是通過用小波分析方法處理信號(hào)與理論分析結(jié)果的誤差相結(jié)合來判定小波基的好壞。

3.2 閾值確定方法[8]

(1)缺省的閾值確定模型

小波變換中，對(duì)各層系數(shù)降噪所需的閾值一般是根據(jù)原信號(hào)的信噪比來決定的。在模型里，這個(gè)量用σ來表示，得到信號(hào)的噪聲強(qiáng)度后，根據(jù)下式來確定各層的閾值。

式中n為信號(hào)的長(zhǎng)度。

(2)基于樣本估計(jì)的閾值選取

①無偏似然估計(jì)(rigrsure):是一種基于Stein無偏似然估計(jì)原理的自適應(yīng)閾值選擇。對(duì)于給定的閾值T，得到它的似然估計(jì)，再將似然T最小化，就得到了所選的閾值，這是一種軟件閾值估計(jì)。

②長(zhǎng)度對(duì)數(shù)閾值(sqtwlolg):從得到的最小極大方差的閾值T乘上系數(shù)得到閾值。

③啟發(fā)式閾值(heursure):前兩種方式的綜合方式。如果信噪比很小，按無偏似然估計(jì)原則處理的信號(hào)噪聲較大，在這種情況下利用啟發(fā)函數(shù)在前兩種閾值選擇中選取一個(gè)。

④最小極大閾值(minimax):使得產(chǎn)生的閾值有最小均方誤差，而不是沒有誤差。統(tǒng)計(jì)學(xué)上，這種極值原理用來設(shè)計(jì)估計(jì)器。因?yàn)楸幌氲男盘?hào)可以看作與未知回歸函數(shù)的估計(jì)器相似，這種極值估計(jì)器可在給定的函數(shù)中實(shí)現(xiàn)最大均方誤差最小化。

(3)軟閾值和硬閾值

在確定閾值后，可以采用硬閾值或軟閾值的處理方法對(duì)小波系數(shù)做閾值處理。硬閾值法只保留大于閾值的小波系數(shù)并將其他的小波系數(shù)置零，軟閾值法將小于閾值的小波系數(shù)置零，并把大于閾值的小波系數(shù)向零做收縮。

4 小波去噪效果評(píng)定

(1)均方根誤差

其中f(n)是原始信號(hào)是去噪后估計(jì)信號(hào)。均方根誤差越小，濾波效果越好。

(2)信噪比

信噪比(SNR)是測(cè)量信號(hào)中噪聲量度的傳統(tǒng)方法，常被用來作為評(píng)價(jià)去噪效果的指標(biāo)，信噪比越高則濾波效果越好。單位是dB，其定義為:

其中

(3)恢復(fù)信號(hào)的光滑性[9]

從通常意義上講，降噪的光滑性和相似性兩個(gè)準(zhǔn)則在時(shí)間和頻率兩個(gè)空間上體現(xiàn)的比重不同，從時(shí)域分析的角度，更容易體現(xiàn)信號(hào)的相似性，而不太好處理信號(hào)的光滑性，因?yàn)闀r(shí)域的分析很好的判斷信號(hào)的動(dòng)態(tài)性質(zhì)，而在頻域中，可以很方便地過濾高頻的噪聲信號(hào)，使得信號(hào)無限光滑，但是在原信號(hào)中能量比重很小的很多有用信號(hào)成分也可能因此被過濾掉。

5 實(shí)例分析

分析數(shù)據(jù)來源于GPS動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)試驗(yàn)，試驗(yàn)地點(diǎn)為武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院樓頂。以Matlab作為編程平臺(tái)，選擇去噪效果比較好的小波基函數(shù) db6，db10，sym4，sym6[1]，去噪尺度取5，去噪閾值為上述閾值處理方法。db6小波不同閾值選取方法小波去噪效果如圖1所示，其中橫軸為采樣數(shù)據(jù)，縱軸為大地高H，單位為m。表1為4種小波函數(shù)4種閾值處理方法去噪效果比較。

圖1 尺度為5，db6小波不同閾值選取方法小波去噪效果

尺度為5時(shí)，各個(gè)小波函數(shù)的去噪效果比較 表1

由圖1和表1可以看出，4種小波在4種不同閾值確定方法下去噪效果都比較好，但是結(jié)果不盡相同。我們希望的結(jié)果是有最小的均方誤差和最大的信噪比。就小波函數(shù)來講，Db10、Sym4小波的結(jié)果較Db6、Sym6小波好，其中Db10小波的效果最好；就閾值選取方法來講，所有的小波函數(shù)都是rigrsure方法效果最好，minimax方法次之，heursure方法和sqtwlolg方法結(jié)果相當(dāng)；就軟硬閾值來講，硬閾值的結(jié)果要比軟閾值的結(jié)果要好。這和前面一些論文的結(jié)果并不完全一致，還需要做更多的實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證。

6 結(jié) 論

GPS信號(hào)由于含有多路徑效應(yīng)等多種噪聲，各種噪聲都有一定的頻率范圍，利用小波去噪的方法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中噪聲的有效分離，從而很大程度上減小誤差的影響，獲得變形的真實(shí)信息。本文通過4種小波函數(shù)和4種閾值確定方法進(jìn)行GPS動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的處理，均獲得較好的去噪效果，其中Db10小波最優(yōu)、rigrsure閾值確定最佳以及硬閾值結(jié)果普遍較軟閾值好。

但是小波去噪效果的影響因素很多，包括小波基函數(shù)的選取，分離尺度，閾值的確定方法，去噪效果的評(píng)價(jià)指標(biāo)等，在不同的應(yīng)用中，結(jié)果也不盡相同，在具體數(shù)據(jù)的分析應(yīng)用中還需要作進(jìn)一步研究。

[1]徐紹銓，張華海，楊志強(qiáng)等.GPS測(cè)量原理及應(yīng)用[M].武漢:武漢大學(xué)出版社，2008

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[4]文鴻雁.基于小波理論的變形分析模型研究[D].武漢:武漢大學(xué)，2004

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[6]黃聲享，劉經(jīng)南，柳響林.小波分析在高層建筑動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2003，32(2):104～107

[7]張春蕾.小波變換在GPS變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用[D].武漢:武漢大學(xué)，2007

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[9]陳強(qiáng)，黃聲享，王韋.小波去噪效果評(píng)價(jià)的另一指標(biāo)[J].測(cè)繪信息與工程，2008，33(5):13～14

The Application of Wavelet De－noising to GPS Dynamic Data Processing

Hou Kai1，Ding LiangGuo1，Luo Tao2
(1.Zhengzhou City Planning Survey and Design Institute，Zhengzhou 450052，China；2.Institute of High Energy Physics.The Chinese Academy of Sciences，Beijing 100049，China)

In this paper，the fundamental and operating process of wavelet de－noising are briefly presented.Then some wavelet functions and threshold determine methods are adopted to compare the effect of de－noising in processing of GPS dynamic monitoring data.The results demonstrate that by wavelet analysis，the effect of de－noising can be realized.

wavelet de－noising；GPS data processing；dynamic monitoring

1672－8262(2010)03－48－03

P228

A

2009—10—25

侯凱(1984—)，男，助理工程師，研究方向?yàn)槌鞘袦y(cè)量。