算理——生活事理的喚醒

王呂文

史寧中教授曾在一到六年級孩子中做過一個摸球的實驗:在袋子里放4個白球和1個紅球,從袋子里摸出1個球來,可能是什么顏色的呢?不同年齡段孩子的回答各不相同。一二年級的孩子答,我摸的是白球;三四年級的孩子答,我可能摸到白球,也可能摸到紅球;五六年級的孩子答,摸到白球的可能性比摸到紅球的可能性大。很顯然,學生作答的情況與其生活經(jīng)驗有著顯著的聯(lián)系。數(shù)學課程必須以學生的認知發(fā)展水平和生活經(jīng)驗為基礎。數(shù)學教學一個很重要的任務就是,用生活事理喚醒學生的數(shù)學認知,用生活事理幫助學生理解數(shù)學算理。

一、數(shù)學認知需要生活經(jīng)驗的累積

數(shù)學是人們根據(jù)生活創(chuàng)造的,來源于生活、并且服務于生活。小學數(shù)學教學要加強與學生生活經(jīng)驗的聯(lián)系,而不是把數(shù)學與生活割裂開來。數(shù)的概念的形成、基本的數(shù)量間的關系、數(shù)的運算等等,都與生活有著緊密的聯(lián)系,學生只有借助自己的生活經(jīng)驗,才能正確理解這些關系,并且會在以后的學習和生活中自覺加以運用。

在一年級新生數(shù)學認知水平調(diào)查時,對于4+2=?如果直接問,4加2等于多少?部分兒童會默默無語,無法順利作答;但如果設置一個情境,比如:你有4粒糖,姥姥又給了你2?！，F(xiàn)在你一共有幾粒糖?這時大多學生會沉入情境,露出積極思考的表情,順利作答。這一案例中,第一種問法對新入學兒童的要求是比較高的。在他們的頭腦中,一是要建立起數(shù)(4和2)的概念。盡管有家長會對孩子進行一些早教,教他們認數(shù)和寫數(shù),但這種數(shù)的認識常常不是從眾多的表象中抽象出來的,對幼兒來說是不牢靠的;二是要正確理解“加”這樣一個專業(yè)術語,這與大多數(shù)兒童的認知發(fā)展水平是不相適應的;第三,解決這一問題,兒童還要具備相應的運算技能。同樣要計算4+2,第二種問法雖然信息量增加了,但每條信息都是具體可感的,“姥姥”和“糖”還能勾起兒童愉快的生活記憶,敘述避開了兒童不熟悉的專業(yè)術語,兒童能在自己的生活經(jīng)歷中找到原型,展開思維,回答的正確率也就高了。

數(shù)學的本質(zhì)是研究“關系”。成人早已習以為常的單價、數(shù)量、總價,速度、時間、路程等數(shù)量之間的關系,兒童如果缺少生活經(jīng)驗的積累,理解起來會相當困難。一位老師在學生剛剛認識了千米之后,讓學生估計自行車、摩托車、汽車等常見的交通工具每小時大約行駛多少千米,學生的答案五花八門,令人啼笑皆非。這一設計超越了學生生活經(jīng)驗的范圍。估計常見交通工具的時速,需要的不僅僅是對靜態(tài)的1千米的認識,它還需要時間觀念的支撐,以及乘坐或是觀察這些交通工具的一系列有意識的綜合體驗,而這些是10歲孩子的生活經(jīng)驗中還很膚淺的部分,暫時還不能被有機整合。所以,教學中千萬不能以成人的經(jīng)驗代替學生的生活。

“數(shù)學教學必須從學生熟悉的生活情景和感興趣的事情中提供觀察和操作的機會,使他們感受到數(shù)學就在身邊,感受到數(shù)學的趣味和作用,對數(shù)學產(chǎn)生親切感。”所以我們在選擇研究題材時,要對題材加以取舍和改編,使它們更貼近學生的生活,為學生所樂于研究。比如傳統(tǒng)教材中典型的“進排水”問題:

一個水池安裝有一根排水管和一根進水管,單開進水管10小時可以注滿水池;單開排水管12小時可以把滿池水排空。如果兩管同時打開,多少小時能把空池注滿?

