關(guān)于二階變系數(shù)線性微分方程求解法的研究

李 高,常秀芳

(大同大學(xué)煤炭工程學(xué)院,山西大同037003)

國(guó)內(nèi)外現(xiàn)行《高等數(shù)學(xué)》中的方程[1],只是對(duì)常系數(shù)微分方程的情況做了詳細(xì)的討論,即使《常微分方程》也未對(duì)二階變系數(shù)微分方程的解作進(jìn)一步的闡述.

若 p(x)、q(x)為連續(xù)非常數(shù)的函數(shù),方程

則稱為二階變系數(shù)線性微分方程.如果f(x)恒等于零,那么該方程稱為二階變系數(shù)齊次線性微分方程;如果f(x)不恒等于零,那么該方程稱為二階變系數(shù)非齊次線性微分方程.

對(duì)一般的二階變系數(shù)線性微分方程而言,由《常微分方程》教材[2]知,只要能求出二階變系數(shù)齊次線性微分方程的一個(gè)特解,則二階變系數(shù)線性齊次或非齊次微分方程的解即可求得.盡管專家學(xué)者目前的研究[3-4]給出了特殊類型的二階變系數(shù)線性微分方程的求解法,然而到目前為止,如何求出其中的某一特解是無法可循的.那么如何求其解是要研究的對(duì)象.本文利用構(gòu)造法在求二階變系數(shù)線性微分方程的通解的一般方法上進(jìn)行探討,詣在解決二階變系數(shù)線性微分方程求解的問題,并得出成規(guī)求解的方法與結(jié)論,以便適應(yīng)在工程技術(shù)的實(shí)際領(lǐng)域或?qū)W生在學(xué)習(xí)相關(guān)專業(yè)中的需要.

1 二階變系數(shù)線性微分方程的一般求解法

假設(shè)二階變系數(shù)非齊次線性微分方程中 p(x)具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)、q(x)連續(xù).

將之代入 (5)式.則方程 (1)通過上述變換可降階為

此一階線性非齊次微分方程的解就是我們所要求的二階變系數(shù)非齊次線性微分方程的解[5].而方程

故式 (6)為二階變系數(shù)非齊次線性微分方程

特別地1 當(dāng) f(x) ≡0時(shí),方程 (1)就轉(zhuǎn)化為二階變系數(shù)齊次線性微分方程,而式 (6)、(7)、(8)分別為

它們是對(duì)應(yīng)的二階變系數(shù)齊次線性微分方程的通解公式.

注意:以上的求解過程或方式就是二階變系數(shù)線性微分方程的求解方法,公式 (6)、(7)、(8)均為二階變系數(shù)非齊次線性微分方程 y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的通解公式.公式 (9)、(10)、(11)均為二階變系數(shù)齊次線性微分方程 y″+p(x)y′+q(x)y=0的通解公式,在具體應(yīng)用時(shí),依據(jù)問題應(yīng)靈活使用.

特別地2 形如

y″+[v(x)+u(x)]y′+[v′(x)+v(x)u(x)]y=f(x){C0n(y′)n+C1n(y′)n-1[p(x)y]+ …+Cnn[p(x)y]n}型的方程可化為伯努利方程.

原方程變形為

2 應(yīng) 用

運(yùn)用二階變系數(shù)線性微分方程的一般求解法在求二階變系數(shù)線性微分方程的解時(shí),其重點(diǎn)是構(gòu)造 (2)和 (3)式,難點(diǎn)或關(guān)鍵點(diǎn)是從 (2)式和 (3)式求出u(x)和v(x).或由 (2)式和 (3)式變形得

再?gòu)闹星蟮胾(x)和v(x).然后用上述方法或應(yīng)用公式 (6)或 (7)或 (8)或公式 (9)或 (10)或(11)可求得二階變系數(shù)線性微分方程的解.

注 方程 (12)或 (13)是黎卡提 (Riccati)方程,見《常微分方程》教材[7].

求二階變系數(shù)線性微分方程解時(shí),必須觀察二階變系數(shù)線性微分方程的特征.如果是上述特殊類型的二階變系數(shù)線性微分方程,就用特殊類型的二階變系數(shù)線性微分方程的求解方法求之;如果不是上述特殊類型的二階變系數(shù)線性微分方程,就用二階變系數(shù)線性微分方程的一般求解方法求之.

二階變系數(shù)線性微分方程的一般求解步驟:

第一步:構(gòu)造 (2)式和 (3)式

第二步:計(jì)算出u(x),v(x)

第三步:將第二步的結(jié)果代入上述公式求出通解來.

例 1 求 y″+[a+p(x)]y′+ap(x)y=0的通解

解 由方程特征可知 v(x) =a,u(x)=p(x),則

注意:對(duì)于常系數(shù)齊次線性微分方程的通解往往用特征根的方法求其通解.如果用以上降價(jià)法解常系數(shù)齊次線性微分方程的解更不成問題,但較特征根法煩瑣一些.

例 2 求 y″+2y′+y=0的通解

又知 p=2由以上公式,所求方程的通解為

特征根法:特征方程λ2+2λ+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根λ=-1.則所求方程的通解為y=e-x(c1x+c2)

[1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué) [M].北京：高等教育出版社,2003：259-317

[2] 王高雄.常微分方程 [M].北京：高等教育出版社,1985：101-163

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[7] 王高雄.常微分方程 [M].北京：高等教育出版社,1985：62