維爾斯特拉斯逼近定理的兩個推廣

趙 琳

（山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院,山西太原 030006）

維爾斯特拉斯逼近定理的兩個推廣

趙 琳

（山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院,山西太原 030006）

文章對維爾斯特拉斯（W eierstrass）逼近定理作了兩方面的推廣,一方面通過做三角函數(shù)變換,證明了閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可以用關(guān)于Sink t,Coskt的三角函數(shù)多項式逼近;另一方面,給出了二維B-模擬多項式的定義,證明了定義在閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),可以用二維B-模擬多項式一致地逼近.

維爾斯特拉斯逼近定理;伯恩斯坦多項式;推廣

維爾斯特拉斯（Weierstrass）逼近定理:設(shè)[a,b]為有界閉區(qū)間,f（x）在[a,b]上連續(xù),則?ε＞0,存在多項式p（x）,使得 ?x∈[a,b],有|f（x）-p（x）|＜ε.

該定理有許多證明方法,伯恩斯坦（Serge Bernstein）用概率方法給出了簡單而又巧妙的證明,表明定理中的多項式p（x）可以取為伯恩斯坦多項式

證明 由傅里葉（Fourier）級數(shù)展開公式[1]及引理1易得,在此略.

定理1 設(shè)f（t）是[-π,π]上的連續(xù)偶函數(shù),則?ε＞0,存在形如

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊）[M].第2版.北京:高等教育出版社,1990

[2] 魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].第1版.北京:高等教育出版社,1983

Two Extensions of Weierstrass Approximation Theorem

Zhao L in
（Shanxi A rchitectural Technical College,Taiyuan 030006,China）

In this paper,two new generalized conclusions of the Weierstrass app roximation theo rem have been put forw ard and p roved.On the one hand,by the trigonometric alternating,it has been proved that the continuous functions on any closed finite interval can be uniformly approximated by finite trigonometric series in.On the other hand,by defining two dimension B-analogues polynomials,it has been showed that a continuous function of two variables on the unit square can be uniformly approximated with B-analogues polynomials.

Weierstrass app roximation theorem;Bernstein polynomial

【責(zé)任編輯:王映苗】

1672-2027（2010）01-0058-03

O 174.41

A

＊

2009-12-28

趙 琳（1973-）,女,山西芮城人,山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師,主要從事偏微分方程的研究.