欠采樣技術(shù)的超寬帶信號(hào)子空間重建方法

楊 峰，胡劍浩，李少謙

(1. 電子信息控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 成都 610036; 2. 電子科技大學(xué)通信抗干擾技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 成都 611731)

欠采樣技術(shù)的超寬帶信號(hào)子空間重建方法

楊 峰1，胡劍浩2，李少謙2

(1. 電子信息控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 成都 610036; 2. 電子科技大學(xué)通信抗干擾技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 成都 611731)

針對(duì)超寬帶脈沖信號(hào)采樣中需要設(shè)計(jì)超高速模數(shù)變換器的問(wèn)題，提出了一種帶通采樣結(jié)構(gòu)和子空間重建算法。超寬帶脈沖信號(hào)通過(guò)一個(gè)帶通濾波器后，以數(shù)倍信號(hào)新息率進(jìn)行采樣，然后采用子空間重建算法可以準(zhǔn)確地恢復(fù)出超寬帶脈沖信號(hào)的幅度和時(shí)移。分析和仿真結(jié)果表明，該算法所要求的采樣率低于傳統(tǒng)香農(nóng)采樣定理要求的奈奎斯特率；當(dāng)信號(hào)受到噪聲影響時(shí)，子空間重建算法的性能優(yōu)于現(xiàn)有的零化濾波重建算法。

帶通采樣; 新息率; 子空間重建; 超寬帶

針對(duì)UWB脈沖信號(hào)的采樣問(wèn)題，本文提出了一種帶通采樣結(jié)構(gòu)和子空間重建算法，該方法避免了傳統(tǒng)香農(nóng)采樣定理所要求的最小奈奎斯特率采樣，所要求的ADC采樣率僅為UWB脈沖信號(hào)新息率的數(shù)倍；當(dāng)UWB脈沖信號(hào)受噪聲影響時(shí)，子空間重建算法的性能優(yōu)于現(xiàn)有的零化濾波重建算法。

1 系統(tǒng)模型

UWB脈沖信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中 i為UWB信號(hào)數(shù)據(jù)幀中的第i個(gè)脈沖；p為UWB信號(hào)一幀中脈沖的個(gè)數(shù)；Ai為直接序列擴(kuò)頻偽隨機(jī)序列；β?i/p?為PAM調(diào)制脈沖幅度；Tf為脈沖重復(fù)周期；ci為跳時(shí)擴(kuò)頻隨機(jī)碼；Tc為跳時(shí)擴(kuò)頻時(shí)移；δα?i/p?為PPM調(diào)制脈沖時(shí)移；g(t)為UWB脈沖信號(hào)波形，最常見(jiàn)的脈沖波形是高斯單脈沖。

將式(1)寫(xiě)為高斯單脈沖g(t)與沖激串信號(hào)x(t)的卷積有：

本文將探索如何按照信號(hào)新息率進(jìn)行采樣和重建UWB脈沖信號(hào)的方法，所提出的采樣與重建系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

UWB信號(hào)s(t)通過(guò)一個(gè)帶寬大于(等于)信號(hào)新息率的帶通濾波器h(t)，以數(shù)倍信號(hào)新息率進(jìn)行采樣，將采樣得到的離散時(shí)間信號(hào)y[n]變換到頻域后，采用簡(jiǎn)單的迫零均衡算法獲得沖激串信號(hào)x(t)的傅里葉變換X[k]。采用子空間算法求解沖激串信號(hào)的幅度di和時(shí)移ti，再根據(jù)式(2)準(zhǔn)確地重建UWB信號(hào)。由于UWB信號(hào)的新息率ρ遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于奈奎斯特率，因此本文算法所要求的采樣率低于傳統(tǒng)香農(nóng)采樣定理所要求的采樣率。

2 子空間重建算法

根據(jù)圖1中的系統(tǒng)模型，帶通采樣后離散時(shí)間信號(hào)y[n]的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以寫(xiě)為[8]：

