復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上聚集-部分消滅動(dòng)力學(xué)的模擬

朱 標(biāo), 陳曉婷, 沈偉維

(溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院, 浙江 溫州 325035)

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聚集消滅演化動(dòng)力學(xué)是近年來物理學(xué)研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)，聚集消滅現(xiàn)象廣泛存在于自然界及人類社會(huì)當(dāng)中，如聚合物的形成、生物種群之間的競爭、正負(fù)電子的湮滅和星云的分布等.近幾十年來，聚集消滅動(dòng)力學(xué)得到了深入的研究.1993年Krapivsky P L提出了兩種類集團(tuán)不可逆聚集-部分消滅動(dòng)力學(xué)問題[1];1994年，Sokolov I M等人采用Monte-Carlo模擬研究了基于有邊界條件規(guī)則網(wǎng)絡(luò)上的由Krapivsky P L提出的不可逆聚集-部分消滅反應(yīng)動(dòng)力學(xué)過程[2]；Ben-Naim E 和Krapivsky P L于1995年研究了兩種類集團(tuán)的聚集-完全消滅模型[3]；2003年Ke J等人提出了含有兩種類集團(tuán)的系統(tǒng)存在聚集和單體消滅兩種機(jī)制的反應(yīng)模型[4].

在過去的研究中，研究者大多運(yùn)用平均場假設(shè)下的Smoluchowski速率方程進(jìn)行理論研究或者基于規(guī)則網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬.無論是理論研究還是計(jì)算機(jī)模擬，反應(yīng)物大小在空間的漲落必須忽略，且假設(shè)各種類聚集體集團(tuán)在整個(gè)反應(yīng)過程中是均勻分布的，即反應(yīng)物集團(tuán)的空間擴(kuò)散系數(shù)為無限大，認(rèn)為系統(tǒng)中每一對集團(tuán)相互反應(yīng)的概率是相等的.如果將動(dòng)力學(xué)演化過程用網(wǎng)絡(luò)描述，每一個(gè)集團(tuán)可以抽象成節(jié)點(diǎn)，若集團(tuán)之間有聯(lián)系，則兩節(jié)點(diǎn)之間有邊存在，這樣我們就可以把聚集消滅反應(yīng)動(dòng)力學(xué)過程抽象為在網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)演化.但是在已有的研究中，基于動(dòng)力學(xué)反應(yīng)過程的背景都被認(rèn)為發(fā)生在規(guī)則網(wǎng)絡(luò)或隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)上，然而在真實(shí)世界中，很多事件之間的聯(lián)系往往表現(xiàn)出小世界效應(yīng)和無標(biāo)度特性，即系統(tǒng)中的集團(tuán)不能看成是完全等幾率反應(yīng)的，不僅近鄰節(jié)點(diǎn)間可以發(fā)生反應(yīng).兩個(gè)遠(yuǎn)程節(jié)點(diǎn)上的集團(tuán)也可以發(fā)生反應(yīng)，所以真實(shí)世界里的一些反應(yīng)過程不能簡單的被認(rèn)為是在規(guī)則或者隨機(jī)空間里進(jìn)行的，而應(yīng)該被看成是發(fā)生在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)過程[5，6]，況且已有很多研究結(jié)果表明,基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的一些反應(yīng)系統(tǒng)與正規(guī)空間的相同系統(tǒng)有著顯著不同的動(dòng)力學(xué)行為[9-15].本文采用Monte-Carlo模擬在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的聚集部分消滅動(dòng)力學(xué)行為.

