數(shù)學(xué)教育要成為兒童最有魅力的課程

汪樹林

摘要：數(shù)學(xué)課程改革的一個總方向，就是讓數(shù)學(xué)教學(xué)回歸教育的本體——兒童，關(guān)注兒童的生活，追求兒童的可持續(xù)發(fā)展。“兒童數(shù)學(xué)”重新賦予數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)有的魅力，它基于兒童生活，在兒童的生活中，引領(lǐng)兒童的生活；它順應(yīng)兒童的天性，讓兒童從自我經(jīng)驗出發(fā)，在活動中自主建構(gòu)，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，同時達(dá)到兒童本質(zhì)力量的全面解放與舒展!

關(guān)鍵詞：兒童數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)教育課程

一、“兒童數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵詮釋

1.兒童數(shù)學(xué)是一種“經(jīng)驗數(shù)學(xué)”。

兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，與大學(xué)生是不一樣的。大學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)前不一定有應(yīng)用和計算微積分的經(jīng)驗，而兒童在日?；顒又袇s經(jīng)常有加減等運算的體驗。如購物活動、游戲活動等。實際上，每個兒童并不是上學(xué)才接觸數(shù)學(xué)，也不僅僅是在學(xué)校中才接觸數(shù)學(xué)，他們在日常生活中會碰到各種數(shù)學(xué)問題，逐步形成自己的數(shù)學(xué)認(rèn)識。兒童玩過各種形狀的積木，折過紙，比過物體長短、大小、輕重、厚薄、寬窄，他們知道幾點起床幾點睡覺、幾點到校幾點放學(xué)，他們隨著父母一起外出購物，等等，所有這些活動，都為他們積淀了數(shù)量和幾何形體的初步觀念。雖然這些觀念往往是非正規(guī)、不系統(tǒng)的甚至是模糊的，或許還有錯誤隱藏其中，但這些都為他們上學(xué)后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)?！皟和瘉淼秸n堂里不僅帶來了眼睛、耳朵和良好的記憶力，而且也帶來了不知從生活的什么地方所獲得的大量的‘前數(shù)學(xué)經(jīng)驗，帶來了‘兒童的數(shù)學(xué)、‘兒童的物理學(xué)、‘兒童的化學(xué)、‘兒童的哲學(xué)、‘兒童的歷史學(xué)，等等?！彼械倪@些“學(xué)”，都是兒童的經(jīng)驗資源。我們稱作為兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“前理解”，或者稱作為兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“期待視界”，它們在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中發(fā)揮著重要作用。

兒童數(shù)學(xué)的經(jīng)驗性，還表現(xiàn)為數(shù)學(xué)不僅僅是教室中的行為，而且是一種社會性活動，家里、公園、商店里都可以是兒童的數(shù)學(xué)課堂。校外，無論是買賣活動、建造房子活動，都有數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)不僅僅是學(xué)校中的書本知識，研究者把大眾生活中的數(shù)學(xué)稱為“街頭數(shù)學(xué)”。因此，兒童數(shù)學(xué)既是一種知識形式，又是一種活動形式；既是兒童在學(xué)校中學(xué)習(xí)的學(xué)科。也是兒童在生活中的一種思考方式，這正是兒童數(shù)學(xué)作為經(jīng)驗數(shù)學(xué)的魅力所在!

當(dāng)然，兒童的生活經(jīng)驗可以促進(jìn)兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)(如我們常常借助兒童日常生活中日升日落、白天黑夜周而復(fù)始的經(jīng)驗來幫助他們理解“循環(huán)小數(shù)”中“循環(huán)”的含義)，也可以阻礙兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)(如“生活角”對“數(shù)學(xué)角”的干擾、日常生活中的“質(zhì)量”概念對數(shù)學(xué)中“質(zhì)量”概念的學(xué)習(xí)影響等)。作為教師，我們應(yīng)當(dāng)選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，對兒童的生活經(jīng)驗進(jìn)行加工、重組、提煉、干預(yù)，使作為兒童個體的數(shù)學(xué)經(jīng)驗上升為人類的“類經(jīng)驗”!

