數(shù)學課堂　我們要關(guān)注什么

華建鋒

這個類型的問題更多的是編排在數(shù)學奧賽內(nèi)容里?，F(xiàn)在在復習內(nèi)容中出現(xiàn)，而且只是很小的一節(jié)，我認為，教材編排在此的目的，不僅僅是讓學生掌握這幾個題的解法，更重要的是在學生心中滲透“數(shù)學思想”方法，去解決實際生活中復雜的數(shù)學問題；同時也積累一些解決問題的策略。因為解決問題的方法和途徑是多種多樣的，同樣策略也需要不斷積累，但不管解決什么數(shù)學問題，特別是復雜的數(shù)學問題，一定要讓學生樹立一種意識——走一步看一步并掌握其中的規(guī)律。所以在教學設(shè)計和教學過程之中，我意在讓學生多總結(jié)，多歸納，并說出自己的感想和經(jīng)驗。

[第一次執(zhí)教]

2008年5月，我在杭州市長青小學星級教師展示課暨杭州師范大學教育實習示范課上執(zhí)教《數(shù)學思考》，試圖以學生的即時生成為主，最大限度地展現(xiàn)開放式的教學方式。(簡要的教學設(shè)計附后。)

這一節(jié)課上下來，第一感覺是累。課堂是生成的，它不會按照教師事先預設(shè)的情境按部就班地推進，從而導致教師在課掌上很難把握和調(diào)控。本次執(zhí)教僅從文本出發(fā)，教師只是按教材的內(nèi)容與順序執(zhí)行了教學流程。整個教學過程只強調(diào)了學生的畫一畫，沒有深刻感知過程內(nèi)在的變化聯(lián)系，解決這類問題“畫”并不是一種好的策略，得想辦法找規(guī)律，并感受到“數(shù)學思想”對解決問題的重要性。這一切都讓我在教學結(jié)束之后才有了更深刻的體味，整節(jié)課下來就像是老師拖著學生往前走，老師累，學生困惑——這節(jié)課老師究竟要教會我們什么?

第二感覺是自己對數(shù)學教學理解的膚淺，特別是對于知識大背景更是浮光掠影式的把握。忽視了學生原有的認知基礎(chǔ)(學生已會快速而準確地數(shù)線段)，但教師還是將學生置身于一無所知的狀態(tài)之中，認為解決了連線段問題之后并通過機械練習，就能把該種數(shù)學思想方法得到鞏固。但沒有想到的是在新的問題情境出現(xiàn)時，運用原有解題模式進行分析、解答，結(jié)果竟是幾近全軍覆沒。難道是例題教學的學生沒有掌握解題的方法?

《數(shù)學課程標準》指出：“對數(shù)學的認識不僅要從數(shù)學家關(guān)于數(shù)學本質(zhì)的觀點中去領(lǐng)悟，更要從數(shù)學活動的親身實踐中去體驗；體驗從現(xiàn)實生活開始……使已經(jīng)存在于學生頭腦中的那些經(jīng)驗性餉數(shù)學知識和數(shù)學思維方式上升發(fā)展為科學的結(jié)論。”對于點與線段之間的關(guān)系，學生已經(jīng)具有一定的生活經(jīng)驗，因此，教學中應(yīng)當重視學生的知識起點，教學的組織也應(yīng)當站在學生的知識起點這一平臺上來進行有效展開。

[第二次執(zhí)教]

2008年6月，我在杭州市青少年活動中心家長開放課上執(zhí)教《數(shù)學思考》，本次教學我強調(diào)學生的動手操作和實踐，同時更關(guān)注學生思維品質(zhì)的發(fā)展。像這種以幾何形態(tài)顯現(xiàn)的問題，便于學生動手操作，通過畫圖，由簡馭繁，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。特別是“做數(shù)學”成為當下數(shù)學教育的一個重要觀點，它強調(diào)學生學習數(shù)學是一個現(xiàn)實的體驗、理解和反思的過程，強調(diào)了以學生為主體的學習活動對學生理解數(shù)學的重要性。學生在自然情境中，在教師的幫助下，在“做”的過程中積累豐富的直接經(jīng)驗，主動參與數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，理解和掌握數(shù)學思想、方法等知識。(簡要的課堂實錄附后。)

