密實(shí)散粒體宏微觀特性的直剪試驗(yàn)離散元數(shù)值分析

蔣明鏡，王富周，3，朱合華，胡海軍，趙 濤

(1.同濟(jì)大學(xué)地下建筑與工程系，上海 200092;2.同濟(jì)大學(xué)巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092; 3.上海建工(集團(tuán))總公司技術(shù)中心，上海 200083)

常規(guī)室內(nèi)直剪試驗(yàn)存在有效剪切面積變化等缺點(diǎn)，許多成果對(duì)此進(jìn)行了校正[1-2]，并研制了一系列適用于特殊條件下的直剪儀[3-4].由于常規(guī)室內(nèi)直剪試驗(yàn)操作簡(jiǎn)單，測(cè)試精度能夠滿足一般工程要求，仍然廣泛應(yīng)用于科研和工程領(lǐng)域.

在土體的剪切破壞中，應(yīng)變局部化問題已受到國際力學(xué)界和巖土工程界的廣泛關(guān)注[5].然而，直剪試驗(yàn)中土體應(yīng)變局部化區(qū)域被限定于剪切面附近，使得試樣內(nèi)部應(yīng)力、應(yīng)變分布具有明顯不均勻性[6-10]，從而很難對(duì)土體內(nèi)部應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確描述.Cundall等[11]提出的離散單元法，其基本模型由單元以及連接單元的變形元件構(gòu)成，常用單元為剛性圓盤或三維球體.借助離散單元法可以很好地模擬直剪試驗(yàn)的剪破面，從而對(duì)剪切帶內(nèi)外土體的應(yīng)力、應(yīng)變特性進(jìn)行分析[12-13].另外，許多研究也涉及邊界效應(yīng)[14-16]、顆粒形狀[17-19]和顆粒破碎[20]等砂土抗剪強(qiáng)度影響因素.這些研究?jī)?nèi)容與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，而且可重復(fù)性較好，這對(duì)直剪試驗(yàn)本質(zhì)規(guī)律的認(rèn)識(shí)有重要作用.

對(duì)土體應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)的分析，有利于加深對(duì)不同試驗(yàn)條件下土體強(qiáng)度指標(biāo)的認(rèn)識(shí).筆者近期對(duì)直剪試驗(yàn)剪切帶的研究結(jié)果[13]表明，土體應(yīng)變局部化區(qū)域出現(xiàn)在剪切面附近，厚度為10d50～15d50，而且初步探討了試樣內(nèi)部的應(yīng)力偏轉(zhuǎn)問題.本文對(duì)主應(yīng)力偏轉(zhuǎn)進(jìn)行定量研究，并以剪切帶內(nèi)和剪切帶外的應(yīng)力、應(yīng)變路徑為核心，分析試樣內(nèi)部不同區(qū)域的應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài);最后分析了顆粒群沿試樣縱向的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

1 試樣制備及離散元模擬流程

傳統(tǒng)的離散元樣本一般采用2種或3種粒徑，或者某個(gè)粒徑范圍內(nèi)的隨機(jī)粒徑.這種制樣方法很難獲得符合目標(biāo)顆粒級(jí)配曲線的離散元樣本，故本文采用了文獻(xiàn)[21]提出的粒徑級(jí)配離散元實(shí)施方法進(jìn)行制樣.對(duì)于顆?？倲?shù)為N的離散元樣本，如果已知某一粒徑ri在目標(biāo)顆粒級(jí)配曲線的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為Pi，則該粒徑的顆粒數(shù)由式(1)決定:

式中s為維數(shù)，二維分析s=2，三維分析s=3.變量P由式(2)計(jì)算得到:

式中np為離散元樣本中所用顆粒的種類數(shù).

