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    再議計算子午線弧長的數(shù)值積分法

    2010-04-18 06:54:10楊雙富
    城市勘測 2010年6期
    關鍵詞:數(shù)值積分辛普森弧長

    楊雙富

    (云南一九八煤田地質(zhì)勘探隊,云南昆明 650208)

    再議計算子午線弧長的數(shù)值積分法

    楊雙富?

    (云南一九八煤田地質(zhì)勘探隊,云南昆明 650208)

    給出了利用復化辛普森(Simpson)積分公式計算子午線弧長的方法,分析了計算結(jié)果精度與積分區(qū)間的大小和區(qū)間等分數(shù)的關系。

    子午線弧長;數(shù)值積分;辛普森(Simpson)積公式、復化辛普森(Simpson)積公式

    1 前 言

    《測繪通報》2006年第5期刊登的《計算子午線弧長的數(shù)值積分法》一文中介紹了子午線弧長計算的數(shù)值積分方法,遺憾是的沒有明確指出其計算結(jié)果源自于數(shù)值積分方法中的哪一種,但通過與經(jīng)典方法結(jié)果相對比,得出相互矛盾的結(jié)論:“數(shù)值積分法與經(jīng)典方法的計算結(jié)果之間存在著顯著的差異,數(shù)值積分法精度高?!盵6],值得注意是經(jīng)典方法計算結(jié)果的精度優(yōu)于1 mm,而從文中表1~表3(僅摘錄表1)可以看出,緯度從10°~90°,子午線弧長的數(shù)值積分法計算結(jié)果與經(jīng)典方法相差750多米到92 680多米,竟不如僅將積分區(qū)間二等分的辛普森(Simpson)積分計算結(jié)果,真讓人匪夷所思。

    圖1 《計算子午線弧長的數(shù)值積分法》一文表1摘錄

    眾所周知,數(shù)值積分法精度高低與所采用積分方法、積分區(qū)間的大小、區(qū)間等分數(shù)或節(jié)點數(shù)多少有密切的關系,下面以克拉索夫斯基橢球體及最常用的辛普森(Simpson)積分公式、復化辛普森(Simpson)積分公式為例,對采用數(shù)值積分法計算子午線弧長作一簡略的分析。

    2 子午線弧長計算公式及數(shù)值積分公式簡介

    2.1 子午線弧長計算公式

    設a為橢球的長半軸,e為第一偏心率,則在子午圈上從赤道開始到任一緯度B的弧長計算公式為[2]:

    2.2 經(jīng)典計算公式

    式中系數(shù)a0、a2、a4、a6、a8詳見文獻[2]。

    2.3 辛普森(Simpson)積分公式

    2.4 復化辛普森(Simpson)積分公式

    式中n為積分區(qū)間等分數(shù)。

    3 子午線弧長計算結(jié)果對比

    3.1 子午線弧長計算函數(shù)的設計

    為方便操作及使用,以Excel 2003為計算平臺,采用自定義函數(shù)的方式設計各計算函數(shù)。啟動Excel 2003,選擇菜單工具(T)→宏(M)→Visual Basic編輯器(V)或按Alt+F11進入Visual Basic編輯器,再依次點擊插入(I )→模塊(M),添加一個模塊,然后輸入如下程序:

    Public Const pi As Double=3.14159265358979'定義常數(shù)pi (即π)

    Public Function jdhcjs(ByVal x As Double)

    其中“jdhcjs”、“Simpson”、“Simpson0”三個自定義函數(shù)分別對應于子午弧長計算的經(jīng)典公式、辛普森(Simpson)積分公式和復化辛普森(Simpson)積分公式,而“Deg”是將形如“度.分分秒秒”格式的緯度轉(zhuǎn)換為弧度的函數(shù)。

