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    “千姿百態(tài)”上臺階

    2009-12-31 00:00:00姚金紅
    今日中學(xué)生(初一版) 2009年7期

    數(shù)學(xué)興趣小組組長小明宣布這次活動的主題是“千姿百態(tài)上臺階”。

    小芳心直口快,搶先發(fā)問:“上臺階怎樣千姿百態(tài)呢?”

    小勇回答道:“有的人一級一級地上,有的人兩級兩級地上,還有的人能三級三級地上,這不是千姿百態(tài)嗎?!”

    小明回頭表示贊同:“我們今天的課題就是探討上臺階有多少種不同的上法,一個樓梯共有9級臺階,規(guī)定每步可以邁一級臺階、兩級臺階或三級臺階,從地面上到最上面一級臺階,共有多少種不同的上法?”

    小嚴(yán)說:“這個問題有些棘手。我們可以采用我國數(shù)學(xué)家華羅庚先生提倡的‘退’中求進(jìn)的解題策略,把問題‘退’到較為簡單的情況:如果只有一級臺階,那當(dāng)然只有一種上法,如果有兩級臺階。那就有兩種上法:第一種是一級一級地上;第二種是一步跨上第二級臺階,”

    未等小嚴(yán)說完,性急的小婷便急忙說道:“如果有三級臺階,那就有四種上法:第一種是一級一級地上;第二種是先一步上一級,再一步上兩級;第三種是先一步上兩級,再一步上一級;第四種是一步上三級,如果有四級臺階呢?”

    組長小明接過小婷的話說:“如果有四級臺階,那第一步就有三種可能:(1)如果第一步上一級,那剩下來的三級就有4種上法(利用小婷說的結(jié)論);(2)如果第一步上兩級,那剩下來的兩級就有兩種上法(利用小嚴(yán)說的結(jié)論);(3)如果第一步上三級,那剩下來的一級有1種上法,所以四級臺階共有4+2+1=7種上法。”

    小勇也不甘示弱,他搶著說:“如果有五級臺階,那第一步也有三種可能:(1)如果第一步上一級,那剩下來的四級就有7種上法(利用小明說的結(jié)論);(2)如果第一步上兩級,那剩下來的三級就有4種上法(利用小婷說的結(jié)論);(3)如果第一步上三級,那剩下來的兩級就有兩種上法(利用小嚴(yán)說的結(jié)論),所以五級臺階共有7+4+2=13種上法?!?/p>

    一聲不響的小娜突然搶著說:“妙!真妙!充分利用已得出的結(jié)論,進(jìn)行后面的論證,可我們能否把這個規(guī)律一般化呢?”

    小亮是本班的“數(shù)學(xué)通”,見識廣、思路寬,他說:“我們可以把這個規(guī)律一般化:設(shè)n級臺階有an種不同的上法,根據(jù)上面已得出的結(jié)論,有a1=1,a2=2,a3=4,a4=7,a5=13,我們發(fā)現(xiàn)a4=a3+a2+a1,a5=a4+a2+a2,把它推廣可得an=an-1+an-2+an-3,根據(jù)這個公式,容易算出:a6=13+7+4=24,87=24+13+7=44,口8=44+24+13=81,00=81+44+24=149,故上九級臺階共有149種不同的上法,上臺階真是‘千姿百態(tài)’啊!”

    最后,組長小明提出個新問題:一個樓梯共有10級臺階,規(guī)定每步可以邁一級臺階或三級臺階,且不準(zhǔn)一步邁兩級臺階。從地面上到最上面一級臺階,共有多少種不同的上法?

    同學(xué)們,現(xiàn)在該是你動腦動手、施展才華的時候了!(答案:28)

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