式中 h(t)為帶通濾波器的沖激響應(yīng)函數(shù)；Ts為采樣時(shí)間間隔，當(dāng)采樣率大于信號(hào)新息率時(shí)，N≥2p；? · , · ?為內(nèi)積運(yùn)算符。將帶通濾波器h(t)中心頻率fc設(shè)置為UWB脈沖信號(hào)具有最高頻譜幅度處，可以獲得最大信噪比，帶通濾波器的帶寬B大于信號(hào)新息率ρ 。

離散時(shí)間信號(hào)y[n]的傅里葉變換為：

經(jīng)過(guò)迫零均衡后，可得到?jīng)_激串信號(hào)x(t)的離散傅里葉變換：

式中 G[k]為高斯單脈沖信號(hào)g(t)的離散傅里葉變換。

根據(jù)式(3)，沖激串信號(hào)x(t)的傅里葉變換為：

從式(14)可以看出，ui包含了沖激串信號(hào)x(t)的時(shí)移信息ti，因此求解ui，就可以得到?jīng)_激串信號(hào)的時(shí)移ti。

考慮由X[k]構(gòu)成的漢克爾矩陣有：

以不同的采樣率(如2倍、4倍或8倍信號(hào)新息率)對(duì)帶通濾波后的UWB信號(hào)進(jìn)行采樣，得到的離散時(shí)間信號(hào)y[n]的點(diǎn)數(shù)N是不同的，因此由X[k]構(gòu)造的漢克爾矩陣H具有不同的維數(shù)。通過(guò)提高采樣率，可以獲得維數(shù)更高的漢克爾矩陣H，因而子空間重建算法具有更好的性能。但是矩陣H維數(shù)增加會(huì)導(dǎo)致子空間重建算法復(fù)雜度增加，必須在重建性能和復(fù)雜度之間進(jìn)行折中。

在沒(méi)有噪聲時(shí)，可以將漢克爾矩陣H分解為：

可以發(fā)現(xiàn)，矩陣R和S是移位不變矩陣。

當(dāng)漢克爾矩陣H受噪聲影響時(shí)，可以采用奇異值分解方法將H分解為：

求解范德蒙德線性方程組式(26)，得到UWB信號(hào)的幅度di。

分別求解式(24)和式(25)得到?jīng)_激串信號(hào)x(t)的時(shí)移ti和幅度di，然后根據(jù)式(2)完成UWB信號(hào)的重建。

3 仿真結(jié)果與討論

本節(jié)通過(guò)仿真驗(yàn)證帶通采樣和子空間重建算法的有效性。仿真所采用UWB高斯單脈沖信號(hào)的寬度Td為0.5 ns，帶寬為2.3 GHz，按照傳統(tǒng)的香農(nóng)采樣定理，需要設(shè)計(jì)采樣率為2倍信號(hào)帶寬(=4.6 GHz)的ADC，這樣高采樣率的ADC是無(wú)法大規(guī)模低成本設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)的。

設(shè)在UWB信號(hào)的一個(gè)幀中共有10個(gè)高斯單脈沖，脈沖重復(fù)周期Tf為50 ns，根據(jù)式(6)計(jì)算得到UWB脈沖信號(hào)的新息率為40 MHz，按照本文所提出的帶通采樣和子空間重建算法，以不同的采樣率進(jìn)行采樣和重建，得到的歸一化根均方重建誤差如圖2所示。圖中未作任何標(biāo)記的曲線為零化濾波重建方法的誤差性能[8-11]；通過(guò)適當(dāng)提高采樣率，以2倍信號(hào)新息率(80 MHz)采樣時(shí)，重建誤差如圖2中標(biāo)記為“+”的曲線所示，其性能優(yōu)于零化濾波重建算法，但其在低信噪比條件下重建誤差仍然較高；以4倍信號(hào)新息率(160 MHz)采樣時(shí)，子空間重建算法性能改善明顯，在低信噪比條件下可獲得較好的重建結(jié)果；繼續(xù)提高采樣率，以8倍信號(hào)新息率(320 MHz)采樣時(shí)，重建誤差僅比4倍信號(hào)新息率采樣時(shí)的重建結(jié)果改善1～2 dB，而隨著采樣率提高，子空間重建算法復(fù)雜度增加，因此，以4倍信號(hào)新息率進(jìn)行采樣，能夠以較低的復(fù)雜度獲得良好的重建結(jié)果。