2.兒童數(shù)學(xué)是一種“建構(gòu)數(shù)學(xué)”。

如上所述，兒童入學(xué)前就發(fā)展了許多非正式的、非形式化的數(shù)學(xué)知識，這些知識對兒童來說很有意義，也很有趣味。非形式化的數(shù)學(xué)常常是兒童自主建構(gòu)而不是被動接受的，兒童是入學(xué)后才開始學(xué)習(xí)用符號寫成的“形式數(shù)學(xué)”的。研究表明，在學(xué)校的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“兒童常常不按照教師的方式去做數(shù)學(xué)”，也就是說，兒童不只是模仿和接受成人的策略和思維模式，他們要用自己經(jīng)驗中已有的數(shù)學(xué)知識去過濾和解釋新信息，以至同化它。如果兒童看不出教師所呈現(xiàn)的信息和他們已有的數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，那么，教師的講授就如同對牛彈琴。因此，兒童的數(shù)學(xué)化過程就是兒童“自組織”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料的過程，也是兒童對客觀的“數(shù)學(xué)知識”進(jìn)行主觀“意義賦予”的過程。換言之。兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是兒童在已有知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上的一種自我的、能動的、有意義的建構(gòu)!

因此，兒童視閾中的數(shù)學(xué)就不應(yīng)簡單地被等同于數(shù)學(xué)知識的匯集，不應(yīng)被看作無可懷疑的真理的集合，而應(yīng)主要被看作兒童的一種“創(chuàng)新性建構(gòu)”。兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究，是兒童的思想實驗或“準(zhǔn)實驗”。在弗賴登塔爾看來，一個6歲的兒童用手指或用計算器算出8+5=13，對成人來說，可能那并不算是什么數(shù)學(xué)，但對這個年齡層次的兒童來說。就是一個嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。通過探究，兒童自己建構(gòu)的知識，也許不是成人所認(rèn)為的“科學(xué)”和“正確”的知識。但從建構(gòu)主義觀點看，所有的知識都只具有相對的意義，也即意義是相對于知識的建構(gòu)者而言的。比如有一個學(xué)生。認(rèn)為“6是奇數(shù)”，理由是6可以寫成2×3，而3是奇數(shù)，所以6是奇數(shù)。這告訴我們，這位學(xué)生有他自己關(guān)于奇數(shù)的定義，他是根據(jù)自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗。用自己的方式理解數(shù)學(xué)的。因此。在兒童學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)化”的過程中，如果我們只按照自己的理解方式強(qiáng)迫兒童接受是不可取的。我們首先要反思自己概念的形成過程。然后再分析兒童的概念建構(gòu)過程。要尊重兒童對數(shù)學(xué)知識的原初解讀，給兒童充分的時間建構(gòu)，幫助兒童反思自己的先前圖式。建立正確的數(shù)學(xué)觀念。

3.兒童數(shù)學(xué)是一種“活動數(shù)學(xué)”。

“活動是智慧的根源”(皮亞杰語)，也是兒童的經(jīng)驗建構(gòu)方式。在活動中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是兒童的一種自由與自覺，因為它擺脫了兒童生疏的紙筆策略，營造了具有真實的、有意義的、支持性的情境，使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為“真實的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”，符合兒童心智的發(fā)展。例如。在數(shù)學(xué)活動課上，師生做一個爭奪紅旗的游戲，有一面小紅旗插在地上，然后讓一些孩子排列在紅旗的正前方，等老師發(fā)出口令后，大家都奔上前去奪這面紅旗，以奪到者為勝。他們可能立刻就會提出異議，這樣的游戲方法不公平，理由是每一個人到達(dá)紅旗的距離不相等。那么，怎樣解決最合理呢?經(jīng)過思考、討論、嘗試等一系列的探究活動，它們很快就逐漸形成一個手拉手的形狀(圓)。于是，一個“動點到定點是一個定長”的意識就開始形成了——盡管它并不是一個嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念，但對“形式數(shù)學(xué)”來說，就可能會是從空間的“點集”性質(zhì)特征來建構(gòu)“圓”的概念的。因此?！皵?shù)學(xué)活動”能讓兒童自覺地經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的“再創(chuàng)造”，實現(xiàn)兒童真正的“數(shù)學(xué)化”!

