對(duì)流擴(kuò)散方程的非一致網(wǎng)格有限差分方法

曹廣滿,王彩華,齊海濤

(1.天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,天津 300387;2.天津大學(xué)電子信息科學(xué)學(xué)院,天津 300072)

對(duì)流擴(kuò)散方程的非一致網(wǎng)格有限差分方法

曹廣滿1,王彩華1,齊海濤2

(1.天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,天津 300387;2.天津大學(xué)電子信息科學(xué)學(xué)院,天津 300072)

構(gòu)造了一種二階非等距網(wǎng)格差分格式,給出了截?cái)嗾`差及其穩(wěn)定性.數(shù)值算例給出了幾種不同網(wǎng)格處理情形下的計(jì)算結(jié)果,和已有的差分格式進(jìn)行比較,表明新格式具有較好的平均誤差分布.

離散差分格式;對(duì)流擴(kuò)散問題;Taylor公式;非等距差分格式

對(duì)流擴(kuò)散問題廣泛應(yīng)用于物理領(lǐng)域,例如電磁場(chǎng)理論、流體力學(xué)、彈性力學(xué)、量子力學(xué)、電子器件模擬、化學(xué)反應(yīng)、控制理論及其他同類領(lǐng)域.其一般模型的形式為:

其中,u=u(x)為待求量,ε為正常數(shù),α,β為邊界值,并設(shè)a(x),b(x)和f(x)充分光滑.若假設(shè)a(x),b(x)滿足a(x)≥η0＞0,a′(x)≥0,b(x)≥η1＞0,則式(1)可寫為形式更一般的非齊次常微分方程邊值問題:

對(duì)于上述問題的數(shù)值求解方法有很多,其中有限差分方法以其構(gòu)造格式簡捷、形成線性代數(shù)方程組較為容易因而研究最為廣泛.目前文獻(xiàn)較多給出的是等距網(wǎng)格剖分情形,如文獻(xiàn)[2—5].文獻(xiàn)[6]介紹了一種非等距網(wǎng)格剖分方法,文獻(xiàn)[7]則給出了指數(shù)B樣條構(gòu)造方法等來處理這類兩點(diǎn)邊值問題.

本課題組針對(duì)對(duì)流擴(kuò)散問題,從方程本身出發(fā),反復(fù)求導(dǎo)并利用 Taylo r公式推導(dǎo)出了一類緊致差分格式,通過與大量差分格式的數(shù)值比較,驗(yàn)證了該差分格式有較高的精確性[8—10].但這些研究都是等距情形.本研究延用以前的思想,從式(3)出發(fā)構(gòu)造出一種非等距二階差分格式,該格式同時(shí)也可以在等距剖分下進(jìn)行計(jì)算,最后利用所推導(dǎo)格式進(jìn)行了數(shù)值算例求解.

1 非等距差分格式

考慮兩點(diǎn)邊值問題:

其中,u=u(x)為待求量,ε為一常數(shù),α,β為邊界值,并設(shè)A(x)＞0,f(x)充分光滑.

為進(jìn)行數(shù)值比較,先給出等距情形下的中心差分格式.將區(qū)間I=[0,1]等距剖分為N等分,步長h=1/N,節(jié)點(diǎn)集為Ih:0=x0,x1,…,xN=1.記u0,u1,…,uN為方程(4)在剖分節(jié)點(diǎn)的準(zhǔn)確值,U0,U1,…,UN為要采用的離散差分格式在剖分節(jié)點(diǎn)的計(jì)算值.由 Taylor公式有

2 幾種非等距網(wǎng)格處理方法

1)簡單分塊均勻網(wǎng)格

先將區(qū)間I=[0,1]等距剖分為N等份,步長

例1兩種差分格式最大誤差見表1.

表1 數(shù)值算例1兩種差分格式最大誤差比較Table 1 Comparison of maximal errors of two finite difference schemes in numerical example 1

例2 奇異擾動(dòng)邊值問題

算例2兩種等距差分格式最大誤差見表2.

說明:表2給出的計(jì)算結(jié)果表明,在等距剖分情況下,本研究推導(dǎo)的格式與中心差分格式相比仍然具有較好的計(jì)算效果.

例3 兩點(diǎn)邊值問題例3在幾種不同網(wǎng)格處理方法下的最大誤差及平均誤差見表3.

表2 數(shù)值算例2兩種等距差分格式最大誤差比較(N=32)Table 2 Comparison of maximal errors of two uniform finite difference schemes in numerical example 2(N=32)

表3 數(shù)值算例3在幾種不同網(wǎng)格處理方法下的最大誤差及平均誤差比較(N=100,ε=10-2)Table 3 Com parison of maximal errorsand average errors of severalmesh schemes in numerical example 3(N=100,ε=10-2)

y100=1得到計(jì)算結(jié)果.例3幾種差分格式均將區(qū)間分為100份.計(jì)算結(jié)果表明本研究格式無論是等步長還是變步長剖分處理,均得到了較好的計(jì)算效果.

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Non-un iform fin ite difference scheme method for convection-diffusion equations

CAO Guangman1,WANG Caihua1,Q I Haitao2

(1.College of Mathematical Science,Tianjin Normal University,Tianjin 300387,China;2.College of Electronic Information Science,Tianjin University,Tianjin 300072,China)

A second-o rder non-uniform finite difference scheme is constructed,and the truncation error and its stability are given.Several different mesh methods are used to deal w ith the p roblem,and the results show that comparing with the existing finite difference schemes the non-unifo rm finite difference scheme illustrates a better distribution of the average error.

discrete difference scheme;convection-diffusion equations;Taylor formula;non-uniform finite difference scheme

O241.8

A

1671-1114(2010)01-0007-04

2009-09-20

國家自然科學(xué)基金資助(60876009);天津市應(yīng)用基礎(chǔ)及前言技術(shù)研究計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(09JCZDJC16600)

曹廣滿(1982—),男,碩士研究生.

王彩華(1973—),女,副教授,主要從事微分方程數(shù)值解方面的研究.

(責(zé)任編校 馬新光)