兩道相似物理競賽試題對比分析

周智良　秦　敏

我們來看看兩道高中物理競賽試題：

【題1】 （第16屆復(fù)賽題）用直徑是1 mm的超導(dǎo)材料制成的導(dǎo)線做成一個半徑是5 cm的圓環(huán)，圓環(huán)處于超導(dǎo)狀態(tài)，環(huán)內(nèi)電流為100 A，經(jīng)過一年，經(jīng)檢測發(fā)現(xiàn)，圓環(huán)內(nèi)電流的變化量小于10-6 A，試估算該超導(dǎo)材料電阻率數(shù)量級的上限。

提示：半徑為r的圓環(huán)中通以電流I后，圓環(huán)中心的磁感應(yīng)強度為B=（μ0=4π×10－7N?A－2），式中B、I、r各量均用國際單位。

【題2】（第25屆復(fù)賽題）零電阻是超導(dǎo)體的一個基本特性，但在確認這一事實時受到試驗測量精確度的限制。為克服這一困難，最著名的試驗是長時間監(jiān)測浸泡在液態(tài)氦（溫度T=4.2 K）中處于超導(dǎo)態(tài)的用鉛絲做成的單匝線圈（超導(dǎo)轉(zhuǎn)換溫度Tc=7.19 K）中電流的變化。設(shè)鉛絲粗細均勻，初始時通有I=100 A的電流，電流檢測儀器的精度為ΔI=1.0 mA，在持續(xù)一年的時間內(nèi)電流檢測儀器沒有測量到電流的變化。根據(jù)這個實驗，試估算對超導(dǎo)態(tài)鉛的電阻率為零的結(jié)論認定的上限為多大。設(shè)鉛中參與導(dǎo)電的電子數(shù)密度n=8.00×1020，已知電子質(zhì)量m=9.11×10-31 kg，基本電荷e=1.60×10-19 C。（采用的估算方法必須利用本題所給出的有關(guān)數(shù)據(jù)）

【分析】 這兩個題所給已知條件都很少，但還要求求超導(dǎo)體的電阻率。超導(dǎo)體還有電阻率？就只能認為題中的超導(dǎo)體并不是絕對意義超導(dǎo)，而是有很小電阻的電路。題1已給出超導(dǎo)材料的橫截面積和長度，要求電阻率的上限只需求出圓環(huán)電阻的上限值；題2中雖沒有給出橫截面積和長度，但可以假設(shè)出導(dǎo)線的截面積和長度，最后也能通過表示的電阻而求出電阻率。

兩個題中間目的就是要求出超導(dǎo)線的電阻。求電阻的方法一般有兩個途徑，歐姆定律或焦耳定律。題1所給已知條件中，給出磁感應(yīng)強度的計算公式，若電流有微量變化，則磁感應(yīng)強度也有微量變化，將產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。題1就可以認為就是電流變化產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢維持超導(dǎo)線中的電流持續(xù)形成，本題就可以通過求感應(yīng)電動勢來求出電阻；題2中沒有給出磁感應(yīng)強度的計算公式，但給出了電子質(zhì)量，電子數(shù)密度，可以聯(lián)想到電流強度變小是電子平均速度變小，電流通過有電阻電線而產(chǎn)生的熱量就是電子的動能轉(zhuǎn)化而來。本題就是通過計算全部電子的動能減少量而求出焦耳熱，再通過焦耳熱求出導(dǎo)線的電阻。

下面我們根據(jù)這兩個思路求解這兩個題：

【題1解】 圓環(huán)中心磁感應(yīng)強度

B=①

整個圓環(huán)內(nèi)的磁感強度可以視為等于圓環(huán)中心處的磁感強度。電流變化產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的大小

E==πr②

圓環(huán)電阻R==③

又≤10－6安培／年≈3×10－14安培／秒

將r=0.05 m，μ=4π×10－7 N?A－2，I＝100 A 代入③得

R≤3×10－23 Ω④

超導(dǎo)體電阻率ρ=R=

R= ⑤

上式中ｄ為導(dǎo)線直徑，將數(shù)據(jù)代入，得

ρ≤7.5×10－29 Ω?m

【題2解】如果電流有衰減，意味著線圈有電阻，設(shè)其電阻為R，則在一年時間t內(nèi)電流通過線圈因發(fā)熱而損失的能量為

ΔE=I2Rt①

以ρ表示鉛的電阻率，S表示鉛絲的橫截面積，l 表示鉛絲的長度，則有

R=ρ②

電流是鉛絲中導(dǎo)電電子定向運動形成的，設(shè)導(dǎo)電電子的平均速率為v，根據(jù)電流的定義有

I=Svne ③

所謂在持續(xù)一年的時間內(nèi)沒有觀測到電流的變化，并不等于電流一定沒有變化，但這變化不會超過電流檢測儀器的精度ΔI，即電流變化的上限為ΔI=1.0 mA。由于導(dǎo)電電子的數(shù)密度n是不變的，電流的變小是電子平均速率變小的結(jié)果，一年內(nèi)平均速率由v變?yōu)関-Δv，對應(yīng)的電流變化

ΔI=neSΔv④

導(dǎo)電電子平均速率的變小，使導(dǎo)電電子的平均動能減少，鉛絲中所有導(dǎo)電電子減少的平均動能為

ΔEk=lSnmv2－m（v－Δv）2

≈lSnmvΔv ⑤

由于ΔI<

ΔEk=⑥

鉛絲中所有導(dǎo)電電子減少的平均動能就是一年內(nèi)因發(fā)熱而損失的能量，即

ΔEk=ΔE ⑦

由①、②、⑥、⑦式解得

ρ= ⑧

式中

t=365×24×3 600 s=3.15×107 s ⑨

在⑧式中代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

ρ=1.4×10－26 Ω?m⑩

所以電阻率為零的結(jié)論在這一實驗中只能認定到

ρ≤1.4×10－26 Ω?m?輥?輯?訛

【解后思考】 兩題都不是完全意義的超導(dǎo)，其本質(zhì)都是由于自感形成電源，由于電路中只要有很小電阻，就能維持強電流幾乎不變。兩題都是從電流的變化為入手點，尋找要求電阻率與哪些量間存在關(guān)系，從而達到求解的目的。如果是純超導(dǎo)體，當超導(dǎo)體組成的回路進入磁場的面積變化或所處的磁場感應(yīng)強度發(fā)生變化時，超導(dǎo)體中電流會有變化。但超導(dǎo)體沒有電阻，回路總電動勢為0，故有超導(dǎo)體內(nèi)電流變化產(chǎn)生的自感電動勢與回路面積變化對應(yīng)的動生電動勢或磁感強度變化對應(yīng)的感生電動勢相互抵消。

從解題方法中我們得到的總結(jié)就是：要利用題中的已知條件尋求解決問題的突破口，要充分聯(lián)系典型物理模型之間的聯(lián)系與區(qū)別，具體問題具體分析，關(guān)鍵在于類比聯(lián)想題設(shè)的內(nèi)在聯(lián)系，由此及彼，驅(qū)動思維躍遷，茅塞頓開，問題迎刃而解。