關(guān)于教師經(jīng)歷“非常規(guī)數(shù)學(xué)對(duì)象”的思考

沈曉芳

(石河子大學(xué)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系,新疆 石河子 832003)

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，有許多數(shù)學(xué)對(duì)象和內(nèi)容是約定俗成的，我們通常說(shuō)的進(jìn)制是指十進(jìn)制，談到幾何大家會(huì)理所當(dāng)然的認(rèn)為是指歐幾里得幾何等等.然而，在數(shù)學(xué)史的發(fā)展過(guò)程中同時(shí)還伴隨著非常規(guī)的數(shù)學(xué)對(duì)象，學(xué)習(xí)和經(jīng)歷它們對(duì)教師處理常規(guī)對(duì)象有著不可忽視的作用，同時(shí)對(duì)教師理解其他學(xué)科從而掌握本學(xué)科的內(nèi)容也有至關(guān)重要的理論價(jià)值和實(shí)踐意義.

1 調(diào)查研究

下面就幾個(gè)實(shí)例進(jìn)行闡述.

1(a)能被5整除的數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它的各個(gè)位數(shù)的數(shù)字之和能被5整除.

1(b)a+(b·c)= (a+b)·(a+c).

1(c)三角形的內(nèi)角和小于180度.

通過(guò)調(diào)查中學(xué)教師，如果上述三個(gè)結(jié)論沒(méi)有前提條件，93%的教師認(rèn)為是打印錯(cuò)誤和印刷錯(cuò)誤. 因?yàn)?(a)中應(yīng)將5換成3；1(b)中應(yīng)將“+”和“·”互換；1(c)中應(yīng)將小于號(hào)換成等于號(hào).

再看另外三個(gè)例子：

2(a)能被3整除的數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它的各個(gè)位數(shù)的數(shù)字之和能被3整除.

2(b)a·(b+c)= (a·b)+(a·c).

2(c)三角形的內(nèi)角和永遠(yuǎn)是180度.

初看結(jié)論肯定是對(duì)的，再仔細(xì)看看，會(huì)意識(shí)到結(jié)論成立所隱藏的假設(shè)是2(a)成立當(dāng)且僅當(dāng)我們理所當(dāng)然的認(rèn)為是十進(jìn)制系統(tǒng)；2(b)成立當(dāng)且僅當(dāng)我們理所當(dāng)然的認(rèn)為是在常規(guī)的代數(shù)運(yùn)算中；2(c)成立當(dāng)且僅當(dāng)我們理所當(dāng)然的認(rèn)為是歐幾里得幾何.

如果沒(méi)有這些假設(shè)的前提，我們改變這些常規(guī)假設(shè)，結(jié)果會(huì)怎么樣呢？對(duì)任何水平的數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)，改變常規(guī)的思維方式對(duì)創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)都是有價(jià)值的，并且能夠豐富教師的學(xué)科內(nèi)容知識(shí)和教學(xué)法觀念.

2 基本理論

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是主體主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，這是認(rèn)識(shí)論的建構(gòu)主義.Skemp認(rèn)為：“要理解一個(gè)新的情景意味著將它同化到自己合適的圖示中.”進(jìn)一步延伸為同化到更為豐富或更抽象的圖示中.這說(shuō)明當(dāng)數(shù)學(xué)概念成為一個(gè)人頭腦中許多一般的數(shù)學(xué)概念的具體的例子時(shí)，這時(shí)就構(gòu)建了一個(gè)較豐富的圖示.[1-2]比如：將熟悉的整數(shù)運(yùn)算看作是加法交換群的例子或?qū)⒁粋€(gè)正方形看作是平行四邊形的特例.一個(gè)豐富的圖示構(gòu)建規(guī)定些什么？它的核心原則是皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論：在一個(gè)特殊的環(huán)境中，個(gè)體意識(shí)到了一個(gè)非平衡的狀態(tài)將會(huì)通過(guò)同化使?fàn)顟B(tài)達(dá)到平衡.否則，將會(huì)重新構(gòu)建一個(gè)圖示使個(gè)體能接受這種狀態(tài)[3-4].本文呈現(xiàn)了三個(gè)非平衡的學(xué)習(xí)活動(dòng)的實(shí)例，因此需要再構(gòu)建新的圖示.