1 基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的聚集部分消滅動(dòng)力學(xué)模型

在網(wǎng)絡(luò)中對于每一個(gè)節(jié)點(diǎn)，在任何時(shí)刻都含有3種可能的態(tài)：m、0和-n.節(jié)點(diǎn)處于m態(tài)表示該節(jié)點(diǎn)被m個(gè)A種類粒子同時(shí)占據(jù)，而節(jié)點(diǎn)處于0態(tài)表示沒有粒子占據(jù)該節(jié)點(diǎn)(即空節(jié)點(diǎn))，節(jié)點(diǎn)處于-n態(tài)表示該節(jié)點(diǎn)被n個(gè)B種類粒子同時(shí)占據(jù).為了簡化反應(yīng)過程，我們假定初始時(shí)刻只有若干節(jié)點(diǎn)被粒子占據(jù)，且只能被一個(gè)粒子占據(jù).該動(dòng)力學(xué)演化機(jī)制在網(wǎng)絡(luò)中的聚集消滅反應(yīng)包含以下幾個(gè)步驟：(1)隨機(jī)選擇一個(gè)有粒子存在的節(jié)點(diǎn)i；(2)從節(jié)點(diǎn)i的相鄰節(jié)點(diǎn)隨機(jī)選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)j；(3)i節(jié)點(diǎn)上的粒子全部移到j(luò)節(jié)點(diǎn)上.如果節(jié)點(diǎn)j為空節(jié)點(diǎn)，則粒子占據(jù)j節(jié)點(diǎn).如果j節(jié)點(diǎn)已有粒子，則將遵循1993年由Krapivsky P L 提出的聚集-部分消滅動(dòng)力學(xué)機(jī)制[3]：

此時(shí)j節(jié)點(diǎn)的粒子數(shù)將是|m-n|，粒子種類由m和n的大小決定.在一些實(shí)際過程中，集團(tuán)的質(zhì)量影響集團(tuán)擴(kuò)散速率.一般而言，較大質(zhì)量的集團(tuán)擴(kuò)散速率相對較小，質(zhì)量較小的集團(tuán)擴(kuò)散速率則相對較大，所以本文引入擴(kuò)散系數(shù)D表征擴(kuò)散速率對集團(tuán)質(zhì)量的依賴關(guān)系.通常，擴(kuò)散系數(shù)D與集團(tuán)質(zhì)量m的關(guān)系可寫為D～m-q，q越大，則D越小，質(zhì)量越大的集團(tuán)越難發(fā)生遷移.

1.1 二維規(guī)則網(wǎng)絡(luò)上的聚集部分消滅動(dòng)力學(xué)

圖1 二維正方規(guī)則網(wǎng)絡(luò) 圖2 二維環(huán)狀規(guī)則網(wǎng)絡(luò)

圖3 二維環(huán)狀規(guī)則網(wǎng)絡(luò)集團(tuán)濃度和粒子濃度隨時(shí)間的變化曲線

q0123α0.859 280.606 680.462 730.376 71β0.445 540.304 980.232 030.188 15

1.2 小世界網(wǎng)絡(luò)上的聚集部分消滅動(dòng)力學(xué)

1998年，Watts D J和Strogtz S H引入了WS小世界網(wǎng)絡(luò)模型[7]：該模型在低維的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上通過隨機(jī)化重連邊而構(gòu)造，但是該構(gòu)造算法容易破壞網(wǎng)絡(luò)的連通性.在本文的研究中，我們需考慮系統(tǒng)中的所有粒子參與反應(yīng)過程，因此本文討論基于NW小世界網(wǎng)絡(luò)的不可逆聚集-不完全消滅反應(yīng)模型.NW小世界網(wǎng)絡(luò)是由Newman M E J和Watts D J提出(稱NW模型)[8]：該模型在低維規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上通過隨機(jī)化加邊構(gòu)造，不會(huì)破壞網(wǎng)絡(luò)的連通性.

1.2.1 集團(tuán)擴(kuò)散速率與大小無關(guān)的聚集-部分消滅過程(q=0)

下面給出不同捷徑化參量p下，網(wǎng)絡(luò)的平均最短路徑以及反應(yīng)中期和中后期冪律指數(shù)α、β的值.反應(yīng)中期所指時(shí)間段為計(jì)算機(jī)模擬的100～1 000步，而反應(yīng)中后期所指的時(shí)間段為1 000～10 000步.

表2 q=0時(shí)不同捷徑化參量p下冪指數(shù)α、β的值

續(xù)表2

pLα中期中后期β中期中后期0.0118.009 210.897 610.909 230.445 640.454 610.0313.057 190.921 370.933 130.449 570.466 570.0511.262 010.925 190.937 450.453 720.468 730.0710.206 930.927 730.947 640.458 610.469 610.19.212 180.935 750.949 220.462 860.473 820.36.738 050.943 470.955 380.472 690.477 690.55.840 440.954 990.955 860.476 830.477 930.75.321 230.955 460.955 450.476 730.477 7314.817 360.955 460.955 460.476 830.477 73