為了制備更加均勻的試樣，本文采用了文獻(xiàn)[21]提出的分層欠壓法.這種方法的基本原則為:將樣本在比目標(biāo)空間大的區(qū)域內(nèi)分層生成，按照欠壓準(zhǔn)則分層壓縮當(dāng)前顆粒群至準(zhǔn)則規(guī)定的控制孔隙比，直到生成最后一層時(shí)，將樣本壓縮至目標(biāo)孔隙比.在分n層壓實(shí)時(shí)，整個(gè)壓縮過程要求滿足e1＞e2＞…＞ei＞…＞en= e，其中ei是按照欠壓準(zhǔn)則生成第i層顆粒時(shí)，當(dāng)前所有顆粒所需壓縮到的控制孔隙比.確定e1，e2，…，en的方法，即為欠壓準(zhǔn)則，取決于孔隙比的目標(biāo)值e、總分層數(shù)n、每層的顆粒數(shù)目，詳細(xì)過程見文獻(xiàn)[21].經(jīng)過筆者研究，發(fā)現(xiàn)分層欠壓法能夠減小層間壓縮能量傳遞的影響，從而制備更加均勻的試樣.離散元模型參數(shù)顆粒數(shù)目為24000，直徑6～9mm，密度2600kg/m3，法向剛度150MN/m，切向剛度100MN/m;顆粒間摩擦系數(shù)0.5;孔隙比0.196;墻體法向剛度150MN/m，切向剛度100MN/m;顆粒與墻體間的摩擦系數(shù)0.根據(jù)分層欠壓法制備的離散元試樣如圖1所示，顆粒級(jí)配曲線見圖2.

圖1 離散元試樣Fig.1 DEM sample

圖2 顆粒級(jí)配曲線Fig.2 Grain size distribution

試樣生成后首先在12.5kPa的豎向壓力作用下固結(jié)穩(wěn)定，然后分別在不同的豎向壓力下壓縮穩(wěn)定，最后進(jìn)行直剪試驗(yàn)測(cè)試.離散元分析內(nèi)容包括試樣強(qiáng)度變化，邊界摩擦效應(yīng)，主應(yīng)力偏轉(zhuǎn)，應(yīng)力、應(yīng)變路徑和顆粒分布與微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

2 宏觀力學(xué)特性

2.1 應(yīng)力、應(yīng)變特性

試樣剪切過程中的體變通過試樣高度變化計(jì)算得到.如圖3所示，剪切剛開始時(shí)試樣受到的剪應(yīng)力急劇增長(zhǎng)，并且迅速達(dá)到峰值，最后趨于殘余強(qiáng)度.由圖4所示的體變曲線可以看出，密實(shí)散粒體在剪切過程中先剪縮后剪脹，其拐彎點(diǎn)發(fā)生在剪應(yīng)力峰值之前.本次模擬密實(shí)散粒體的宏觀響應(yīng)和以往經(jīng)典密砂特性相吻合.

圖3 剪應(yīng)力-剪切位移關(guān)系曲線Fig.3 Relations between shear stress and shear displacement

圖4 體變-剪切位移關(guān)系曲線Fig.4 Relationsbetween volumetric strain and shear displacement

2.2 強(qiáng)度特性

在直剪試驗(yàn)中，剪切盒內(nèi)壁與土體之間一般都存在摩擦.為研究邊界摩擦對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響，本文對(duì)邊界有摩擦和無摩擦2種情況進(jìn)行了比較分析，2種情況下得到的強(qiáng)度包線如圖5所示，強(qiáng)度指標(biāo)見表1[13].對(duì)比結(jié)果表明，邊界摩擦力的存在使密實(shí)散粒體的峰值強(qiáng)度內(nèi)摩擦角提高了1.57°，殘余強(qiáng)度內(nèi)摩擦角提高了1.42°，說明實(shí)際的室內(nèi)直剪試驗(yàn)高估了密實(shí)散粒體的抗剪強(qiáng)度.因?yàn)楫?dāng)密實(shí)散粒體試樣發(fā)生剪脹時(shí)，剪切面以上的土體相對(duì)于剪切盒產(chǎn)生了向上運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，由于存在邊界摩擦，上半盒內(nèi)的試樣受到向下的摩擦力，從而增加了剪切面上受到的豎向壓力，密實(shí)散粒體強(qiáng)度得到提高.這一結(jié)果與已往研究結(jié)果相同[14-15]

圖5 密實(shí)散粒體強(qiáng)度包線Fig.5 Shear strength envelopes of dense granular materials