2.1 非常規(guī)的數(shù)字系統(tǒng)

在20世紀(jì)中葉，人們學(xué)會(huì)了數(shù)數(shù)、加法和乘法，我們的祖先將印度—阿拉伯?dāng)?shù)字系統(tǒng)作為人類的一項(xiàng)偉大發(fā)明，為了便于應(yīng)用和理解，一直長(zhǎng)期沿用十進(jìn)制系統(tǒng).然而最初受到挑戰(zhàn)的是五進(jìn)制數(shù).加法和乘法對(duì)于不同的進(jìn)制需要轉(zhuǎn)化，非十進(jìn)制數(shù)換算成十進(jìn)制后可能是小數(shù).比如：12.345轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制數(shù)為12.345=1×5+2×1+3×1/5+4×1/25=7.7610

同一個(gè)數(shù)字規(guī)則對(duì)于不同進(jìn)制是有變化的.比如，下列規(guī)則對(duì)于十進(jìn)制來(lái)說(shuō)是成立的：如果a能被c整除，b也能被c整除，則(a+b)也能被c整除；任何能被12整除的數(shù)一定能被3整除；81、100、121、144和169等都是完全平方數(shù).那么這些規(guī)則對(duì)于非十進(jìn)制未必完全成立.上述這些實(shí)踐活動(dòng)是一種構(gòu)建或再構(gòu)建非常規(guī)數(shù)字系統(tǒng)的較好的方式，轉(zhuǎn)換不同進(jìn)制的位值找出規(guī)律是對(duì)教師和學(xué)生最初假定的十進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)觀念的一個(gè)挑戰(zhàn).

2.2 非常規(guī)的運(yùn)算

1(c)當(dāng)“+”和“·”在布爾運(yùn)算中，則a+(b·c)= (a+b)·(a+c)是成立的.布爾運(yùn)算的等式表述和物理電路可以建立一種對(duì)應(yīng)使其相互轉(zhuǎn)化.它的具體實(shí)例應(yīng)用于串聯(lián)和并聯(lián)電路中，分別用“·”和“+”代替(如圖1)[5].表1用真值表證明了等式的真實(shí)性，然而學(xué)生卻不易接受這種運(yùn)算.為了避免混淆，學(xué)生一般會(huì)采用不同于常規(guī)的加法和乘法表示法.但是對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，可以看到這種使用混淆記號(hào)的好處，使得代數(shù)運(yùn)算和物理背景很好的聯(lián)系在一起了.起初使用這種混淆的記號(hào)會(huì)顯得不自然，漸漸地會(huì)接受這種運(yùn)算并意識(shí)到使用記號(hào)的真正含義.

圖1 物理電路與布爾運(yùn)算等式的相互轉(zhuǎn)化

表1 a+(b+c)=(a+b)·(a+c)的真值表

Hadar和Hadass的研究表明：盡管數(shù)學(xué)教材中有較透徹的說(shuō)明，教師仍然受算術(shù)運(yùn)算的原型例子的影響.[6]教師如果能經(jīng)常給學(xué)生呈現(xiàn)多種非常規(guī)的運(yùn)算實(shí)例，不僅能幫助學(xué)生克服錯(cuò)誤觀念并且能證明反例證(用以證明某理論或定理不成立)的重要性.教師也要主動(dòng)分析自己出現(xiàn)錯(cuò)誤觀念的來(lái)源，從而使學(xué)生減少依賴特殊的例子，這種意識(shí)和觀念對(duì)于數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)也是非常必要的.

2.3 非常規(guī)的幾何公理體系

幾何證明對(duì)學(xué)生和教師來(lái)說(shuō)都是一種挑戰(zhàn)，學(xué)習(xí)歐幾里得幾何的困難是證明和演繹推理.需要分析已知條件有哪些？推理的原理是什么？

公理1：平面是點(diǎn)的集合，每個(gè)平面至少有兩條直線.

公理2：平面上任何兩個(gè)點(diǎn)有且僅有一條直線經(jīng)過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)(兩點(diǎn)確定一條直線).

公理3：過(guò)直線m外的一點(diǎn)A有且僅有一條過(guò)A點(diǎn)的直線與直線m平行.

