數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)

宋云峰

【摘要】中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師必須精心重組教學(xué)內(nèi)容,充分暴露數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程,以激發(fā)起學(xué)生的探究創(chuàng)新思維。本文從數(shù)學(xué)概念的教學(xué),數(shù)學(xué)定理的教學(xué),數(shù)學(xué)證明的教學(xué),定理應(yīng)用的教學(xué)四個(gè)方面闡述了數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)新思維學(xué)生

中學(xué)數(shù)學(xué)教材所呈現(xiàn)給學(xué)生的是“概念―定理―例題―習(xí)題”模式,是具有確切的概念、最少的公理和經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C方法加工的純數(shù)學(xué)系統(tǒng),而對(duì)數(shù)學(xué)中基本概念的產(chǎn)生、形成、發(fā)展直至完善是如何走過(guò)來(lái)的,數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)、證明思路的猜測(cè)和證明方法的嘗試等思維活動(dòng)是如何進(jìn)行的,因種種局限談及不多,可這些往往是最能夠引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,促進(jìn)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)和發(fā)展學(xué)生思維的重要環(huán)節(jié),是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)不可忽視的。要發(fā)展學(xué)生的思維能力,教師必須精心重組教學(xué)內(nèi)容,充分暴露數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程,以“有待建立的形式”為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題情景,設(shè)計(jì)一條“再發(fā)現(xiàn)”的道路去探索和發(fā)現(xiàn)事物變化的起因與內(nèi)在聯(lián)系,引起學(xué)生的認(rèn)知沖突和構(gòu)建,激發(fā)起學(xué)生的探究思維。

暴露數(shù)學(xué)思維過(guò)程,就是要暴露數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理提出的過(guò)程,暴露解題、證題思路探索的過(guò)程,暴露數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的過(guò)程,暴露數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的建立、推廣和發(fā)展的歷史過(guò)程。

一、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)

要重視概念引入的必要性。引入概念教學(xué)時(shí),可以從實(shí)際問題出發(fā),對(duì)感性材料進(jìn)行深刻分析,逐步概括抽象出概念來(lái);或者是通過(guò)所學(xué)概念與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的某個(gè)適當(dāng)概念實(shí)現(xiàn)同化來(lái)學(xué)習(xí)概念。如能結(jié)合生產(chǎn)和社會(huì)實(shí)踐,甚至結(jié)合數(shù)學(xué)史去講解,將對(duì)培養(yǎng)創(chuàng)造性思維起到促進(jìn)作用。比如,為什么有理數(shù)域要擴(kuò)充到實(shí)數(shù)域,再要擴(kuò)充到復(fù)數(shù)域,為什么是這樣的擴(kuò)充辦法,這樣做的合理性在什么地方,又是怎樣想出來(lái)的,經(jīng)歷了哪些主要坎坷,對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起了什么作用等。這樣教學(xué),使概念教學(xué)不僅解決“是什么”的問題,還要解決“是怎樣想到”的問題,以及這個(gè)概念對(duì)以后建立、發(fā)展理論所發(fā)揮的作用的問題,把概念的來(lái)龍去脈和歷史背景弄清楚,從而深刻理解數(shù)學(xué)概念。

二、數(shù)學(xué)定理的教學(xué)

在數(shù)學(xué)定理的教學(xué)中,應(yīng)遵循“尋求、發(fā)現(xiàn)、推證、運(yùn)用”的思維過(guò)程進(jìn)行教學(xué)。(1)尋求。教師創(chuàng)設(shè)教學(xué)鋪墊,在分析新舊知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別的基礎(chǔ)上,確定同化(順應(yīng))模式,安排猜想尋求過(guò)程,在關(guān)鍵步驟上放手讓學(xué)生猜想尋求,給出定理的條件,或編制一些變換結(jié)論,缺少條件的“藏頭露尾”的題目,讓學(xué)生通過(guò)分析尋求一些結(jié)論,尋求解題的方向,尋求由特殊到一般的可能,尋求知識(shí)間的有機(jī)聯(lián)系。(2)發(fā)現(xiàn)。對(duì)尋求的結(jié)論用特殊的值去驗(yàn)證,看結(jié)論與實(shí)際是否吻合,發(fā)現(xiàn)特殊性的問題。(3)推證。當(dāng)實(shí)踐的結(jié)果與尋求的結(jié)論符合時(shí),想辦法從理論上用自己前面學(xué)過(guò)的知識(shí)把結(jié)論推證出來(lái),得出符合一般性的定理。(4)運(yùn)用。把定理運(yùn)用具體的解題當(dāng)中,再次加深對(duì)定理的理解。

如在等腰三角形有關(guān)重要線段定理教學(xué)時(shí),引導(dǎo)學(xué)生在定理的條件(結(jié)論)不變時(shí)對(duì)結(jié)論(條件)從不同的角度去猜想尋求,發(fā)掘出定理的縱橫聯(lián)系,強(qiáng)化學(xué)生對(duì)定理的理解。命題“(A1)等腰三角形兩底角平分線的交點(diǎn),(B1)必在底邊的中垂線上”,讓學(xué)生猜想,條件(A1)不變,如何對(duì)結(jié)論(B1)進(jìn)行變換?換成(B2):“必在頂角的平分線上”;結(jié)論(B1)不變,條件(A1)進(jìn)行變換,換成(A2):“等腰三角形兩上中線的交點(diǎn)”,換成(A3)“等腰三角形兩上高的交點(diǎn)”,換成(A4)“等腰三角形兩上中垂線的交點(diǎn)”,經(jīng)過(guò)驗(yàn)證就得出(A1)=>(B2),(A2)=>(B1),(A3)=>(B1),(A4)=>(B1)四個(gè)新定理,通過(guò)條件發(fā)散和結(jié)論發(fā)散,引導(dǎo)學(xué)生多向思維,培養(yǎng)創(chuàng)新求異思維品質(zhì)。