模擬結(jié)果表明，基于二維小世界網(wǎng)絡(luò)的聚集部分消滅動(dòng)力學(xué)過程剩余的集團(tuán)濃度c(t)和粒子濃度g(t)隨時(shí)間的演化關(guān)系同樣都滿足冪律關(guān)系.由表2可見，隨著捷徑化參量p的增大，冪指數(shù)α和β的值增大，且冪指數(shù)α和β的值均滿足α=2β的關(guān)系，與二維環(huán)狀規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的不可逆聚集-部分消滅動(dòng)力學(xué)反應(yīng)相一致.這表明，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的改變僅影響了不可逆聚集-部分消滅反應(yīng)系統(tǒng)的演化速率，并不會(huì)影響系統(tǒng)的標(biāo)度性質(zhì).

圖4 不同時(shí)間段集團(tuán)濃度冪律指數(shù)α隨捷徑化參數(shù)p變化的曲線 圖5 不同時(shí)間段粒子濃度冪指數(shù)β隨捷徑化參數(shù)p變化的曲線

表3 q=1時(shí)不同捷徑化參量p下冪指數(shù)α、β的值

比較圖4、圖5中不同反應(yīng)時(shí)期的冪指數(shù)的大小，我們發(fā)現(xiàn)：(1)p較大或較小時(shí)，兩個(gè)反應(yīng)時(shí)期的冪指數(shù)α(β)近似相同，表明反應(yīng)系統(tǒng)經(jīng)長時(shí)間反應(yīng)后，系統(tǒng)中剩余的集團(tuán)密度和粒子密度隨時(shí)間的演化嚴(yán)格遵循按冪律函數(shù)形式；(2)p為其他值時(shí)，反應(yīng)中后期的冪指數(shù)α(β)值略大于反應(yīng)中期相應(yīng)的α(β)值，即集團(tuán)密度和粒子密度隨時(shí)間的演化近似地按冪律形式演化.由此可見，隨機(jī)加邊帶來的捷徑在不同反應(yīng)時(shí)期對不可逆聚集-部分消滅反應(yīng)系統(tǒng)的演化有著不同的影響.當(dāng)捷徑化參量p較小時(shí)，即加的邊很少時(shí)，雖然平均最短路徑相對于p=0(規(guī)則網(wǎng)絡(luò))時(shí)減小很多，但是網(wǎng)絡(luò)中所添加的捷徑(共2Np條)相對較少，集團(tuán)在反應(yīng)過程中選擇這些捷徑作為通道的概率很小，即隨機(jī)添加的少量邊對聚集消滅過程的反應(yīng)歷程影響很小.隨著捷徑化參量p的增大，即加邊數(shù)的增加，冪律指數(shù)增大到一定程度后開始趨于穩(wěn)定，也就是說當(dāng)邊數(shù)加到一定程度后網(wǎng)絡(luò)環(huán)境基本上已經(jīng)接近平均場情況.本身二維環(huán)狀規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的維度為2，隨著p的增大，平均最短路徑逐漸減小，網(wǎng)絡(luò)的維度逐漸增大.文獻(xiàn)[14]研究結(jié)果表明，一旦系統(tǒng)所處的空間維度大于臨界維度(dc=2)，則反應(yīng)物濃度的空間漲落可以忽略不計(jì).另一方面，基于平均場的理論計(jì)算結(jié)果表明[1]，當(dāng)t>>1時(shí)，冪律指數(shù)α=1,β=0.5.對于二維小世界網(wǎng)絡(luò)的維度一定大于2，從表2我們已經(jīng)看到，隨著捷徑化參量p的增大，冪律指數(shù)逐漸趨近于平均場的計(jì)算結(jié)果.

1.2.2 集團(tuán)擴(kuò)散速率與大小有關(guān)的聚集部分消滅過程(q=1)

圖3給出了不同捷徑化參量p下網(wǎng)絡(luò)的平均最短路徑以及反應(yīng)中期和中后期冪律指數(shù)α、β的值.

在不可逆聚集-消滅反應(yīng)過程中，集團(tuán)的擴(kuò)散速率與其所包含的粒子數(shù)m成反比，而且所有集團(tuán)的質(zhì)量m≥1，因此與上述q=0情況相比，q>0情況下系統(tǒng)的演化速率更加緩慢.

2 結(jié)束語

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