“雞兔同籠”問(wèn)題的解法探討

李樹清

摘 要：“雞兔同籠”問(wèn)題是我國(guó)古代數(shù)學(xué)趣題之一，也是當(dāng)今小學(xué)數(shù)學(xué)課外活動(dòng)專題之一。在小學(xué)階段，應(yīng)結(jié)合小學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，對(duì)“雞兔同籠”類數(shù)學(xué)題進(jìn)行多角度的解法探討。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；雞兔同籠問(wèn)題；解法探討

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2009）03-0050-02

“雞兔同籠”問(wèn)題是我國(guó)古代趣題之一。大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)有趣的問(wèn)題。書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？”這四句話用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言說(shuō)意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳。求籠中雞和兔各有幾只？

這就是雞兔同籠問(wèn)題，通常情況下，人們喜歡用假設(shè)法來(lái)解答此類問(wèn)題。假設(shè)法是一種常用的解題方法，用假設(shè)思想解應(yīng)用題，首先要根據(jù)題意正確地判斷應(yīng)該怎么假設(shè)（一般可假設(shè)要求的兩個(gè)或幾個(gè)未知量相等、或者假設(shè)要求的兩個(gè)未知量是同一種量）；其次，要根據(jù)所作的假設(shè)，注意到數(shù)量關(guān)系發(fā)生了什么變化，怎樣從所給的條件與變化了的數(shù)量關(guān)系的比較中做出適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，從而找到正確的答案。

解法一：假設(shè)他們?nèi)请u，根據(jù)雞兔的總數(shù)就可以算出在假設(shè)條件下一共有幾只腳，把這樣得到的腳數(shù)與題中給出的腳數(shù)相比較，看看差多少，每差兩只腳就說(shuō)明有一只兔，將所差的腳數(shù)除以二，就可以先算出一共有多少只兔，進(jìn)而算出有多少只雞。

兔子的只數(shù)：（９４－３５×２）÷（４－２）＝１２（只）

雞的只數(shù)：３５－１２＝２３（只）

解法二：假設(shè)它們?nèi)峭?，則應(yīng)有４×３５＝１４０（只）腳，現(xiàn)在有９４只腳，少了１４０－９４＝４６（只）腳，原因是把雞全都假設(shè)成了兔子，一只雞比一只兔子少２只腳，所以，雞的只數(shù)就可以求出來(lái)了。

雞的只數(shù)：（４×３５－９４）÷（４－２）＝２３（只）

兔子的只數(shù)：３５－２３＝１２（只）

解法三：運(yùn)用假設(shè)法解題邏輯思維性較強(qiáng)、比較抽象。我們還可以運(yùn)用列表枚舉法來(lái)解答此類問(wèn)題。

從上表的枚舉可以看出兔子有12只，雞有23只。

解法四：列表枚舉法雖然形象、易懂，但很麻煩，運(yùn)用方程法來(lái)解答更簡(jiǎn)略些。

1） 解：設(shè)兔子有x只，則雞有３５－x只，則兔腳有４x只，雞腳有２×（３５－x）只，依據(jù)題意得：

４x+２×（３５－x）=94

解得x=12 35－12=23（只）

所以兔子有12只，雞有23只。

2） 解：設(shè)雞有x只，則兔有３５－x只，則雞腳有2x只，兔腳有4×（３５－x）只，依據(jù)題意得：

2x+4×（３５－x）=94

解得 x=2335－23=12（只）

所以雞有23只，兔子有12只。

解法五：雞兔同籠問(wèn)題一般都是用以上幾種解法來(lái)解答，思維的角度是用算術(shù)、方程，能否把雞兔同籠問(wèn)題轉(zhuǎn)變成一道更加直觀、形象、容易解答的幾何圖形題呢？我們來(lái)看這樣一個(gè)圖形：

圖形中AB＝３５，BC＝２，AF＝４，圖形AHEF和圖形HBCD的面積和為９４，求AH＝？HB＝？

這道題就是雞兔同籠問(wèn)題的一種幾何圖形表達(dá)形式，AH為兔子的只數(shù)，HB為雞的只數(shù)，AB表示雞兔共有３５只，BC＝２表示每只雞有２只腳，AF＝４表示每只兔有４只腳，圖形AHEF和圖形HBCD總面積為９４表示雞兔共有９４只腳。最后求AH＝？即兔有多少只？HB＝？即雞有多少只？

這道題巧妙地應(yīng)用了長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬。

兔的只數(shù)×每只兔４只腳 ＋ 雞的只數(shù)×每只雞２只腳 ＝ 雞兔共有９４只腳

AH × AF ＋ HB × BC = 94

長(zhǎng)方形AHEF的面積 ＋ 長(zhǎng)方形HBCD的面積= 圖形總面積為９４

延長(zhǎng)CD交AF與G，在長(zhǎng)方形ABCG中，已知AB的長(zhǎng)度和BC的長(zhǎng)度，則長(zhǎng)方形ABCG的面積很容易求出，長(zhǎng)方形AHEF和長(zhǎng)方形HBCD的面積和已知，減去長(zhǎng)方形ABCG的面積，那么可以求出長(zhǎng)方形GDEF的面積，由于GF=GA=BC=2，在長(zhǎng)方形GDEF中，已知面積和GF的邊長(zhǎng)，EF可以求出，EF＝AH，已知AB的長(zhǎng)度，則HB也可以求出，這樣，AH即兔有多少只，HB即雞有多少只即知。

解：在圖形中線段AH表示兔有多少只，HB表示雞有多少只，總面積９４表示雞兔共有９４只腳，BC表示每只雞有２只腳，AF表示每只兔有４只腳，延長(zhǎng)CD交AF與G，在長(zhǎng)方形ABCG中，AB＝３５，BC＝２，則長(zhǎng)方形ABCG的面積：３５×２＝７０，長(zhǎng)方形AHEF和長(zhǎng)方形HBCD的面積和為９４，則長(zhǎng)方形GDEF的面積的面積：９４－７０＝２４。由于GF=GA=BC=2，所以EF＝２４÷２＝１２，EF=AH，則AH＝１２，即兔有１２只，HB＝３５－１２＝２３，即雞有２３只。

對(duì)于要同時(shí)考慮兩個(gè)因素的類似“雞兔同籠”問(wèn)題的一些應(yīng)用題，如果用長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別表示兩個(gè)不同的因素，畫出長(zhǎng)方形來(lái)，再利用長(zhǎng)方形的面積進(jìn)行分析，往往解題思路十分快捷。

“雞兔同籠”問(wèn)題的解法是多種多樣的，從不同的思維角度往往能探索出更新的解法，從而滿足不同學(xué)生的發(fā)展需要，大家不妨一試。

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