在數(shù)學(xué)定理的教學(xué)中,要引導(dǎo)學(xué)生弄清定理來(lái)源,反映數(shù)學(xué)創(chuàng)造和建立的過(guò)程。例如:三角函數(shù)這一章公式繁多,很多學(xué)生抓不住頭緒,其實(shí)公式雖多,其最基本的只有兩個(gè)sin(α+β)和cos(α+β)。在深刻理解這兩個(gè)公式后,其它公式的產(chǎn)生、證明和體系構(gòu)建就清晰了,學(xué)生就可以在教師引導(dǎo)下自己去發(fā)現(xiàn)sin(α-β)和cos2α的推導(dǎo)過(guò)程,教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察它們與sin(α+β)、cos(α+β)的聯(lián)系與區(qū)別,要為學(xué)生的發(fā)現(xiàn)創(chuàng)設(shè)情景和環(huán)節(jié),引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造和建立的過(guò)程。

三、數(shù)學(xué)證明的教學(xué)

在尋求數(shù)學(xué)證明中,首先,要分清定理的條件和結(jié)論,要證明的結(jié)論是什么,怎樣敘述的,對(duì)這樣的敘述完全了理解嗎,要證明的例題還有沒有另外的敘述方法;等概念的結(jié)論各包含哪些事項(xiàng),它們的關(guān)系怎樣;明晰已知什么、求證什么。其次,要思考由什么樣的前提才能推出要證明的例題,即由給定范圍內(nèi)的哪些已學(xué)過(guò)的命題(定義、公理等)可以推出這個(gè)命題。在利用綜合法尋求證明的起點(diǎn)比較困難時(shí),必須借助“倒推法”,即分析法才能找到證明的起點(diǎn)。有時(shí)是綜合法和分析法雙管齊下,從條件、結(jié)論推理去尋求二者呼應(yīng)。例如,幾何證明題,從□ABCD頂點(diǎn)向形外的任意直線MN引垂線AA′,BB′,CC′,DD′,垂足分別A′、B′、C′、D′,求證:AA′+CC′=BB′+DD′。

分析:此題結(jié)論比較復(fù)雜,所以要從條件、結(jié)論去尋求二者呼應(yīng)。

特點(diǎn):四條線段都與直線MN垂直;

聯(lián)想:四條平行線段是否可構(gòu)成梯形?

猜想:欲證線段“AA′+CC′”和“BB′+DD′”的關(guān)系,梯形中有定理涉及兩底邊和的,讓這四條線段作為梯形底邊,可否解決問題?

驗(yàn)證:要構(gòu)成梯形AA′C′C和梯形AA′C′C,從而,作輔助線連結(jié)AC,BD交于點(diǎn)O。

再聯(lián)想:要使四條線段是梯形上下底,其和只能與梯形的中位線有聯(lián)系。

問題:如何做中位線?O點(diǎn)有什么意義?

驗(yàn)證:作OO′垂直線MN,可證出OO′是兩個(gè)梯形的共用中位線,進(jìn)而AA′+CC′=BB′+DD′被肯定。在幾何證明中經(jīng)常是這樣從條件探索結(jié)論,從結(jié)論求因至條件,或是同時(shí)從條件和結(jié)論兩邊探索達(dá)到吻合而得以求證。

四、定理應(yīng)用的教學(xué)

在數(shù)學(xué)定理的應(yīng)用教學(xué)中,教師必須創(chuàng)設(shè)一系列情景,讓學(xué)生主動(dòng)探索,發(fā)現(xiàn)新問題。一是要利用一題多解,訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維。在呈現(xiàn)單向、正向思維的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多向思維,就不同的角度、不同的方位、不同的觀點(diǎn)分析思考同一問題,從而擴(kuò)充思維的范圍,收到舉一反三的效果,求新求異,提高教學(xué)質(zhì)量。二是要利用互逆因素,訓(xùn)練學(xué)生逆向思維。正向思維定勢(shì)經(jīng)常制約學(xué)生思維空間的拓展。三是要抓住分析時(shí)機(jī),訓(xùn)練學(xué)生聯(lián)想思維,聯(lián)想能使學(xué)生進(jìn)行多角度地去觀察思考問題,進(jìn)行大膽聯(lián)想,尋求答案。四是要抓住猜想時(shí)機(jī),訓(xùn)練學(xué)生靈感思維。要注意使學(xué)生獨(dú)立思考、標(biāo)新立異,從例子和已知知識(shí)中發(fā)現(xiàn)和提出新的數(shù)學(xué)問題,學(xué)會(huì)怎樣分析、怎樣判斷、怎樣推理、怎樣發(fā)現(xiàn)、怎樣解決問題。通過(guò)深化和減弱條件,通過(guò)加強(qiáng)結(jié)論、一般化、推廣、特殊化、類比等引出或轉(zhuǎn)化成別的問題,尋求一題多變、一題多解、多題一解,以及此問題同彼問題的聯(lián)系和區(qū)別。五是通過(guò)知識(shí)的系統(tǒng)化,訓(xùn)練學(xué)生概括思維。建立新知識(shí)與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識(shí)橫向聯(lián)系,概括出帶有普遍性的規(guī)律,從而推動(dòng)同化、順應(yīng)的深入。