物理競賽中運動模型的應(yīng)用

包祥龍　丁紅明

一、基本模型

1.兩種直線運動模型

勻速直線運動：x=v0t，v=v0

勻變速直線運動：x=v0t+at2 ，v=v0+at（特例：自由落體運動）

2.兩種曲線運動模型

平拋運動：水平方向勻速直線運動

豎直方向自由落體運動

勻速圓周運動：F合=Fn=man==mω2r=mωv

二、模型講解

下面以幾個典型的單個模型和模型組合為例，介紹如何運用物理模型去解決實際問題。

1.單個模型

（1）勻變速直線運動模型

例1 跳繩是一種健身運動，某同學(xué)質(zhì)量是50 kg，他每分鐘能跳180次，假定他每次與地面接觸的時間等于一次跳繩時間的。那么他這樣跳繩時，克服重力做功的平均功率等于多少瓦？（g=10 m/s2）

解析 人跳繩時分跳起和落下兩個階段，等同于將一物體上拋后又落下，忽略空氣阻力后，跳繩的騰空過程可用豎直上拋和自由落體模型來處理。

人每跳一次所用時間為T=s=s

人騰空時間為t=×s=s

所以人起跳的初速度為v0=g×=10× m/s=1 m/s

起跳時的動能Ek=mv02=×50×12 J=25 J

人起跳時的動能就等于上升階段克服重力所做的功，所以他跳繩時克服重力做功的平均功率為

P==mv2 /T= W=75 W

點評 本題以生活中看似復(fù)雜的跳繩運動為背景，很多同學(xué)會過多地關(guān)注腳跟地面接觸的時間里所發(fā)生的運動，其實這里人在空中的運動才是關(guān)鍵，只要將空中的運動簡化成豎直上拋和自由落體模型后，問題便迎刃而解。

（2）平拋運動模型

例2 如圖1所示，在水平地面上建有相互平行的A、B兩豎直墻，墻高h(yuǎn)=20 m，相距d=1 m，墻面光滑。從一高墻上以水平速度v0=5 m/s拋出一個彈性小球，與兩墻面反復(fù)碰撞后落地（假設(shè)碰撞過程中沒有能量損失）。試求：

①小球的落地點離A墻多遠(yuǎn)？小球從拋出到落地與墻面發(fā)生的碰撞次數(shù)n為多少？（g=10 m/s2）

②小球與墻面發(fā)生第m次（m

解析 因小球與墻壁發(fā)生彈性碰撞， 故與墻壁碰撞前后入射速度與反射速度具有對稱性， 碰撞后小球的運動軌跡與無墻壁阻擋時小球繼續(xù)前進(jìn)的軌跡相對稱，如圖2所示，所以小球的運動可以轉(zhuǎn)換為平拋運動模型處理，效果上相當(dāng)于小球從A點水平拋出所做的運動。

①落地所需要時間t==s=2 s

水平位移x=v0t=5×2 m=10 m

所以碰撞次數(shù)n===10

小球的落地點離A墻的距離為零。

②平拋運動水平方向是勻速直線運動

發(fā)生第m次碰撞時所用時間t=m

下落的高度h=gt2=g2==（m<10）。

點評 本題初看小球與豎直墻多次彈性碰撞后，運動是多個曲線運動的組合，除第一個曲線運動是平拋運動外，接下來的都是斜拋運動，處理起來似乎很復(fù)雜。但是我們采用對稱的方法后，利用平拋運動模型處理，就成了我們所熟悉的問題了。

2.模型組合

（1）勻速直線運動與勻速直線運動組合

例3 一路燈距地面的高度為h，身高為l的人以速度v勻速行走，如圖3所示。

①試證明人的頭頂?shù)挠白幼鰟蛩僦本€運動；

②求人影的長度隨時間的變化率。

解析 ①設(shè)t=0時刻，人位于路燈的正下方O處，在時刻t，人走到S處，根據(jù)題意有OS=vt，過路燈P和人頭頂?shù)闹本€與地面的交點M為t時刻人頭頂影子的位置，如圖4所示。OM為人頭頂影子到O點的距離。

由幾何關(guān)系，有=

聯(lián)立解得OM=t

因OM與時間t成正比，比例系數(shù)為常數(shù)，故人頭頂?shù)挠白幼鰟蛩僦本€運動。

②由圖4可知，在時刻t，人影的長度為SM，由幾何關(guān)系，有SM=OM－OS，由以上各式得SM=t

可見影長SM與時間t成正比，所以影長隨時間的變化率k=。

點評 本題由生活中的影子設(shè)景，以光的直線傳播與人勻速運動整合立意。解題的核心是利用時空將兩種運動組合，難點是如何借助示意圖將動態(tài)過程靜態(tài)化，運用幾何知識解答。