采用子空間算法重建UWB信號(hào)的結(jié)果如圖3所示。圖3a中繪出了3個(gè)原始高斯單脈沖信號(hào)，以及這些脈沖受噪聲(信噪比10 dB)影響時(shí)的信號(hào)波形；使用本文所提出的子空間重建算法，采樣速率為4倍信號(hào)新息率(160 MHz)，對(duì)UWB信號(hào)進(jìn)行采樣和重建，重建結(jié)果如圖3b中虛線所示，可以看出，在信噪比為10 dB時(shí)，子空間算法可以準(zhǔn)確地重建原始UWB信號(hào)。

圖2 時(shí)移估計(jì)歸一化根均方重建誤差

圖3 UWB高斯單脈沖信號(hào)波形重建結(jié)果

4 結(jié) 論

本文對(duì)非帶限信號(hào)的低通采樣和零化濾波重建算法進(jìn)行改造，提出了UWB脈沖信號(hào)的一種帶通采樣結(jié)構(gòu)，并由此給出了一種子空間重建算法，通過(guò)適當(dāng)提高采樣率，以2倍、4倍或者8倍信號(hào)新息率進(jìn)行采樣，可以獲得較現(xiàn)有零化濾波重建算法更好的重建性能。以8倍信號(hào)新息率進(jìn)行采樣時(shí)，本文算法所要求的采樣率低于傳統(tǒng)的香農(nóng)采樣定理1個(gè)數(shù)量級(jí)。分析和仿真結(jié)果表明，本文算法所要求的采樣率低于傳統(tǒng)香農(nóng)采樣定理；在低信噪比的情況下，本文算法的性能優(yōu)于現(xiàn)有的零化濾波重建算法。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]WIN M Z, SCHOLTZ R A. Ultra-wide bandwidth time-hopping spread-spectrum impulse radio for wireless multiple-access communications[J]. IEEE Trans on Commun, 2000, 48(4): 679-691.

[2]CHEOLHEE P, RAPPAPORT T S. Short-range wireless communications for next-Generation networks: UWB, 60 GHz millimeter-wave WPAN, and ZigBee[J]. IEEE Wireless Commun, 2007, 14(4): 70-78.

[3]CHOI J D, STARK W E. Performance of ultra-wideband communications with suboptimal receivers in multipath channels[J]. IEEE J Sel Areas Commun, 2002, 20(9):1754-1766.

[4]CASSIOLI D, WIN M Z, VATALARO F, et al. Low complexity rake receivers in ultra-wideband channels[J].IEEE Trans on Wireless Commun, 2007, 6(4): 1265-1275.

[5]岳光榮, 李少謙. 超寬帶沖激無(wú)線電性能比較[J]. 電子科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2003, 32(5): 477-480.YUE G R, LI S Q. Performance comparison of Ultra wideband impulse radio[J]. Journal of University of Electronic Science and Technology of China, 2003, 32(5):477-480.

[6]WALDEN R H. Analog-to-digital converter survey and analysis[J]. IEEE J Sel Areas Commun, 1999, 17(4):539-550.

[7]LE B, RONDEAU T W, REED J H,et al. Analog-to-digital converters[J]. IEEE Sig Proc Mag, 2005, 22(6): 69-77.

[8]VETTERLI M, MARZILIANO P, BLU T. Sampling signals with finite rate of innovation[J]. IEEE Trans on Sig Proc,2002, 20(6): 1417-1428.

[9]BLU T, DRAGOTTI P L, VETTERLI M, et al. Sparse sampling of signal innovations[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2008, 25(2): 31-40.

[10]KUSUMA J, RIDOLFI A, VETTERLI M. Sampling of communication systems with bandwidth expansion[C]//The 2002 IEEE International Conference on Communications. New York: IEEE, 2002, 3: 1601-1605.

