兩類正項級數(shù)斂散性判別法的改進及推廣

曾 亮

(肇慶科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部,廣東肇慶526114)

1 引 言

正項級數(shù)斂散性的判別方法有很多種,常見的有達朗貝爾比值判別法、柯西根值判別法、Raabe判別法、高斯判別法和對數(shù)判別法[1-3]等等,但每種判別法都其不足之處,也就是存在判別法失效的問題.近年來,學(xué)者們對正項級數(shù)斂散性的判別方法做了許多研究,提出了多種新的有效的判別法[4-11].本文將對其中兩類作深入研究,得出它們的改進及推廣形式,并通過實例驗證其應(yīng)用價值.

2 幾個引理及定理

為了證明文中得出的定理,需下面的引理：

引理1[3]設(shè)為正項級數(shù),且存在正數(shù) N0,對一切 n＞N0,有則

(1)若∑νn收斂,則∑un也收斂;(2)若∑un發(fā)散,則∑νn也發(fā)散.

文獻 [8]給出了Raabe對數(shù)判別法 (第二對數(shù)判別法),其表述如下:

引理2(第二對數(shù)判別法) 設(shè)∑a為正項級數(shù) (a＞0),且則nn(1)當(dāng) l＞1時,級數(shù)∑an收斂;(2)當(dāng) l＜1時,級數(shù)∑an發(fā)散.

更一般地,可得到下面的判別法,其強弱依賴常數(shù)k,k越大判別法越強,越細致,所能判定級數(shù)的斂散范圍也更寬.

則 (1)當(dāng) l＞1時,級數(shù)∑an收斂;(2)當(dāng) l＜1時,級數(shù)∑an發(fā)散.

文獻 [9]中給出了一種新比值判別法:

(1)當(dāng) p＞1時,∑an收斂;(2)當(dāng) p＜1時,∑an發(fā)散;(3)當(dāng) p=1時無法判斷.

由于 p=1時,該判別法失效,為解決此問題,做如下改進:

當(dāng) l＞1時, ∑an收斂.

(2)當(dāng) l＜1時,則存在l＜p＜1,依上同理可證:?N＞0,使得當(dāng) n＞N時有:

從而證得∑an發(fā)散.

更一般地,可得到下面的判別法,其強弱依賴常數(shù)k,k越大判別法越強,越細致,所能判定級數(shù)的斂散范圍也更寬.

則(1)當(dāng) l＞1時,∑an收斂;(2)當(dāng) l＜1時, ∑an發(fā)散.

3 實際應(yīng)用

分析與解答:本題利用引理2和引理3均無法判斷 (因l=1,但利用定理1和定理3均可判斷.

故由定理1知,級數(shù)

分析與解答:本題在文獻 [3]中利用拉貝判別法無法判定,但利用文中的定理1和定理3均可判定.現(xiàn)利用定理1來判定.

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