二、“兒童數(shù)學(xué)”的實踐建構(gòu)

1.讓“兒童生活”嵌入數(shù)學(xué)教學(xué)。

“數(shù)學(xué)科學(xué)是人類精神從外界借取的東西最少的創(chuàng)造物之一”(龐加勒語)，但兒童數(shù)學(xué)卻應(yīng)該親近兒童，純粹例題式的教學(xué)起點對于兒童來說不具有可攀性。于是，我們需要借取生活素材，讓“兒童生活”嵌人數(shù)學(xué)教學(xué)，讓“陌生的數(shù)學(xué)”變得熟悉、親切。一方面我們要“活化教材”，充分感受新教材選擇素材的獨特視角，盡可能地發(fā)揮這些素材的教育功能：另一方面我們也應(yīng)認(rèn)識到，由于每個兒童的家庭背景以及自身思維方式的差異，使得同一教材不可能適應(yīng)不同地域的兒童。因此，我們要創(chuàng)生教材以外的資源，將觸角延伸至兒童周遭的“生活世界”，善于捕捉“生活現(xiàn)象”，設(shè)計“生活情境”，勾勒“生活畫面”，使之符合兒童的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”!

例如，對于“平均數(shù)”，我們在學(xué)習(xí)材料的組織中，通常都是呈現(xiàn)一個“工業(yè)生產(chǎn)”方面的背景，而這種背

景對兒童來說并不熟悉。即便是呈現(xiàn)一些算“成績”(成績的平均數(shù))的背景，對兒童來說，也是難以理解的。因為這通常是作為成人的教師行為。有時，為了表示所謂的“平均數(shù)本質(zhì)特征”——“移多補(bǔ)少”，還常常用幾塊積木，在多和少之間移來移去?；蛘咴趲赘L短不一的線段之間加來減去，兒童很難理解教師的這些行為。假如我們呈現(xiàn)這樣一個背景：一群兒童在隨意地“爭奪”積木，有的多，有的少，發(fā)生了爭吵。老師怎么辦?讓兒童去想象并設(shè)計一下教師的行為(方法和過程)，然后思考：里面含有什么樣的數(shù)學(xué)特點?用原來什么樣的數(shù)學(xué)知識可以解釋?這樣可能更容易讓兒童理解“平均數(shù)”的本質(zhì)特性。

2.開辟“用手思考”的道路。

對兒童來說，學(xué)數(shù)學(xué)不應(yīng)是去記數(shù)學(xué)、去背數(shù)學(xué)、去練數(shù)學(xué)，而更應(yīng)是“做數(shù)學(xué)”。因為思維的形成，必須從外在的可見活動開始，這既是人類數(shù)學(xué)經(jīng)驗的起源，也是兒童心智發(fā)展的歷程，兒童需要“用手思考”!

例如對于“平均分”，我們是將其作為“數(shù)學(xué)概念”還是作為兒童的“思維對象”?是將其作為“數(shù)學(xué)符號”直接教學(xué)。還是讓兒童經(jīng)歷“平均分行為”?很顯然，我們應(yīng)該讓兒童在“平均分”的活動中運用自己的經(jīng)驗去自主建構(gòu)“除法”、“除數(shù)”、“余數(shù)”等概念?；顒娱_始時，兒童可能會依照經(jīng)驗，為了保證每個人所得的同樣多。就用一種類似于一群人圍在一起打牌時發(fā)牌的方式，將物品輪流地一個一個地分發(fā)(有時也會每一次先等量地分發(fā)給每一個人，然后再這樣輪發(fā))，用弗賴登塔爾的觀點。這就是關(guān)于分配問題的“水平數(shù)學(xué)化”。

