抗體免疫反應的病毒模型的全局性態(tài)*

何金如

(浙江廣播電視大學 義烏學院，浙江 義烏 322000)

0 引 言

目前，宿主體內的群體動力學研究主要集中在持續(xù)性病毒感染[1-7].為了定量分析體內病毒感染的過程，針對未感染目標細胞、被感染細胞和游離病毒三者的相互作用生態(tài)關系，廣泛采用如下微分方程組進行描述：

(1)

病毒動力學模型，特別是考慮免疫反應的病毒動力學模型,是目前國內外學者研究的熱點.高維模型的全局性態(tài)較為復雜，很可能出現(xiàn)分支或混沌[3-8].文獻[3]首次在模型(1)的基礎上引入抗體免疫反應的系統(tǒng)，研究了如下模型的局部性態(tài):

(2)

模型(2)中：A表示針對病毒宿主體內免疫系統(tǒng)產生的抗體細胞數(shù);假設宿主體內病毒以速率gAV刺激病毒特異性抗體的產生;g是描述免疫過程的常數(shù)率，相當于抗體細胞與游離病毒的接觸率；而病毒被病毒特異性抗體以速率qAV中和，并且假設抗體的死亡率為dA.

文獻[3]已建立病毒入侵和消除的閾值，證明正平衡點一旦存在就是局部穩(wěn)定的，但對模型的全局性態(tài)分析較少，故筆者主要討論模型的全局性態(tài).

1 平衡點及其穩(wěn)定性

定義一個免疫再生數(shù)

下面研究這3個平衡點的全局性態(tài).首先分析無病平衡點E0.

定理1若基本再生數(shù)R0≤1，則無病平衡點E0全局穩(wěn)定.

證明 定義一個全局Lyapunov函數(shù)

并對L1求導，可得

(3)

(4)

由算術平均數(shù)大于或等于幾何平均數(shù)的性質，有

由式(4)得L′1≤0.L′1≤0當且僅當A=0，V=0且T=T0.{(T,I,V,A)∈R4+:L′1=0}的最大緊不變集即為{E0}，由Lasalle不變原理[9]可得E0的全局穩(wěn)定性.

注1定理1的生物學意義為：若一個病毒在其存活周期內繁殖的病毒數(shù)不多于1，則病毒不能成功入侵宿主并且很快會被清除.

下面分析無免疫平衡點E1.

定理2當R0>1且R1≤1時，無免疫平衡點E1全局穩(wěn)定.

證明 定義一個全局Lyapunov函數(shù)

并對L2求導，得到

(5)

(6)

注意到

注2定理2的生物學意義為：當基本再生數(shù)R0>1時，病毒能成功入侵宿主.但由于免疫再生數(shù)小于等于1，即由病毒刺激產生的一個抗體在其存活周期內繁殖的抗體細胞數(shù)不多于1，抗體免疫反應不能在宿主體內建立.

最后，分析正平衡點E*.

定理3若R1>1，則正平衡點E*全局穩(wěn)定.

證明 定義全局Lyapunov函數(shù)

并對L3求導，可得

(7)

L′3=dTT*+dII*-dTT-(dTT*+dII*)

(8)

(9)

由式(9)得L′3≤0.同定理1的證明過程，也可證得E*的全局穩(wěn)定性.

注3定理3的生物學意義為：若一個病毒在抗體存活周期內能夠刺激產生多于1個的抗體細胞，則宿主體內能夠建立抗體免疫反應.健康細胞、感染細胞、病毒和抗體細胞以一個全局穩(wěn)定的正平衡點的形式在宿主體內共存.

2 結 論

Kajiwara等[3]在基礎病毒動力學模型的基礎上引入了抗體免疫反應,得到了模型(2),并研究了模型(2)的局部性態(tài).本文則在證明中采用了構造Lyapunov函數(shù)的方法，對模型(2)的全局性態(tài)給出了一個較好的結果.證明了當基本再生數(shù)R0≤1時，病毒在體內清除，當R0>1時，病毒在體內持續(xù)生存.并且模型的正解當抗體免疫再生數(shù)R1≤1時趨于無免疫平衡點，當R1>1時趨于正平衡點.

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