巧用幾何變換發(fā)展學(xué)生的空間觀念

王賀杰

摘 要:為了使幾何教學(xué)更富有生命力,第一,應(yīng)注重利用幾何變換進行概念教學(xué),使學(xué)生消除學(xué)習概念時的枯燥乏味感和死記硬背傾向;第二,注意到幾乎所有的幾何基本定理的結(jié)論都可以由幾何變換得到,故在定理教學(xué)中,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用幾何變換構(gòu)造輔助線,使圖形中相對孤立的元素變換到同一基本圖形中,使學(xué)生感受輔助線作法的本質(zhì),不把輔助線作法視為僵死的條文;第三,注重幾何變換的解題訓(xùn)練,關(guān)注變換與演繹推理的互通與互補,開拓思路,提高創(chuàng)新能力。

關(guān)鍵詞:圖形變換 合情推理 概念教學(xué) 定理教學(xué) 解題訓(xùn)練 創(chuàng)新能力

以往的平面幾何教學(xué)內(nèi)容是以公理擴大化的歐式體系為主線,將“已知——求證——證明”的模式作為幾何學(xué)習最為核心的模式。而在教學(xué)改革的今天,《數(shù)學(xué)課程標準》對圖形與空間內(nèi)容的學(xué)習做了新的定位,明確將幾何學(xué)習的主要目標定位為“發(fā)展學(xué)生的空間觀念”(數(shù)學(xué)證明只是其中的一部分)?！皥D形與變換”與“空間推理”可以是“齊頭并進”,也可以是“交叉組合”。在各個版本的課標教材中,均將幾何變換和運用放在了特別突出的地位,把幾何變換方法作為探究幾何圖形性質(zhì)的一種重要途徑。在內(nèi)容的呈現(xiàn)方式上,首先是借助于平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等直觀具體的“操作性活動”,去完成探究圖形性質(zhì)的學(xué)習任務(wù),以提高學(xué)生的觀察、分析、思考、歸納和概括能力,隨后才是“想象”“推理論證”等抽象的思維活動方式。

教學(xué)實踐證明,在入門階段,以幾何變換為主要線索揭示圖形的性質(zhì),符合學(xué)生的認知規(guī)律,學(xué)生學(xué)有興趣,有利于發(fā)展學(xué)生的猜想及合情推理能力,有利于學(xué)生對探究幾何對象方法的多樣化的認識,使幾何教學(xué)更富有生命力。因此,如何利用幾何變換發(fā)展學(xué)生的空間觀念,是數(shù)學(xué)教師必須思考的一個問題,今結(jié)合教學(xué)實踐談一下自己的點滴做法。

一、注重利用幾何變換進行概念的教學(xué)

利用幾何變換的方法進行概念教學(xué)本身就是關(guān)注了幾何知識的現(xiàn)實性和直觀性,有利于促成學(xué)生對概念本質(zhì)屬性的認識。如在講授角平分線概念時,用軟紙片做出角的模型,過角的頂點將紙片對折,使兩邊重合,展平,折痕就是角平分線的形象。這種簡單操作,消除了學(xué)生在學(xué)習概念時的枯燥乏味感和死記硬背的傾向。在講授點與圓、直線與圓、圓與圓位置關(guān)系概念時,通過點、直線、圓向定圓平移的操作,使學(xué)生感受各種圖形與圓會出現(xiàn)多種不同的位置關(guān)系及不同位置關(guān)系出現(xiàn)的先后次序,可大大加深對各種位置關(guān)系概念的理解,使學(xué)生感知數(shù)學(xué)概念也有著活生生的幾何變換背景,提高了學(xué)生的變換意識和學(xué)習興趣。

二、結(jié)合幾何變換,精心設(shè)計圖形性質(zhì)(定理)的教學(xué)