但是，當(dāng)任務(wù)較大(要分的物品或分配的對象等數(shù)額較大)時，兒童就會對這種分配方式進(jìn)行反思，他們會嘗試去獲得另外一種分法，即用尋找盡可能大的份額來一次性地完成分配，并最終形成了用“除法”的概念與算法，甚至他們可能會有趣地發(fā)現(xiàn)，有的正好分完，有的還有多余，這多余的物品又不夠再分，于是余數(shù)的概念就這樣逐漸建立起來。此外，從多余的物品不能再分的現(xiàn)實問題情境中，兒童對“余數(shù)必須比除數(shù)小”的道理也有隱約的理解。這就是弗賴登塔爾所說的“垂直數(shù)學(xué)化”——逐步的圖式化。

不難看到，在兒童數(shù)學(xué)活動過程中，一刻也離不開思維，更準(zhǔn)確地說是離不開兒童的“反思”。因此，“用手思考”我們也可以理解為“用頭腦做”、“用頭腦看”、“用頭腦聽”……真正的“做數(shù)學(xué)”活動意味著：一方面，兒童的手、腦、眼、耳等的多感官協(xié)同活動。可以加強(qiáng)對客觀事物的動態(tài)感知；另一方面，兒童的外顯活動與內(nèi)隱言語、思維必須緊密結(jié)合，以便讓活動成為“外化的思維”，讓思維成為“內(nèi)化的活動”!

因此，“用手思考”就不是一種具體的教學(xué)模式。更不是一種具體的學(xué)習(xí)方法，而是一種教學(xué)思想和兒童的學(xué)習(xí)方法論。其基本的價值觀是：兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種兒童的主動觀察、思考、操作、探究、嘗試、發(fā)現(xiàn)與體驗活動，它讓兒童用一種整體的、手腦聯(lián)動的實踐方式去把握認(rèn)識對象。這種方式既契合教育學(xué)家杜威的“做中學(xué)”理論，也符合皮亞杰的“發(fā)生認(rèn)識論”學(xué)說，更是馬克思主義的唯物實踐觀在兒童數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的具體運用。

3.凝聚——必要的抽象。

數(shù)學(xué)“客觀知識”的形成過程是一個“去情景化、去個人化和去時間化”的過程。兒童數(shù)學(xué)固然應(yīng)該指向兒童——借助兒童的現(xiàn)實生活，尊重兒童的生活經(jīng)驗。讓兒童在教師的價值引領(lǐng)下進(jìn)行自主建構(gòu)，但兒童數(shù)學(xué)也應(yīng)該尊重數(shù)學(xué)本質(zhì)。在兒童數(shù)學(xué)教學(xué)中，要謹(jǐn)防數(shù)學(xué)內(nèi)涵的悄悄流失，謹(jǐn)防兒童思維的“卡通化”、“淺表化”。要切實處理好生活的隨意性與數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性之間的關(guān)系，將兒童的思維進(jìn)行形式化的提升。努力促成兒童由“卡通思維”向“形式思維”的有效過渡!

現(xiàn)代數(shù)學(xué)思維研究的一個重要成果就是指明了“凝聚”(由“過程”向“對象”的轉(zhuǎn)化)構(gòu)成了數(shù)學(xué)思維的一個基本形式。不少的數(shù)學(xué)概念最初是作為一個過程得到引進(jìn)的，但最終則又轉(zhuǎn)化成了一個對象，我們不僅可以研究它們的性質(zhì)，也可以此為對象去施行某些新的運作(指廣義的數(shù)學(xué)運演)。

因此，兒童數(shù)學(xué)活動中“火熱的思考”最終都必須凝固成“冰冷的美麗”，原先“做數(shù)學(xué)”的動態(tài)行為也終將客體化為一個靜止的數(shù)學(xué)符號?！坝檬炙伎肌钡臄?shù)學(xué)作為兒童“再創(chuàng)造”的過程表征，變成了兒童熟悉的事物，使得兒童可以用一種新的眼光去打量!也正是在這個意義上，弗賴登塔爾說，“與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，毋寧說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化；與其說是學(xué)習(xí)形式，毋寧說是學(xué)習(xí)形式化；與其說是學(xué)習(xí)公理，毋寧說是學(xué)習(xí)公理化”!