滿足上述三個(gè)公理最少需要幾個(gè)點(diǎn)？很容易得出是四個(gè).如果是三個(gè)點(diǎn)A、B、C，因?yàn)闆](méi)有一條包含C點(diǎn)的直線平行于直線AB,不滿足公理3；如果是五個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、E，因?yàn)橛卸嘤谝粭l過(guò)C點(diǎn)的直線CD和直線CE平行于直線AB，也不滿足公理3.這個(gè)有趣的例子促進(jìn)了非歐幾何的發(fā)展，由公理3引發(fā)了兩種可能：(1)平面上，過(guò)直線外一點(diǎn)至少有兩條直線與已知直線不相交.(2)平面上，過(guò)直線外一點(diǎn)不存在直線與已知直線不相交(平面上任何兩條直線都相交).這就分別是羅巴切夫斯基幾何和黎曼幾何(簡(jiǎn)稱羅氏幾何和黎氏幾何).

在歐氏幾何中，如果AC與BD沒(méi)有公共點(diǎn)，它們是平行的.那么有沒(méi)有一種幾何有5個(gè)點(diǎn)是滿足上述的三個(gè)定理的？由圖2可知羅氏幾何中的4-點(diǎn)幾何AC與BD是平行的，5-點(diǎn)幾何AB與CD平行并且AB與CE平行[7].因此，直觀歐氏幾何對(duì)4-點(diǎn)幾何和5-點(diǎn)幾何都形成了障礙，克服這種障礙是教師教育中重要的一步.

圖2 4-點(diǎn)與5-點(diǎn)幾何的例子

基于非歐幾何可以得到一些結(jié)論：(1)三角形的內(nèi)角和小于二直角，并且不是常量.(2)三角形的任一個(gè)外角大于其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和.(3)三角形不一定存在外接圓……[8].證明這些定理不僅僅是一種挑戰(zhàn)，而且能幫助我們意識(shí)到我們依賴常規(guī)學(xué)習(xí)的事實(shí).我們不能僅限于書本證明，相信感覺(jué)，這些有可能導(dǎo)致錯(cuò)誤.由此可知本文序言中1(a)、1(b)和1(c)三個(gè)例子在非常規(guī)的假設(shè)下也是正確的.

3 結(jié)語(yǔ)

改變常規(guī)假設(shè)，改變常規(guī)的思維方式對(duì)創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)是有價(jià)值的.因?yàn)閯?chuàng)造性思維的培養(yǎng)可以幫助學(xué)生看到人類創(chuàng)造數(shù)學(xué)的過(guò)程以及認(rèn)識(shí)到人類是如何選擇數(shù)學(xué)知識(shí)的常規(guī)性的，有時(shí)選擇這種常規(guī)是為了方便，比如選擇十進(jìn)制；有時(shí)一個(gè)常規(guī)也可能是任意的，比如笛卡爾直角坐標(biāo)系.做這些非常規(guī)的活動(dòng)是非常有用的，比如普通體操訓(xùn)練是從前面不屈腿而用手觸摸地板的，做這個(gè)活動(dòng)實(shí)際上不是為了摸到地板，而是拉展腿部肌肉.同樣地，構(gòu)建不同進(jìn)制的運(yùn)算，目的不只是為了計(jì)算數(shù)值之間的所得值的差異，而是發(fā)展一種思維，一種問(wèn)題解決的技能.計(jì)算機(jī)中應(yīng)用二進(jìn)制系統(tǒng)，布爾代數(shù)應(yīng)用于開關(guān)電路，非歐幾何用于地理學(xué)中.學(xué)習(xí)非常規(guī)的結(jié)構(gòu)可以更好地理解和賞識(shí)常規(guī)，從而幫助學(xué)生構(gòu)建較豐富較抽象的圖示，同化更多的新知識(shí).

參考文獻(xiàn)：

[1] Zazkis R, Khoury H. Collegiate Math[J]. Educ,1994(1):195-224.

[2] Khoury H,Zazkis R. Studies Math[J]. Educ,1994,27:191-204.

[3] Leron U,Dubinsky E.Amer Technol [J].Math,1995(7):102,247- 272.

[4] Zazkis R,Whitkanack D. Int. J. Math Educ[J].Sci,1993,24:77- 83.

[5] Hanna G. Proceedings of PME 20 [J].In L Puig and A.Gutierrez (eds),1996(1):21- 34.

[6] Dubinsky E, Leron U,Dautermann J,Zazkis R. Studies Math[J].Educ,1995,27:267- 305.

[7] Zazkis R, Khoury H. Focus on L earning Problems in Mathematics[J].Educ,1993,15:38- 51.

[8]梁希泉.高觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)幾何學(xué)[M].長(zhǎng)春:東北師范大學(xué)出版社,2000(7):84-86,94-101.