[11]KUSUMA J, MARAVIC I, VETTERLI M. Sampling with finite rate of innovation: channel and timing estimation for UWB and GPS[C]//The 2002 IEEE International Conference on Communications. Anchorage, AK, USA:IEEE, 2003, 5: 3540-3544.

[12]HAYES M H. Statistical digital signal processing and modeling[M]. New York: John Wiley and Sons, 1996.

[13]張賢達(dá). 現(xiàn)代信號(hào)處理[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社,2002.ZHANG X D. Modern signal processing[M]. Beijing:Tsinghua University Press, 2002.

編 輯 張 俊

Subspace Reconstruction Method of UWB Signals Based on Sub-Sampling

YANG Feng1, HU Jian-hao2, and LI Shao-qian2

(1. Science and Tecknology on Electron Information Control Laboratory Chengdu 610036;2. National Key Laboratory of Science and Technology on Communications, University of Electronic Science and Technology of China Chengdu 611731)

In this paper, bandpass sampling and subspace reconstruction methods of ultra-wideband (UWB)signals are proposed, which can greatly reduce the sampling rate in UWB communications. The UWB signals are passed through a bandpass filter and sampled at several times of the innovation rate. Then the amplitudes and time shifts of UWB signals can be obtained by subspace reconstruction method. Analysis and simulation results show that the subspace method can precisely reconstruct the UWB signals at a sampling rate which is much lower than Nyquist rate.

bandpass sampling; innovation rate; subspace reconstruction; ultra-wideband

[8-11]提出了非帶限信號(hào)的一種低通采樣和零化濾波重建算法，對(duì)非帶限信號(hào)按照信號(hào)新息率進(jìn)行采樣和重建，該方法在沒(méi)有噪聲影響的情況下可以準(zhǔn)確地重建原始非帶限信號(hào)，但其在噪聲影響下會(huì)出現(xiàn)病態(tài)方程組，無(wú)法求解得到非帶限信號(hào)的幅度和時(shí)移信息，算法抗噪聲性能較差。

TN92

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2010.06.008

2009- 05- 19;

2009- 09- 21

國(guó)家973計(jì)劃(2007CB310604)

楊 峰(1978- )，男，博士，主要從事超寬帶無(wú)線通信和移動(dòng)通信技術(shù)方面的研究.

超寬帶(UWB)無(wú)線通信技術(shù)因其具有數(shù)據(jù)傳輸率高、抗多徑干擾能力強(qiáng)、定位精確和成本低廉等優(yōu)點(diǎn)，在短距離高速無(wú)線通信、測(cè)距與定位、遙感以及汽車(chē)?yán)走_(dá)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-2]。脈沖超寬帶(IR-UWB)通信系統(tǒng)使用納秒甚至皮秒級(jí)寬度的脈沖信號(hào)傳輸信息，具有較強(qiáng)的多徑分辨能力，通過(guò)使用RAKE接收機(jī)分集合并可以捕獲盡可能多的多徑能量，改善接收機(jī)性能[3-5]。但是設(shè)計(jì)RAKE接收機(jī)需要進(jìn)行精確的信道參數(shù)估計(jì)，這就要求對(duì)UWB信號(hào)進(jìn)行數(shù)字化采樣，由于UWB脈沖占用非常大的帶寬(≥500 MHz)，按照香農(nóng)采樣定理，需要設(shè)計(jì)采樣率為幾個(gè)吉赫茲的模數(shù)變換器(ADC)，將導(dǎo)致系統(tǒng)復(fù)雜度增加，成本上升，背離UWB系統(tǒng)設(shè)計(jì)的初衷。文獻(xiàn)[6-7]的研究結(jié)果表明，限于半導(dǎo)體集成電路的工藝水平，目前已經(jīng)商用的ADC最高采樣率為1 GHz，不能滿足UWB信號(hào)數(shù)字化采樣的需求。雖然通過(guò)模擬方法可以降低ADC的采樣率，但是模擬方法與數(shù)字信號(hào)處理算法相比，檢測(cè)性能較差，信號(hào)處理靈活度較低。