    3.2 子午線弧長計算對比

    (1)經(jīng)典計算公式與辛普森(Simpson)積分公式計算結(jié)果對比

    建立如圖2所的表格,在A列3~12行填入緯度0°~90°,分別在B3、C3、D3單元格中填入公式“=jdhcjs (A3)”、“=Simpson(0,A3)”、“=A3-C3”,選中B3~D3單元格,利用填充柄向下填至12行,結(jié)果見圖2。其中B列3~12行為子午線弧長的經(jīng)典公式計算結(jié)果,C列3~12行為子午線弧長的辛普森(Simpson)積分公式計算結(jié)果,D列3~12行為前面兩計算結(jié)果之差。

    圖2 計算截圖

    (2)經(jīng)典計算公式與復化辛普森(Simpson)積分公式計算結(jié)果對比

    依照(1)操作步驟建立如圖3所示的表格,僅將C3單元格中的公式改為“=Simpson0(66,0,A3)”,得到的結(jié)果如圖3。

    圖3 計算截圖

    (3)復化辛普森(Simpson)積分公式計算精度淺析

    建立如圖4所示的表格,在第2行B列~J列填入緯度10°~90°,在A列3~14行中填入積分區(qū)間等分數(shù)n=20~100,在B3單元格中填入公式=(jdhcjs(B$2)-Simpson0($A3,0,B$2))?1000”,選中B3單元格,利用填充柄向右填至J列;選中B3~J3單元格,利用填充柄向下填至14行,結(jié)果見圖4。表中B 3~J14區(qū)域內(nèi)單元格中的數(shù)值為子午線弧長的經(jīng)典公式計算結(jié)果與復化辛普森(Simpson)積分公式計算結(jié)果之差的1000倍。從表中不難看出,當積分區(qū)間相同時,隨著積分區(qū)間等分數(shù)的增加,計算結(jié)果的精度提高;當積分區(qū)間等分數(shù)相同時,在緯度10°~60°范圍內(nèi),隨著積分區(qū)間的增大,計算結(jié)果的精度降低,而在緯度60°~90°范圍內(nèi),計算結(jié)果的精度卻呈現(xiàn)不規(guī)則變化。

    圖4 計算截圖

    4 結(jié) 語

    通過上面簡略分析,與經(jīng)典方法的計算結(jié)果相比,可以看出子午線弧長數(shù)值積分法計算結(jié)果的精度不僅與所用積分方法有關,而且還與積分區(qū)間的大小、區(qū)間等分數(shù)或節(jié)點數(shù)多少密切相關,這一點在實際運用中應加以區(qū)別對待,如復化辛普森(Simpson)積分公式要獲得任意積分區(qū)間的計算結(jié)果優(yōu)于1 mm,其區(qū)間等分數(shù)n至少取66。

    [1] 邢永昌,張鳳舉.礦區(qū)控制測量(上冊)[M].北京:煤炭工業(yè)出版社,1987

    [2] 孔祥元,郭際明,劉宗泉.大地測量學基礎[M].武漢:武漢大學出版社,2001

    [3] 徐萃薇.計算方法引論[M].北京:高等教育出版社,1987

    [4] 翟瑞彩,謝偉松.數(shù)值分析[M].天津:天津大學出版社,2000

    [5] 數(shù)學手冊編寫組.數(shù)學手冊[M].北京:人民教育出版社,1979

    [6] 劉修善.計算子午線弧長的數(shù)值積分法[J].測繪通報,2006(5):4~6

    Reconsideration of the Numerical Calculation of Radial arc Length Integral Method

    Yang ShuangFu
    (198 coal geological exploration teams in Yunnan,Yunnan 650208,China)

    This paper presents the use of complex-based Simpson(Simpson)integral formula meridian arc length method to analyze the accuracy of calculation results with the integral interval size and range of the relationship between such scores.

    radial arc length;numerical integration;Simpson(Simpson)product formulas,complex of Simpson (Simpson)product formula

    1672-8262(2010)06-140-03

    P226.1

    B

    2010—02—05

    楊雙富(1967—),男,高級工程師,主要從事工程測量工作。

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