相貫線在數(shù)控加工中的解析求法

王曉雪

（山西大同大學(xué)工學(xué)院，山西大同 037003）

在我們的生活和生產(chǎn)中,常常會遇到兩個或若干個立體相交的問題(在畫法幾何中,我們稱之為相貫),比如在機(jī)械生產(chǎn)、化工設(shè)備、運(yùn)輸管道、鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)件的連接中,通常會遇到一些平面與曲面立體之間的截交以及曲面立體曲面立體之間的相貫問題.而通常我們只用作圖法來求,作圖法雖然形象、直觀、迅速,但卻由于受到作圖操作和儀器工具的限制,再加之作圖過程繁頊、圖形繪制不準(zhǔn)確,往往給生產(chǎn)制作造成許多麻煩,且精度更不能滿足現(xiàn)代技術(shù)與計算機(jī)輔助設(shè)計和數(shù)控制造技術(shù)的要求,因此這我們采用圖解與計算相結(jié)合的方法,通過投影圖上的幾何關(guān)系,再利用解析方法,建立相貫線上點的坐標(biāo)方程或極坐標(biāo)方程.并根據(jù)所求的坐標(biāo)方程或極坐標(biāo)方程,在數(shù)控機(jī)床上利用切割工具,切割出我們所需的各種相貫曲線.為此建立相貫線上的點的坐標(biāo)方程或極坐標(biāo)方程是非常重要的.

1 兩圓柱體相貫

如圖1所示為軸線相交的兩圓柱體相貫[1－2]（正立投影）,現(xiàn)用作圖與解析相結(jié)合的方法來求相貫線.

設(shè)兩圓柱的底面半徑分別為r1與r2(均已知),兩圓柱軸線的交點為o,它們之間的夾角為δ(已知),以o為原點,分別建立各自的三維坐標(biāo)體系,y1軸垂直于x1oz1平面,y2軸垂直于x2oz2平面,而x1oz1和x2oz2正好在同一平面內(nèi),所以y1與y2為同一條軸,其坐標(biāo)我們均計為y,由圖1的幾何關(guān)系可得下面解析式[3－4]:

在制作該相貫線時,可將圓柱面展開成板,橫坐標(biāo)為α,縱坐標(biāo)為x,在數(shù)控機(jī)床[5]上用數(shù)控線切割機(jī)按坐標(biāo)便可加工出所需曲線.

圖1 圓柱體與圓柱體相貫圖

2 圓柱體與圓錐體相貫

如圖2所示為軸線相交的圓柱體與圓錐體的相貫[1－2],圓錐頂角為圓柱體的中心軸線與x軸的夾角為且其中心軸線與圓錐中心軸線相交．坐標(biāo)如圖2所示,則圓柱曲面方程[4]為:

圖2 圓柱體與圓錐體相貫圖

即:

圓柱曲面方程[4]為:

即

設(shè) x＝ρcosθ，y＝ρcosθ，這里 0＜θ＜2π，（ρ＜R）代入上面(1)、(2)兩方程并聯(lián)立解,便可得兩立體相貫線的方程[4]為:

上式即為相貫線上任一點的極坐標(biāo)方程,在制作時將圓錐面展開成板,用數(shù)控線切割機(jī)按該極坐標(biāo)方程即可加工成形[5].

對于任何平面與立體截交以及立體與立體相貫,都可求出其解析方程,使我們在數(shù)控機(jī)床的生產(chǎn)中,可以根據(jù)相貫線的曲線方程來控制切割工具的運(yùn)動走向,致使在機(jī)床上加工出我們所需的各種曲線,且克服了由于作圖而產(chǎn)生的誤差,并能更好地滿足日益發(fā)展的計算機(jī)輔助設(shè)計和制造技術(shù)的需要.

[1]何銘新，錢可強(qiáng)．機(jī)械制圖[M].北京：高等教育出版社,1997：117-132．

[2]同濟(jì)大學(xué)建筑制圖教研室編著．畫法幾何[M].上海:同濟(jì)大學(xué)出版社,1984：45-50．

[3]樊映川．高等數(shù)學(xué)講義[M]．北京：高等教育出版社,1986：137-164．

[4]高紅鑄,傅若男．空間解析幾何[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2007：137-164．

[5]何偉．?dāng)?shù)控機(jī)床原理及應(yīng)用[M]．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2007：107-124．