表1 不同邊界條件下密實(shí)散粒體強(qiáng)度指標(biāo)Table 1 Parameters of DEM samples

2.3 剪切過程中的主方向變化

圖6為密實(shí)散粒體在100kPa豎向壓力作用下的主應(yīng)力場(chǎng)的變化情況.由應(yīng)力場(chǎng)分布的變化情況來看，未發(fā)生剪切時(shí)大小主應(yīng)力分布均勻，大主應(yīng)力沿豎直方向，小主應(yīng)力沿水平方向;試樣受到剪切后，主應(yīng)力分布在大小和方向上變得很不均勻，其中試樣內(nèi)部9個(gè)觀察點(diǎn)在變形后的主方向角如圖6(b)所示.從主方向角的分布來看，試樣內(nèi)部不同位置處的應(yīng)力偏轉(zhuǎn)是不同的，呈現(xiàn)出近似反對(duì)稱的特征，中心點(diǎn)的主方向角穩(wěn)定在44°.圖7為觀察點(diǎn)4，5，6主方向角的變化過程曲線.結(jié)果表明，未發(fā)生剪切時(shí)3個(gè)觀察點(diǎn)的主方向角在90°左右，主方向角在剪切的初始階段變化較大，并在剪切位移達(dá)到5mm左右趨于穩(wěn)定.

圖6 主應(yīng)力矢量分布Fig.6 Distribution of principal stress vectors

圖7 主應(yīng)力偏轉(zhuǎn)過程曲線Fig.7 Rotation curves of principal stresses

2.4 應(yīng)力路徑

在文獻(xiàn)[13]對(duì)剪切帶研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)剪切帶內(nèi)外的應(yīng)力和應(yīng)變路徑進(jìn)行分析.圖8為觀察點(diǎn)2和觀察點(diǎn)5的應(yīng)力路徑曲線，其中的強(qiáng)度包線是根據(jù)表1邊界無摩擦?xí)r密實(shí)散粒體的強(qiáng)度指標(biāo)換算得來的.具體換算公式為

剪切帶外的觀察點(diǎn)2，球應(yīng)力和偏應(yīng)力處于增大的趨勢(shì)，達(dá)到峰值后表現(xiàn)出小幅度加卸載特性，這是因?yàn)榧羟袔系目傮w應(yīng)力軟化帶動(dòng)了觀察點(diǎn)2的卸荷;剪切帶內(nèi)的觀察點(diǎn)5，在加載階段達(dá)到峰值后，表現(xiàn)出大幅度反復(fù)加卸載的特性，這可能是因?yàn)榧羟袔细鼽c(diǎn)不是同時(shí)達(dá)到峰值/殘余強(qiáng)度，存在波動(dòng)所致.在偏應(yīng)力的變化幅度上，剪切帶內(nèi)明顯比剪切帶外大，約為剪切帶外偏應(yīng)力變化幅度的2倍，說明直剪試驗(yàn)中的主要受剪區(qū)域位于剪切帶內(nèi)部.

為觀察剪切帶內(nèi)外強(qiáng)度發(fā)展過程與試樣整體強(qiáng)度發(fā)展規(guī)律之間的關(guān)系，圖8給出了密實(shí)散粒體整體強(qiáng)度包線.可以看出，剪切帶外應(yīng)力路徑峰值在殘余強(qiáng)度包線之下，而剪切帶內(nèi)應(yīng)力路徑峰值在峰值強(qiáng)度包線之上.

圖8 剪切帶內(nèi)外應(yīng)力路徑曲線Fig.8 Stress paths within and outside shear band

2.5 應(yīng)變路徑

根據(jù)Wang等[12]對(duì)應(yīng)變局部化研究的結(jié)果，大應(yīng)變主要集中在剪切帶內(nèi)部，其中剪切帶內(nèi)應(yīng)變可以達(dá)到-0.7%～-0.5%，剪切帶外為-0.1%～0.1%.文獻(xiàn)[13]借助方格劃分法[22]對(duì)試樣剪切變形的分析表明，試樣變形分布很不均勻.

圖9 剪切帶內(nèi)外應(yīng)變路徑曲線Fig.9 Strain paths within and outside shear band

圖9為觀察點(diǎn)2和觀察點(diǎn)5的體變-球應(yīng)力變化曲線.由圖9可以看出，剪切帶外先經(jīng)過一個(gè)短暫的剪縮過程，然后發(fā)展為剪脹，而剪切帶內(nèi)剪縮不明顯，主要處于剪脹狀態(tài).剪切帶外這一微弱的初始剪縮過程剛好與圖4試樣體變的初始變化規(guī)律一致，說明密實(shí)散粒體呈現(xiàn)出的初始剪縮現(xiàn)象主要是由剪切帶外顆粒群體積變化引起.體積變化數(shù)據(jù)顯示，剪切帶內(nèi)顆粒群的體積變化達(dá)到-0.9%，而剪切帶外僅為-0.03%，兩者相差一個(gè)數(shù)量級(jí)，說明直剪試驗(yàn)中密實(shí)散粒體的體積膨脹主要發(fā)生在剪切帶內(nèi)部.