由于問題的情境離學生生活乃至成人生活都較遠,一邊進水又一邊排水不符合生活常理,激發(fā)不起學生的研究興趣,所以有人戲稱其為“瞎折騰”。其實日常生活中還是存在這樣的“邊進邊出”關系的,比如家庭的收入和支出、跑步過程中的追及等等。張奠宙教授指出,形式主義數(shù)學觀會給數(shù)學一副冷冰冰的樣子,拒人于千里之外,以至于絕頂睿智的大學者都不喜歡數(shù)學。不一定是他們學不會數(shù)學,而是數(shù)學的那副架子讓人產(chǎn)生不了興趣。

二、生活經(jīng)驗需要經(jīng)過加工才能成為數(shù)學認知

僅僅有了生活經(jīng)驗,還不能形成抽象的數(shù)學認知。積淀下來的生活經(jīng)驗只有經(jīng)過類比、歸納、提煉、演繹、交流、討論、推廣等等深層次的加工,才能“點化”為數(shù)學認知和數(shù)學技能。

生活事理可以類化成數(shù)學算理。數(shù)學問題常常來源于生活,理清日常生活中事情發(fā)生發(fā)展的順序,往往就找到了解決數(shù)學問題的鑰匙。比如小學階段的列簡易方程解決問題,常常就是理清了事情發(fā)生發(fā)展的順序,方程也就躍然紙上。

生活經(jīng)驗轉(zhuǎn)化成數(shù)學認知和技能,必須經(jīng)過數(shù)學化的過程。相對于問題解決的結(jié)果而言,數(shù)學化的過程更為重要。學習兩位數(shù)除以一位數(shù)的除法時,有這樣一個例子:

把52個羽毛球平均分給2個班,這是一個生活問題。學生可以實際操作,先每個班分2筒(20個),再把剩下的一筒拆開,與2個零頭合并成12個,12÷2=6,每個班又可分得6個,從而得出52÷2=26個。其實,學生只是用生活經(jīng)驗解決了一個分羽毛球的具體問題。不經(jīng)過“數(shù)學化”的過程,是無法得出兩位數(shù)除以一位數(shù)計算的一般性方法的。教學過程中,要引導學生及時歸納、提煉,把生活經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為計算方法。

三、密切生活和數(shù)學的聯(lián)系

生活經(jīng)驗是學好數(shù)學的基礎,學好數(shù)學也能更好地認識生活。數(shù)學教學需要把生活經(jīng)驗和數(shù)學實踐統(tǒng)一起來,可以采用以下方法密切生活和數(shù)學的聯(lián)系。

1.在生活情境中提出數(shù)學問題。創(chuàng)設生活情境,在情境中提出問題,既能激發(fā)起學生探究的興趣,又能喚起學生的生活經(jīng)驗,為探索問題的解決辦法埋下伏筆。

2.運用數(shù)學知識解決實際問題。把學過的數(shù)學知識用以解決實際問題,既能鞏固所學知識,又能讓學生體驗到數(shù)學的有用性,培養(yǎng)他們解決實際問題的能力。

3.用生活經(jīng)驗探索解決數(shù)學問題。對于小學生而言,有些數(shù)學現(xiàn)象和規(guī)律是難于理解的。比如減法的運算性質(zhì)a-b-c=a-(b+c),學生能夠記住,就是應用起來容易出錯,老師常常將其歸因為學生的粗心。其實,小學生對用字母表示的一般關系是不太習慣的,如果創(chuàng)設一個具體的情境,就能幫助加深理解:假設帶a元錢去超市購物,先買了一枝鉛筆b元,再買一枝鋼筆c元,結(jié)賬時可以先從a元里減去鉛筆的b元,然后再減去鋼筆的c元;也可以先把鉛筆和鋼筆的錢加起來,再從a元里一次性減去。要體現(xiàn)先加的過程,必須在b+c的外面添上括號。這樣兒童的記憶就會深刻。

4.開展數(shù)學活動體驗現(xiàn)實生活。數(shù)學實踐活動可以作為學生生活體驗的補充,現(xiàn)場活動中可以及時發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題。實踐操作是真實生活的模擬,課堂教學中要在學生生活經(jīng)驗不足之處及時安排操作實踐,讓兒童帶著問題現(xiàn)場體驗,在體驗中加深對數(shù)學知識的認識。 ■