混合分布與風(fēng)險(xiǎn)

王丙參,羅英勇,田玉柱

(1.天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 天水 741001;2.河南大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南 開封 475001)

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，所有隨機(jī)變量(r.v)或者是離散型或者是連續(xù)型，然而保險(xiǎn)領(lǐng)域卻不總這樣，許多被用來模擬保險(xiǎn)理賠支付的分布函數(shù)(cdf)有連續(xù)部分，同時(shí)也有離散的、正的跳躍部分.例如，在責(zé)任險(xiǎn)中，理賠額有很大的取值范圍，每一種理賠額都對(duì)應(yīng)一個(gè)非常小的發(fā)生概率.有兩種例外情況不容忽視：無理賠(理賠額為0)發(fā)生的概率很大，以及理賠額等于最大保險(xiǎn)金額的概率(即損失超過某一門限值的概率)，能夠產(chǎn)生這種類型r.v的一個(gè)簡(jiǎn)單而靈活的模型是混合模型[1].本文研究了混合分布的性質(zhì)，引出用微分法構(gòu)造混合風(fēng)險(xiǎn)的形式，作為保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)中最常見的應(yīng)用，給出保費(fèi)的確定方法.

1 預(yù)備知識(shí)

微分dF(x)=FX(x)-FX(x-dx)表示x點(diǎn)概率，即若有概率存在，則該微分表示cdf在x點(diǎn)的跳躍高度.若在x處cdf沒有跳躍，則該微分等于F′(x)dx，其中dx表示一個(gè)無窮小量.在壽險(xiǎn)中，R-S積分也稱為廣義黎曼積分.

定理1[2]條件期望具有下面的性質(zhì):

(1)E(aξ+bη|G)=aE(ξ|G)+bE(η|G)，其中a,b∈R，且假定E(aξ+bη|G)存在；

(2)E[E(ξ|G)]=E(ξ)；

(3)如果ξ為G可測(cè)，則E(ξ|G)=ξ；

(4)如果ξ與σ代數(shù)G獨(dú)立，則E(ξ|G)]=E(ξ)；

(5)如果G1是σ代數(shù)G的子σ代數(shù)，則E[(E(ξ|G))|G1]=E(ξ|G1)；

(6)(Jensen不等式)如果f是R上的下凸函數(shù)，則f(W(ξ|G))=E(f(ξ)|G)；

定理2 如果條件期望E[Y|X]以及X的邊緣分布已知，則E[Y]=E[E[Y|X]]，Var(Y)=E[Var[Y|X]]+Var[E[Y|X]].

證明E[Y2]=E[E[Y2|X]]=E[Var[Y|X]]+E[(E[Y|X])2]

左邊減去E[Y]的平方，右端減去E[E[Y|X]]的平方便可得結(jié)論.

2 混合分布

設(shè)X,Y均為r.v，I為示性r.v，取值為0和1，其中I=1表示某個(gè)事件發(fā)生，事件發(fā)生的概率為q=p(I=1),0

假設(shè)Z代表某個(gè)風(fēng)險(xiǎn)保單的理賠支付，則一般有3種情況：

(1)保單合同無理賠，Z=0；

(2)保單合同的索賠額大于最大的保險(xiǎn)金額M，Z=M；

(3)保單合同產(chǎn)生正常的索賠額，0

Z的cdf在0和M處各有一個(gè)跳躍，跳躍的跨度是Z在該點(diǎn)相應(yīng)的概率；對(duì)于中間部分，用一個(gè)連續(xù)cdf描述，此時(shí)Z的cdf既不完全離散也不完全連續(xù)，而是一個(gè)離散與連續(xù)cdf的混合分布.顯然有如下結(jié)論：

Fz(z)=P(Z≤z)=

P(X≤z,I=1)+P(Y≤z,I=0)=

qFX(z)+(1-q)FY(z)

Fz(z)-Fz(z-0)=qP(X=z)，

EZ=qEX+(1-q)EY，

mgfmz(t)=qmX(t)+(1-q)mY(t).

值得注意的是，凸組合T=qX+(1-q)Y的cdf并不都具有如此形式.如假定X,Y相互獨(dú)立且有共同分布N(0,1)，則T～N(0,q2+(1-q)2).又因?yàn)镕z(z)=qFX(z)+(1-q)FY(z)=FX(z)，所以Z～N(0,1).顯然，T的cdf不具有上述形式.

E[g(Z)]=E[E[g(Z)|I]]=

qE[g(X)|I=1]+(1-q)E[g(Y)|I=0]=

qE[g(X)]+(1-q)E[g(Y)]

如果風(fēng)險(xiǎn)X=IB，I為Bernoulli(q)r.v，B為任意r.v，且I與B相互獨(dú)立，則

E[X]=E[I]E[B]=qE[B]，

Var[IB]=E[Var(IB|I)]+Var[E(IB|I)]=

E[I2]Var[B]+Var[IE[B]]=

E[I2]Var[B]+Var[I](E[B])2=

qVar[B]+pq(E[B])2

Ms(t)=MN(logMX(t))=

可見S的mgf是常數(shù)0的mgf與指數(shù)分布的mgf的一個(gè)混合.

cdfFs(x)=p+q(1-e-px)=1-qe-px,x≥0，

這是一個(gè)在0點(diǎn)有跳度p而其它處為指數(shù)型的cdf.

已知混合分布的cdf，如何確定離散型和連續(xù)型r.v用來構(gòu)造混合分布?下面就此問題舉例分析[6].

我們首先求cdf的微分形式dFZ(x)，在跳躍點(diǎn)2，4處dFZ(2)=FZ(2)-FZ(2-)=0.5，dFZ(4)=

例2 (有最大保險(xiǎn)金額的責(zé)任險(xiǎn))考慮承包責(zé)任損失為S的保單，免賠額為100，最大理賠支付為1000.即如果S≤100，則保單理賠支付X=0；如果

S≥1100，則X=1000，否則，X=S-100.已知P(

S>100)=0.1，P(S>1100)=0.02，當(dāng)100

P[B=1000|I=1]=0.02,

P[B∈(x,x+dx)|I=1]=

0.00008dx,0

FX(x)=P(IB≤x)=

P(IB≤x|I=0)P(I=0)+

P(IB≤x|I=1)P(I=1)=

密度函數(shù)(pdf)形式為:

例3 (有索賠且索賠服從指數(shù)分布)假定風(fēng)險(xiǎn)X有如下分布，P(X=0)=0.5，P(X∈[x,x+dx])=0.5βe-βxdx,β=0.1,x>0，X的均值是多少？對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為α=0.01具有指數(shù)效用函數(shù)的人，愿意為風(fēng)險(xiǎn)X支付的最大保費(fèi)是多少？

在保險(xiǎn)領(lǐng)域，混合分布是常見的一種兩階段模型.通過研究混合分布及其構(gòu)造形式，討論如何利用微分法確定混合風(fēng)險(xiǎn)的保費(fèi)及混合風(fēng)險(xiǎn)的各種統(tǒng)計(jì)特征，可以更全面、簡(jiǎn)便地掌握混合風(fēng)險(xiǎn)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.

參考文獻(xiàn)：

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[3]漢斯U.蓋伯.數(shù)學(xué)風(fēng)險(xiǎn)論導(dǎo)引[M].成世學(xué),嚴(yán)穎譯.北京:世界圖書出版公司,1997

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[5]張博.精算學(xué)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2005.

[6]張梅,馬建靜.微分法在混合風(fēng)險(xiǎn)中的應(yīng)用[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)漢文版,2008.37(1).