3 微觀力學(xué)特性分析

3.1 試樣均勻性分析

剪切使得顆粒內(nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生分化，這種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的分布必然會(huì)對(duì)試樣的均勻性產(chǎn)生影響.孔隙比是描述試樣均勻性的一個(gè)常用參量，圖10為密實(shí)散粒體在100kPa豎向壓力作用下的孔隙比變化曲線.從孔隙比變化的整個(gè)過程可以看出，試樣整體的孔隙比有小幅的增加，剪切帶內(nèi)孔隙比增大幅度較大，而剪切帶外孔隙比未發(fā)生明顯變化.值得注意的是，剪切帶內(nèi)孔隙比初始有減小的趨勢(shì).此變化規(guī)律與圖9所示的宏觀應(yīng)變路徑一致，說明密實(shí)散粒體試樣初始的體積剪縮主要發(fā)生在剪切帶外部區(qū)域，而試樣剪脹發(fā)生局部化，主要集中在剪切面附近的條帶內(nèi)，這與文獻(xiàn)[13]中觀察到的剪切帶一致.

3.2 顆粒平動(dòng)分析

由文獻(xiàn)[13]研究可知，剪切帶在剪切面上下15倍顆粒平均粒徑范圍內(nèi).為深入分析剪切帶內(nèi)外顆粒不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，本文將試樣沿縱向進(jìn)行了條帶分割，共27行.

如圖4所示，密實(shí)散粒體在剪切過程中高度發(fā)生變化，說明顆粒群在豎向也存在速度.對(duì)各條帶的平動(dòng)速度進(jìn)行分解，所得的水平和豎向速度分布曲線如圖11所示.與文獻(xiàn)[13]的研究結(jié)果一致，剪切帶內(nèi)確實(shí)存在大的速度變化梯度(圖11(a)).由圖11(b)可知，顆粒群在縱向上并非單向運(yùn)動(dòng)，而是同時(shí)向上下2個(gè)方向運(yùn)動(dòng).試樣低端至第10條帶范圍內(nèi)的顆粒，以近似相等的速度向下運(yùn)動(dòng);試樣頂端至第17條帶范圍內(nèi)的顆粒以近似相等的速度向上運(yùn)動(dòng);第11～16條帶為過渡帶，縱向速度變化較大.由于向上運(yùn)動(dòng)的顆粒較多且速度較大，因此試樣宏觀上表現(xiàn)出剪脹現(xiàn)象(圖4).對(duì)比水平和縱向速度可見，顆粒水平速度比縱向速度高一個(gè)數(shù)量級(jí)，即顆粒平動(dòng)以水平運(yùn)動(dòng)為主.

圖10 孔隙比變化曲線Fig.10 Change curves of void ratio

圖11 各條帶的平動(dòng)速度分布曲線Fig.11 Velocity distributions of each band

3.3 顆粒轉(zhuǎn)動(dòng)分析

文獻(xiàn)[23]研究表明，在一個(gè)擁有N個(gè)接觸點(diǎn)的樣本中，總的能量耗散速率可以分解為平動(dòng)能量耗散速率和轉(zhuǎn)動(dòng)能量耗散速率，而前者剛好是經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的能量耗散速率，因此實(shí)際的能量耗散速率與經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的能量耗散速率是有區(qū)別的.筆者在研究過程中提出了接觸點(diǎn)處純轉(zhuǎn)動(dòng)率的概念，以此來反映轉(zhuǎn)動(dòng)能量耗散速率，其表達(dá)式為

若考慮某一砂土顆粒群的平均純轉(zhuǎn)動(dòng)率(averaged pure rotation rate，APR)，可得[23]

式中:ω——砂土顆粒群的APR，正負(fù)號(hào)代表不同轉(zhuǎn)動(dòng)方向;rk——第k個(gè)接觸點(diǎn)2個(gè)顆粒的平均半徑.APR可以近似視為離散微觀力學(xué)和連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的橋梁[23].