（2）勻加速直線運動與勻加速直線運動組合

例4 如圖5所示，長12 m的木板右端固定一立柱，板和立柱的總質(zhì)量為50 kg，木板置于水平地面上，木板與地面間的動摩擦因數(shù)為0.1，質(zhì)量為50 kg的人立于木板左端，木板與人均靜止，人以4 m/s2的加速度勻加速向右奔跑至板的右端并立即抱住立柱。求：人從開始奔跑至到達(dá)木板右端所經(jīng)歷的時間？

解析 在人相對木板奔跑時，設(shè)人的質(zhì)量為m，加速度為a1，木板的質(zhì)量為M，加速度為a2，人與板間的相互作用力大小為F

對人有：F=ma1=50×4 N=200 N

對板有：F－μ（M+m）g=Ma2，a2=2 m/s2

由幾何關(guān)系得：a1t2+a2t2=L

解得：t＝2 s

評點 本題將人和木板都當(dāng)成勻加速直線運動模型來處理后，需抓住人和板的位移大小之和等于木板的總長度。

（3）平拋運動與勻速圓周運動組合

例5 如圖6所示，M是水平放置的半徑足夠大的圓盤，繞過其圓心的豎直軸OO′勻速轉(zhuǎn)動，以經(jīng)過O水平向右的方向作為x軸的正方向。在圓心O正上方距盤面高為h處有一個正在間斷滴水的容器，該容器在t＝0時刻開始隨傳送帶沿與x軸平行的方向做勻速直線運動，速度大小為v。已知容器在t＝0時滴下第一滴水，以后每當(dāng)前一滴水剛好落到盤面上時再滴一滴水。問：

①每一滴水經(jīng)多長時間滴落到盤面上？

②要使每一滴水在盤面上的落點都位于一條直線上，求圓盤轉(zhuǎn)動的最小角速度ω；

③求第二滴水與第三滴水在盤面上的落點間的最大距離s。

解析 ①滴下的水滴均做平拋運動，所以有

h=gt2，t=

②要使水滴共線，則在水滴下落過程中圓盤轉(zhuǎn)過的角度

φ=kπ=ωt（k=1，2，3……）

ω===kπ

所以角速度最小值為：ω=π

③如圖7所示，設(shè)每隔T時間滴一滴水，T=t

每一滴水的水平射程相同，x=vt=v

所以第2滴落地點距O點的距離為2x

同理，第3滴落地點距O點的距離為3x

落地點相對O點為一左一右時，落點間的距離最大

第2滴與第3滴間的最大距離為：s=5x=5v

點評 本題是將平拋運動與勻速圓周運動組合，關(guān)鍵是抓住時間與空間的關(guān)聯(lián)。

（4）勻速圓周運動與勻速圓周運動組合

例6 偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上空的圓軌道上運行，它的運行軌道距地面高為h，要使衛(wèi)星在一天的時間內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件下的情況全部都拍攝下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時，衛(wèi)星上的攝影像機(jī)至少應(yīng)拍地面上赤道圓周的弧長是多少？設(shè)地球半徑為R，地面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T。

解析 如圖8所示，由于地球在自轉(zhuǎn)，衛(wèi)星每次經(jīng)過地球向日面的赤道上空時，地球都自西向東轉(zhuǎn)動了θ角（或s弧長），那么為了能將赤道上的全部情況都記錄下來，衛(wèi)星每次就需要將s弧長的范圍都拍下。

設(shè)衛(wèi)星周期為T1，那么：

G=m（R+h）①

又G=mg②

有T1= ③

地球自轉(zhuǎn)角速度為ω=④

在衛(wèi)星繞行地球一周的時間T1內(nèi)，地球轉(zhuǎn)過的圓心角為θ=ωT1=T⑤

那么攝像機(jī)轉(zhuǎn)到赤道正上方時攝下圓周的弧長為s=θR⑥

聯(lián)立解得s=

點評 在衛(wèi)星做勻速圓周運動的同時，地球也在自轉(zhuǎn)，找到兩個圓周運動模型的關(guān)聯(lián)是解決本題的關(guān)鍵所在。