幾乎所有的幾何基本定理的結(jié)論都可借助于幾何變換得到,故在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生逐步形成幾何變換的方法。如角平分線性質(zhì)定理、線段垂直平分線性質(zhì)定理、等腰三角形性質(zhì)定理、垂徑定理等都可用折疊(對稱)的方法進行探究性教學(xué);對頂角的性質(zhì)可由將相交直線繞交點旋轉(zhuǎn)180度得出;在三角形中位線定理的教學(xué)中,可讓學(xué)生把中位線截得的三角形繞中位線一端點旋轉(zhuǎn)180度,通過引導(dǎo)學(xué)生探究變換后所得四邊形的形狀,學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)定理的結(jié)論。筆者在等腰梯形性質(zhì)定理的教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生將等腰梯形的兩條邊轉(zhuǎn)化為等腰三角形的兩腰加以運用,同學(xué)們躍躍欲試,得到了如圖1(梯形ABCD中,AD平行于BC,AB=DC)所示的多種輔助線、輔助線是解決幾何問題的“生命線”。

由于問題的多變性,學(xué)生對輔助線的尋求仍是一個棘手的問題,而利用幾何變換構(gòu)造輔助線可使圖形中相對孤立的元素變換到同一基本圖形中,可謂水到渠成,自然而直觀,學(xué)生消除了作輔助線的玄妙之感,做到了知其然且知其所以然,再不會將輔助線作法視為僵死的條文。綜上所述,利用幾何變換進行定理教學(xué),可加深學(xué)生對基本圖形處理方法本質(zhì)的理解,有利于學(xué)生掌握探索定理證明途徑的基本方法。

三、注重幾何變換的解題訓(xùn)練

在解題教學(xué)中,應(yīng)潛移默化、不失時機地向?qū)W生滲透幾何變換的數(shù)學(xué)思想方法,以加強學(xué)生的應(yīng)用意識,這是提高學(xué)生變換思維能力的必要條件。

1.注重對經(jīng)典幾何問題的動態(tài)化設(shè)計

一些經(jīng)典的靜態(tài)化幾何問題因其具有凸顯的典型性、啟發(fā)性和代表性受到我們的關(guān)注,它們往往是可利用幾何變換進行動態(tài)化設(shè)計的好的題目原型。

對相關(guān)圖形進行動態(tài)化設(shè)計,首先可使學(xué)生產(chǎn)生用幾何變換方法解決問題的意識,提高用變換思想認識圖形的性質(zhì),解決幾何問題的能力。其次,可使學(xué)生感受幾何變換是使圖形變式的常用方法,感受在幾何變換下生成的變式圖形與原圖形有著相同或相近的性質(zhì),逐步形成動中求恒的解題意識。

2.給學(xué)生展示一些奇妙的解題方法

若注意收集一些趣題妙題,引導(dǎo)學(xué)生用幾何變換的方法進行思考,打破常規(guī),拓展思維,可使學(xué)生開闊眼界,提高創(chuàng)新能力。

例:在邊長為1的正方形的周界上,任意兩點間連一條曲線把正方形面積分成相等的兩部分。試證:曲線的長不小于1。

解析:分情況討論:

(1)若曲線的端點分別在正方形的一組對邊上,如圖2,過M作ME垂直DC于E,由“直線外一點向直線上各點的連線中,垂線段最短”可知,結(jié)論成立。

(2)若曲線的端點在正方形的一組鄰邊上,如圖3,該曲線必與對角線AC相交,設(shè)一交點為P,若將PN沿AC翻折至PN′,則轉(zhuǎn)化為圖2的情況,故結(jié)論成立。

(3)綜上所述,曲線的長度不小于1。

最后指出,經(jīng)歷變換要注重合情推理和對證明本身的理解,不可流于形式。隨著學(xué)生學(xué)段的增高和學(xué)習的深化,應(yīng)把幾何變換和演繹推理相結(jié)合,多法并進,實現(xiàn)變換與推理的互通和互補,以促成學(xué)生對幾何變換重要思想方法的理解和掌握,充分發(fā)揮師生的教學(xué)智慧,提高數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻:

1.《數(shù)學(xué)課程標準》(實驗稿).中華人民共和國教育部制定,2007.1

2.《初中數(shù)學(xué)新課程教學(xué)法》.東北師范大學(xué)出版社,2004.5

作者單位:河北省昌黎縣赤洋口初級中學(xué)