圖12(a)顯示，轉(zhuǎn)動(dòng)場(chǎng)中剪切帶邊緣存在一個(gè)等勢(shì)線密集的過渡帶，過渡帶以外顆?；疚窗l(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，過渡帶內(nèi)部等勢(shì)線較稀疏并且轉(zhuǎn)動(dòng)較高，這個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)前面應(yīng)變局部化區(qū)域.圖12(b)為APR沿縱向的分布曲線，可以看出轉(zhuǎn)動(dòng)幾乎完全集中在過渡帶和剪切帶內(nèi)部，過渡帶以外的區(qū)域轉(zhuǎn)動(dòng)幾乎為零，說明應(yīng)變局部化和轉(zhuǎn)動(dòng)局部化共同導(dǎo)致了砂土剪切帶的形成.

圖12 APR在試樣內(nèi)部的分布Fig.12 Distribution of APR in samples

需要說明的是，如圖11和圖12所示，在邊界條件完全對(duì)稱的條件下，顆粒速度和轉(zhuǎn)動(dòng)沿縱向的分布具有微小的不對(duì)稱性，這是由于試樣垂直向的微小剛體平動(dòng)引起的.

4 結(jié) 語

a.離散元分析密實(shí)散粒體宏觀力學(xué)特性和以往經(jīng)典性質(zhì)相一致，密實(shí)散粒體試樣表現(xiàn)出了軟化和剪脹特性.

b.傳統(tǒng)的直剪試驗(yàn)剪切盒內(nèi)壁與試樣間存在摩擦力.經(jīng)分析，在邊界完全粗糙的條件下室內(nèi)試驗(yàn)測(cè)得的密實(shí)散粒體內(nèi)摩擦角較實(shí)際高1.5°左右.排除邊界摩擦，本文分析得到密實(shí)散粒體試樣峰值強(qiáng)度內(nèi)摩擦角為22.66°，殘余強(qiáng)度內(nèi)摩擦角為17.10°.

c.剪切試樣內(nèi)部的變形和應(yīng)力分布不均勻，不同部位產(chǎn)生了不同程度的應(yīng)力偏轉(zhuǎn).分析發(fā)現(xiàn)主應(yīng)力偏轉(zhuǎn)發(fā)生在剪切的初始階段，發(fā)生5mm剪切位移后趨于穩(wěn)定.本文研究發(fā)現(xiàn)，主應(yīng)力分布呈現(xiàn)出近似反對(duì)稱的特征，中心點(diǎn)的主方向角穩(wěn)定在44°附近.

d.對(duì)剪切帶內(nèi)外的應(yīng)力路徑研究過程可知，剪切帶外主要處于加載狀態(tài)并有小幅度的加卸載循環(huán);而剪切帶內(nèi)表現(xiàn)為大幅度的加卸載循環(huán)，并且剪切帶內(nèi)的偏應(yīng)力變化幅度為剪切帶外的2倍;密實(shí)散粒體的應(yīng)變路徑顯示，試樣整體的初始剪縮現(xiàn)象主要是剪切帶外顆粒群體積變化引起的，而試樣整體的剪脹現(xiàn)象主要出現(xiàn)在剪切帶內(nèi)部.對(duì)應(yīng)力路徑和強(qiáng)度包線關(guān)系的研究結(jié)果表明，剪切帶外應(yīng)力路徑峰值未超越試樣整體殘余強(qiáng)度包線，而剪切帶內(nèi)應(yīng)力路徑峰值越過了試樣整體的峰值強(qiáng)度包線.

e.對(duì)孔隙比和顆粒運(yùn)動(dòng)的分析表明，剪切帶是應(yīng)變局部化和轉(zhuǎn)動(dòng)局部化共同作用的結(jié)果.試樣的剪脹現(xiàn)象和顆粒的轉(zhuǎn)動(dòng)主要出現(xiàn)在剪切帶內(nèi)部，剪切帶外顆粒主要處于平動(dòng)狀態(tài).

由于試樣強(qiáng)度主要來源于中間剪切面附近土體的抗剪能力，且距離剪切面遠(yuǎn)近不同土體呈現(xiàn)不同的力學(xué)響應(yīng)，同時(shí)剪切盒內(nèi)壁摩擦力也會(huì)影響砂土的抗剪強(qiáng)度，因此，直剪試驗(yàn)應(yīng)盡量保持土體的均勻性，且保持剪切盒內(nèi)壁的光滑性，從而保證測(cè)試結(jié)果的準(zhǔn)確性.

致謝:孫渝剛博士生、顏海濱碩士生、肖俞碩士生參加了部分工作，特此致謝！

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