勾股定理中的數學思想

王素琴

數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識之中，經過思維活動而產生的一種結果，它是數學中處理問題的基本觀點，是對數學基礎知識與基本方法本質的概括，是創(chuàng)造性地發(fā)展數學的指導方針。

數學思想是數學解題的靈魂，總結概括數學思想，有利于透徹地理解所學知識，提高獨立分析問題和解決問題的能力?，F在把冀教版第十六章《勾股定理》一章中體現的數學思想總結如下：

一、整體思想

所謂整體思想是從全題照眼，將數學問題看成一個完整的單位，把數、式、圖等各部分綜合起來考察，在頭腦中構建一個完整的形象，從而抓住問題之間的本質聯系，以達到迅捷解題的目的。

例1. 如圖（1）在直線L上擺放著3個正方形，斜放置正方形ABCD的面積為1，正放置的兩個正方形面積為S₁ ,S₂ ,則S₁ + S₂ =_______。

分析：本題不可能分別求出S₁ ,S₂的值，但可以把S₁+S₂看作整體：AE²+CF²,而通過△AEB≌△BFC可以得到CF=BE，因此S₁+S₂= AE²+BE²,又利用勾股定理知AE²+BE²= AB²=S正方形ABCD =1

二、分類討論思想

分類討論是指在解決某些數學問題時，將問題所涉及的所有對象進行分類，然后逐項進行討論，從而得出正確的解題過程。

例2. 在△ABC中，AB=15,AC=20，AD是BC邊上的高，AD=12，求BC的長。

分析：此題沒有給出圖形，三角形的高可能在三角形的內部，也可能在三角形的外部，因此應分兩種情況來求。

解：（1）如圖（2）當BC邊上的高AD在 △ABC的內部時，在Rt△ACD中，根據勾股定理得：

CD²=AC²-AD²=20²-12²=256∴ CD=16

在Rt△ABD中，根據勾股定理得：

BD²=AB²-AD²=15²-12²=81 ∴BD=9 ∴BC=CD+BD=16+9=25

（2）如圖（3）當BC邊上的高AD在△ABC外部時，BC=CD-BD=16-9=7，所以BC的長為25或7。

三、轉化思想

轉化思想是數學思想方法的核心，其它數學思想方法都是轉化的手段或策略。如把新問題轉化為研究過的問題；把復雜問題轉化為簡單問題；把實際問題轉化為數學問題，最終達到解決問題的目的。

例3.如圖（4）在公路l旁有一塊山地正在開發(fā)，現有C處需要爆破，C與公路停靠站A的距離為300m，與公路上的另一?？奎cB的距離為400m，且CA⊥CB，爆破點C周圍250m范圍內不得進入，問在進行爆破時，公路AB段是否有危險，需要暫時封鎖嗎？

分析：要判斷公路AB段是否需要封鎖，只需轉化成為C到公路l的距離，若這個距離大于250m，則不需封鎖，若小于250m，則需封鎖。

解：作CD⊥AB于D

在Rt△ABC中，根據勾股定理得：AB²=BC²+AC²=400²+300²=500²

∴AB=500

根據三角形的面積相等，得：12 AB?CD = 12 BC?AC

即 12 ×500?CD=12 ×400×300

∴CD=240(m)

∵ 240＜250∴公路AB段有危險，需要暫時封鎖。

四、數形結合

數形結合是指抽象的數學語言與形象直觀的圖形結合起來，從而實現由抽象向具體轉化的一種思維方式。數學家華羅庚說得好：“數形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數統(tǒng)一體，永遠聯系莫分離?！?/p>

例4.在一棵樹的10m高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹，走到離樹20m處的池塘處，另一只猴子爬到樹頂后直接躍到池塘處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經過的距離相等，求這棵樹高。

分析：結合題意畫出圖（5）可直觀看出兩只猴子所走路徑分別為AB+BC和AD+DC，然后根據勾股定理，構造方程即可解決問題。

解：如圖（5）由題意知AB=10m，樹BD到池塘C的距離為20m。

設AD=xm,∴DC=(30-x)m

在Rt△BDC中，根據勾股定理得：

BD²+BC²=DC²

即（10+x）²+20²=(30-x)²

解得x=5

∴BD=AB+AD=10+5=15(m)

因此這棵樹高15m 。