基于不敏變換的GDOP計(jì)算

譚順成，曾慶和，王國(guó)宏，王 娜，2

（1.海軍航空工程學(xué)院 信息融合技術(shù)研究所，山東 煙臺(tái) 264001；2.92941部隊(duì)，遼寧 葫蘆島 125001）

0 引言

系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)的定位誤差與目標(biāo)相對(duì)于定位站的幾何關(guān)系密切相關(guān)。為了評(píng)估系統(tǒng)的定位性能，引入定位精度幾何稀釋（Geometrical Dilution of Precision，GDOP）作為評(píng)價(jià)指標(biāo)[1-3]。通過對(duì)GDOP的計(jì)算，可以評(píng)價(jià)定位系統(tǒng)中各定位站的測(cè)量精度以及定位站的幾何布局對(duì)系統(tǒng)定位能力的影響。

對(duì)于非線性系統(tǒng)，其GDOP的計(jì)算通常是一個(gè)強(qiáng)非線性的問題，而現(xiàn)有的文獻(xiàn)一般采用線性化的方法對(duì)其進(jìn)行求解[3-6]。在系統(tǒng)定位精度較高且定位函數(shù)的非線性較弱的情況下，通過線性化方法得到的GDOP與實(shí)際定位誤差基本相符合。但是在某些情況下，當(dāng)定位精度較低或定位函數(shù)的非線性較強(qiáng)時(shí)，線性化方法得到的GDOP 并不可靠，對(duì)系統(tǒng)定位能力的分析造成嚴(yán)重的影響。

不敏變換（Unscented Transformation，UT）是用于計(jì)算經(jīng)過非線性變換的隨機(jī)變量的一種新方法，可以非常方便地應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)，因而在許多方面得到廣泛應(yīng)用[7-11]。UT的基本思想是：近似非線性函數(shù)的概率密度分布比近似其函數(shù)本身更容易。因此，UT通過選取一系列完全體現(xiàn)高斯密度真實(shí)均值和協(xié)方差的σ 采樣點(diǎn)對(duì)非線性函數(shù)的PDF 進(jìn)行近似，而不是對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理。本文針對(duì)強(qiáng)非線性系統(tǒng)，提出一種基于UT的GDOP計(jì)算方法，并將其與線性化求解GDOP的方法進(jìn)行了分析和比較。

1 基于UT的GDOP計(jì)算

以三維非線性定位系統(tǒng)為例，GDOP的定義式

假定z為nz維隨機(jī)量測(cè)向量，其均值和協(xié)方差分別為和Pz，y為三維隨機(jī)定位向量，其均值和協(xié)方差分別為為非線性定位函數(shù)

與文獻(xiàn)[7]中的方法類似，基于UT方法的GDOP計(jì)算過程如下所述：

令

將式(7)代入式(1)得

2 仿真分析

本節(jié)以文獻(xiàn)[1]給出的時(shí)差無源定位模型為例，分別對(duì)基于線性化方法和UT方法的GDOP 進(jìn)行計(jì)算，并與平均系統(tǒng)定位誤差進(jìn)行分析和比較。

2.1 仿真場(chǎng)景

圖1為三站時(shí)差無源定位的示意圖。3個(gè)無源傳感器1、2和3分別位于點(diǎn)A、O和B。

圖1 三站時(shí)差無源定位原理

由文獻(xiàn)[1]可知，該系統(tǒng)的定位方程為

其中，

式中：點(diǎn)(x,y)表示輻射源位置；l1=l2=40 km分別表示傳感器1、2和傳感器2、3之間的量測(cè)距離；θ為傳感器1、2和傳感器2、3的基線之間的夾角；1θ和2θ分別為輻射源主波束依次掃過傳感器1、2和2、3形成的夾角。

設(shè)輻射源掃描周期為T=10 s，主波束依次掃過傳感器1、2和2、3的掃描時(shí)差分別為Δt12和Δt23，則

假設(shè)量測(cè)距離1l、l2和掃描時(shí)差Δt12、Δt23的量測(cè)誤差是相互獨(dú)立的零均值高斯隨機(jī)噪聲，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為為了計(jì)算簡(jiǎn)便，令θ=0 °（即 3個(gè)傳感器位于同一直線上），基于線性化方法和UT方法的GDOP計(jì)算分別如式(15)和式(16)所示。

式中：

其中，

而 PUT,y由第1節(jié)的計(jì)算方法得到。

2.2 仿真結(jié)果

圖2、3分別為線性化方法和UT方法得到的GDOP分布，圖4為基于200次Monte Carlo仿真取平均得到的系統(tǒng)定位誤差分布?；趯?duì)稱性，文中只給出了各分布圖的上半部。

圖2 基于線性化方法的GDOP分布

圖3 基于UT方法的GDOP分布

圖4 基于200次Monte Carlo仿真取平均的系統(tǒng)定位誤差分布

為了方便比較，表1給出了某些點(diǎn)分別基于兩種方法得到的GDOP以及這些點(diǎn)的平均系統(tǒng)定位誤差。

從圖2和圖4可以看出，當(dāng)目標(biāo)距傳感器較遠(yuǎn)時(shí)，基于線性化方法的GDOP分布與平均系統(tǒng)定位誤差相近；而當(dāng)目標(biāo)距傳感器較近時(shí)，其GDOP分布嚴(yán)重偏離平均系統(tǒng)定位誤差。而由圖3和圖4可以看出，基于UT方法得到的GDOP分布與平均系統(tǒng)定位誤差分布非常接近。

從表1可以得出相同的結(jié)論。由仿真結(jié)果可知，當(dāng)定位系統(tǒng)的非線性較強(qiáng)時(shí)，基于線性化方法得到的GDOP 并不可靠，而基于UT方法得到的GDOP則能夠較準(zhǔn)確的反映系統(tǒng)定位誤差。造成這種結(jié)果的可能原因是：基于UT方法的GDOP可以精確到二階項(xiàng)，而線性化方法僅保留了泰勒展開式的第一階項(xiàng)，因此造成較大的誤差。

表1 某些點(diǎn)的GDOP和平均定位誤差 km

3 結(jié)論

本文首先提出了一種基于UT方法的GDOP計(jì)算方法，然后通過一個(gè)三站時(shí)差無源定位的例子證明：在定位系統(tǒng)的非線性較強(qiáng)的情況下，基于線性化方法得到的GDOP 并不可靠，而基于UT方法得到的GDOP 則能比較準(zhǔn)確的反映系統(tǒng)定位誤差。因此，強(qiáng)非線性情況下利用線性化方法計(jì)算GDOP 必須特別慎重，而基于UT的方法不失為一種較好的可選擇方法。

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