傳輸問題的一種數(shù)值解法

周 率， 王連堂， 段艷婷

(西北大學數(shù)學系， 陜西 西安 710069)

0 前 言

聲波的逆散射理論是一個典型的數(shù)學物理反問題，由于聲波散射理論在雷達、聲納、地球物理勘探等領域內(nèi)的廣泛應用，反散射理論及計算方法的研究有著廣泛的應用前景.古典聲波散射理論兩個基本問題，一是時間調(diào)和聲波在不可穿透的障礙散射問題，另一個是時間調(diào)和聲波在非均勻介質中的散射問題.本文主要研究了一類傳輸問題的模型，為了清楚地說明傳輸問題，我們假設有界散射物體D位于同種均勻媒質中，散射體的邊界?D是C2類的，當入射波從均勻媒質進入到均勻有界散射物體D時，聲波將會發(fā)生散射，這時可以把整體場u作為入射平面波ui=eikxd(單位向量d是入射平面波的傳播方向)和散射場us的疊加，即u=ui+us.當聲波進入均勻散射物體時，這時除了散射場us，還應該有傳輸場v(x),于是傳輸問題可以歸納如下[1-5]：

(1.1)

(1.2)

u=von ?D

(1.3)

(1.4)

(1.5)

所研究的正問題就是要找到散射場us，即求解偏微分方程組(1.1～1.5)，由格林定理和Sommerfeld 輻射條件可得到散射場us的表達式：

(1.6)

其中Φ(x,y)是當x≠y時，二維Helmholtz方程的基本解.

1 理論證明：傳輸問題的存在性和唯一性

為了研究這類問題，把(1.1～1.6)寫成以下形式

(2.1)

(2.2)

us-v=f,f=-eikxdon ?D

(2.3)

(2.4)

(2.5)

定理2.2[3]:(唯一性)如果傳輸問題有解，則解唯一.

為了證明傳輸問題的存在性，引進以下算子：

定理2.3: (存在性)傳輸問題的解存在.

證：利用單層位勢構造傳輸問題(2.1～2.5)如下形式的一組解

(2.6)

(2.7)

對其做變化，兩邊同乘以2，則有

Sφ(x)-S0Ψ(x)=-2ui(x),x∈?D

(2.8)

同樣，把u(x)，v(x)代入(2.4)邊界條件，運用單層位勢的跳躍關系，得

(2.9)

則(2.8)和(2.9)可變?yōu)?/p>

CX=E

(2.10)

CX=0等價于:

u-v=0 on ?D

2 數(shù)值計算

現(xiàn)對積分方程(2.8)和(2.9)進行數(shù)值計算.

(2.8′)

(2.9′)

當t≠τ時以上參數(shù)化方程的核為，

H(t,τ)=|x′(τ)|L(t,τ)

由于核L，M在t=τ處有奇性,因而把核作如下處理，令

關于M1(t,t)，M2(t,t)，L1(t,t)和L2(t,t)的推導：

則當τ→t時，有

由一階Bessel函數(shù)和一階Neumann函數(shù)的展開式，

容易得到L1(t,t)=0.著重推導L2(t,t)，而

對x1(τ)和x2(τ)在t=τ處運用二階泰勒展開，再對分子分母同除以(t-τ)2，則有

其中C=0.577 21…是歐拉常數(shù),則M1(t,τ),M2(t,τ),L1(t,τ)，L2(t,τ)都是解析的.

(3.0)

(3.1)

對于有對數(shù)奇性的項采用積分公式：

(3.2)

(3.3)

(3.4)

3 數(shù)值例子

定理4.1 每個輻射解有以下漸進性質[7-9]

由遠場模式的定義、us的定義及Hankel函數(shù)的漸進性

容易得到單層位勢形式的散射解所對應的遠場模式表達式為

實例中取k=2.0,k0=1.0,λ=1.0.

例1 橢圓區(qū)域邊界：x1(t)=cost,x2(t)=2sint.

橢圓區(qū)域的遠場模式

橡實形區(qū)域的遠場模式

例3 蝴蝶形區(qū)域邊界x1(t)=cost+0.65cos2t-0.65;x2(t)=1.5sint.

蝴蝶形區(qū)域的遠場模式

注：文獻[8]數(shù)據(jù)有誤.

4 結束語

本文討論了傳輸問題的一種數(shù)值計算方法，運用單層位勢及其跳躍關系將該問題轉化為求解線性方程組的問題，并采用了Nystrom方法對其進行離散求解，給出了數(shù)值例子并得到其遠場模式，數(shù)值結果表明該方法收斂性也是比較好的.

參考文獻

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