區(qū)間二型模糊關(guān)系及其應(yīng)用

陳一祥，劉丁酉

(武漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 武漢 430072)

1 區(qū)間二型模糊關(guān)系的概念及運(yùn)算

當(dāng)論域有限時(shí)，設(shè)U={u1,u2,…,um}，V={v1,v2,…,vn}，則U到V的區(qū)間二型模糊關(guān)系與一個(gè)矩陣相對(duì)應(yīng)，這個(gè)矩陣稱為區(qū)間二型模糊矩陣，它有如下形式：

由以上定義可知，區(qū)間二型模糊關(guān)系實(shí)際上就是區(qū)間值模糊關(guān)系，區(qū)間二型模糊矩陣實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)區(qū)間值模糊矩陣，這樣命名的目的是希望和(區(qū)間)二型模糊集的理論統(tǒng)一起來.

區(qū)間二型模糊關(guān)系和一型模糊關(guān)系的不同之處在于前者用區(qū)間數(shù)來度量關(guān)系的程度的大小，下面先看一下區(qū)間數(shù)的有關(guān)運(yùn)算.

引理1[4]設(shè)I1=[a1,b1]，I2=[a2,b2]是兩個(gè)區(qū)間數(shù)，*∈{+,-,·,÷,∨,∧}，且當(dāng)*是÷時(shí)，I2是無零區(qū)間數(shù)，則I1*I2也是區(qū)間數(shù)，且:

I1+I2=[a1+a2,b1+b2] ，I1-I2=[a1-b2,b1-a2]

I1∨I2=[a1∨a2,b1∨b2]，I1∧I2=[a1∧a2,b1∧b2]

I1·I2=[c,d]，其中c=min{a1a2,a1b2,b1a2,b1b2}，d=max{a1a2,a1b2,b1a2,b1b2}

特別地，當(dāng)I1和I2為正區(qū)間數(shù)時(shí)，I1·I2=[a1b1,a2b2],I1÷I2=[a1÷b2,a2÷b1].對(duì)于數(shù)與區(qū)間數(shù)的運(yùn)算，可以把數(shù)先表示成區(qū)間數(shù)的形式(即若a為實(shí)數(shù)，則a可表示成a=[a,a])，再按照區(qū)間數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行.

在區(qū)間二型模糊關(guān)系中對(duì)關(guān)系程度的大小進(jìn)行比較實(shí)際上就是對(duì)區(qū)間數(shù)的大小進(jìn)行排序[5～8]，為此定義區(qū)間數(shù)的序關(guān)系.

定義2 設(shè)I1=[a1,b1]，I2=[a2,b2]是兩個(gè)區(qū)間數(shù)，若有a1≤a2,b1≤b2，則稱I1≤I2；若有a1≥a2,b1≥b2，則稱I1≥I2；若有a1=a2,b1=b2，則稱I1=I2.

根據(jù)區(qū)間數(shù)的運(yùn)算及序關(guān)系可以定義區(qū)間二型模糊關(guān)系的運(yùn)算.

類似于一型模糊關(guān)系的合成運(yùn)算，可以定義區(qū)間二型模糊關(guān)系的合成.

當(dāng)論域?yàn)橛邢迺r(shí)，區(qū)間二型模糊關(guān)系的合成可用相應(yīng)的區(qū)間二型模糊矩陣的合成來表示.

易見，區(qū)間二型模糊關(guān)系的合成運(yùn)算具有下列性質(zhì)：

2 區(qū)間二型模糊相似關(guān)系和區(qū)間二型模糊等價(jià)關(guān)系

4)首先，由區(qū)間二型模糊關(guān)系復(fù)合運(yùn)算的性質(zhì)得：

因此存在m≤n，使得:

3 區(qū)間二型模糊等價(jià)關(guān)系在聚類中的應(yīng)用

人的“相貌相似關(guān)系”是一個(gè)模糊關(guān)系，下面采用區(qū)間二型模糊集來刻畫這一關(guān)系.假設(shè)要研究的對(duì)象是6個(gè)人，則論域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}，通過量化他們彼此的相貌相似程度得到區(qū)間二型模糊相似矩陣，不妨設(shè)為:

結(jié)果分析：上述例子表明，用區(qū)間二型模糊集來刻畫模糊關(guān)系能夠包含更多的模糊信息，對(duì)于不確定的模糊信息的度量，它不再用一個(gè)具體的數(shù)值而是用一個(gè)區(qū)間來表示，給出了不確定的范圍，這更符合人類自然語言的本質(zhì).

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