天體表面的機(jī)械運(yùn)動(dòng)

隆光輝　劉興蓉

天體運(yùn)動(dòng)和人造衛(wèi)星問(wèn)題與現(xiàn)代科技結(jié)合密切，是思想教育的好教材。它綜合考查了萬(wàn)有引力定律、牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)等知識(shí)及有關(guān)應(yīng)用，屬中低檔題，歷年高考必考。而天體表面的機(jī)械運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的新型題，最早出現(xiàn)在1998年全國(guó)高考試卷中（見(jiàn)例4），近兩年各地高考也出現(xiàn)了很多。要解決此類問(wèn)題，關(guān)鍵是找到天體運(yùn)動(dòng)與常規(guī)機(jī)械運(yùn)動(dòng)的聯(lián)系點(diǎn)——所在星球表面處重力加速度g，即分別由天體運(yùn)動(dòng)和常規(guī)機(jī)械運(yùn)動(dòng)求出重力加速度g：

下面試分類分析：

一、天體表面的自由落體運(yùn)動(dòng)

例1 宇航員在月球上做自由落體實(shí)驗(yàn)，將某物體由距月球表面高h(yuǎn)處釋放，經(jīng)時(shí)間t后落到月球表面（設(shè)月球半徑為R）。據(jù)上述信息推斷，飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所必須具有的速率為（）

A． 2/t B． /t

C． /t D． /2t

分析 物體在月球表面高h(yuǎn)處被釋放后將做自由落體運(yùn)動(dòng)，是自由落體運(yùn)動(dòng)與天體運(yùn)動(dòng)相結(jié)合。由h=g′t2，求得月球表面附近的重力加速度g′=。再由mg′=G=m，得v=，故B正確。

值得注意的是有的同學(xué)認(rèn)為物體是在月球表面高h(yuǎn)處被釋放的，故軌道半徑r=R+h，其實(shí)做自由落體實(shí)驗(yàn)，h應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于R，方可認(rèn)為g′不變，故軌道半徑r=R。

二、天體表面的豎直上拋運(yùn)動(dòng)

例2 宇航員在地球表面以一定初速度豎直向上拋一小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t小球落回原處，若他在某星球表面以相同的初速度豎直向上拋同一小球，小球落回原處需經(jīng)過(guò)時(shí)間5t。（取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空氣阻力不計(jì)）

（1）求該星球表面附近的重力加速度g′；

（2）已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地=1∶4，求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比M星∶M地。

分析 宇航員將小球拋出后，小球做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，是豎直上拋運(yùn)動(dòng)與天體運(yùn)動(dòng)相結(jié)合。

（1）由豎直上拋運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知：=t上=t下=，即t＝，5t＝，

所以g′=g=2 m/s2。

（2）對(duì)星球表面處的物體m有：mg=G，所以M=，可解得：

==。

三、天體表面的平拋運(yùn)動(dòng)

例3 在勇氣號(hào)火星探測(cè)器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再經(jīng)過(guò)多次彈跳才停下來(lái)。假設(shè)著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)高度為h，速度方向是水平的，速度大小為v0。求它第二次落到火星表面時(shí)速度的大小，計(jì)算時(shí)不計(jì)大氣阻力。已知火星的一個(gè)衛(wèi)星的圓軌道的半徑為r，周期為T(mén)。火星可視為半徑為r0的均勻球體。

分析 著陸器第一次到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度方向是水平的，則從此時(shí)刻起到它第二次落到火星表面將做平拋運(yùn)動(dòng)，是平拋運(yùn)動(dòng)與天體運(yùn)動(dòng)相結(jié)合。設(shè)火星表面附近的重力加速度為g′，火星的質(zhì)量為M，火星的衛(wèi)星質(zhì)量為m，火星表面處某一物體的質(zhì)量為m′，由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律，有：

對(duì)火星表面上的某一物體：G=m′g′，

對(duì)火星的衛(wèi)星：G=m2r ，

設(shè)v表示著陸器第二次落到火星表面時(shí)的速度，它的豎直分量為v1，水平分量仍為v0，則有v12=2g′h，v2=v12+v20

解以上各式，得：v=。

例4 宇航員站在某一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一小球。經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落到星球表面，測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng)。若拋出時(shí)的初速度增大到2倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng)。已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬(wàn)有引力常數(shù)為G。求該星球的質(zhì)量M。

分析 小球作兩次平拋運(yùn)動(dòng)且高度相同，是平拋運(yùn)動(dòng)與天體運(yùn)動(dòng)的結(jié)合。

設(shè)拋出點(diǎn)的高度為h，第一次平拋的水平射程為x，則有x2+h2=L2，

根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，初速度增大為2倍，水平射程也增大為2x，有（2x）2+h2=（L），

由以上兩式解得h=。

設(shè)該星球上的重力加速度為g，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得h=gt2，

由萬(wàn)有引力定律與牛頓第二定律得=mg（式中m為小球的質(zhì)量），

聯(lián)立以上各式得：M=。

四、天體表面的曲線運(yùn)動(dòng)

例5 蕩秋千是大家喜愛(ài)的一項(xiàng)體育活動(dòng)。隨著科技的迅速發(fā)展，將來(lái)的某一天，同學(xué)們也許會(huì)在其它星球上享受蕩秋千的樂(lè)趣。假設(shè)你當(dāng)時(shí)所在星球的質(zhì)量是M、半徑為R，可將人視為質(zhì)點(diǎn)，秋千質(zhì)量不計(jì)、擺長(zhǎng)不變、擺角小于90°，萬(wàn)有引力常量為G。那么，

（1）該星球表面附近的重力加速度g等于多少？

（2）若經(jīng)過(guò)最低位置的速度為v0，你能上升的最大高度是多少？

分析 人在蕩秋千時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)，是曲線運(yùn)動(dòng)與天體運(yùn)動(dòng)的結(jié)合。

（1）設(shè)人的質(zhì)量為m，在星球表面附近的重力等于萬(wàn)有引力，有mg=G，

解得：g=。

（2）設(shè)能上升的最大高度為h，由功能關(guān)系得mgh=mv20，

解得：h=。

五、天體表面的機(jī)械振動(dòng)

例6 我國(guó)探月的“嫦娥工程”已啟動(dòng)，在不久的將來(lái)，我國(guó)宇航員將登上月球。假如宇航員在月球上測(cè)得擺長(zhǎng)為l的單擺做小振幅振動(dòng)的周期為T(mén)，將月球視為密度均勻、半徑為r的球體，則月球的密度為（）

A． B．

C． D．

分析 此題是做機(jī)械振動(dòng)的單擺與天體運(yùn)動(dòng)相結(jié)合。

設(shè)月球表面附近的重力加速度為g，由單擺周期公式T=2π得：g=，

又對(duì)月球表面處的物體m有：mg=G，解得：M==，

將月球視為均勻球體，體積V=πr3，得ρ==，故B正確。