第二次執(zhí)教的探索過程是：①利用操作與圖示進行轉(zhuǎn)化，并運用圖形、符號使之數(shù)學化，即6個點可以連多少條線段?8個點可以連多少條線段?2001個點、2008個點呢?②通過操作、比較、分析，建構(gòu)基本的數(shù)學模型。第一步：以退為進，從簡單的數(shù)學問題想起(即由簡馭繁的數(shù)學思想)。第二步：對比每次操作過程中點與所連線段及相互之間的聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)并揭示規(guī)律。第三步：建模，如果平面上有n個點，則可連線段的總條數(shù)就等于從1開始前(n-1)個連續(xù)自然數(shù)的和。 也就是連續(xù)自然數(shù)的個數(shù)比點數(shù)少1。1+2+3+……+(n-1)＝(1+n-1)×(n-1)÷2=n×(n-1)÷2③解決后續(xù)問題：2001個點最多可以連成多少條線段?2008個點最多可以連成多少條線段72001×(2001-1)+2=2001000 2008×(2008-1)÷+2=2015028

第二次執(zhí)教中將知識的習得過程融合于具體的操作活動之中，符合小學生從形象到抽象的認知規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)學應(yīng)用從“實際問題一數(shù)學模型”和“數(shù)學模型一實際問題”的一般過程。

類似這種以幾何形態(tài)顯現(xiàn)的問題，便于學生動手操作，學生在生活原型與數(shù)學材料中進行積極的思辨，通過握手、連線、畫圖，由簡馭繁，在思維撞擊中獲得數(shù)學體驗與收獲，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律。本次教學不僅強調(diào)了學生的動手操作和實踐，同時更關(guān)注學生以往知識學習的大背景，把有效的數(shù)學活動建立在學生已有的生活經(jīng)驗基礎(chǔ)之上。從學生熟悉的生活情境出發(fā)，選擇學生身邊感興趣的事物作背景，然后提出有關(guān)數(shù)學問題，使學生感受到數(shù)學與日常生活的密切聯(lián)系，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的極大熱情。

“做數(shù)學”是目前數(shù)學教育的一個重要觀點，它強調(diào)學生學習數(shù)學是一個現(xiàn)實的體驗、理解和反思的過程，強調(diào)了以學生為主體的學習活動對學生理解數(shù)學的重要性。研究表明：人們在學習時，如果僅靠聽和看，最多能吸收30％的新知：如果動手做，可以達到90％以上。在教學過程中，借助于多媒體的演示，將數(shù)與形的結(jié)合直觀形象地展現(xiàn)在學生面前，使原本枯燥的知識更加直觀。學生能夠清晰地觀察到圖形的變化過程，以及由圖形到算式再到圖形的演變過程。更加利于學生發(fā)現(xiàn)知識的本質(zhì)，體驗到數(shù)學知識本身的魅力，同時也在一定程度上提高了課堂實效性。在這個環(huán)節(jié)的教學中，學生在自然情境中，在教師的幫助下，在“做”的過程中積累豐富的直接經(jīng)驗，主動參與數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，理解和掌握數(shù)學思想、方法等其他知識。

[感悟]

此次磨課帶給我的思考主要有以下幾點：

1基于教學的學習，還是基于學習的教學?

在教學過程中，學生是學習的主體。為此，教師不僅要考慮到教師的教，更要考慮到學生怎樣學，使教學能真正立足學生的學，能依據(jù)課程標準的要求，圍繞教材的重點、難點，有的放矢進行教學設(shè)計。課堂上力求做到服務(wù)與指導相結(jié)合，要為學生多創(chuàng)造一點思考的時間，多一點活動的空間，多一點表現(xiàn)自我的機會，多一點體驗感悟的愉悅。要把課堂還給學生，讓學生成為課堂的主人，讓數(shù)學教學活動成為學生自主探究下的一個“數(shù)學化”的過程。

把課堂還給學生，把探索的權(quán)利真正還給學生，學生的表現(xiàn)會令你瞠目結(jié)舌。在第二次執(zhí)教中，把學生真正當成了學習的主體，學生在已有知識背景下，發(fā)現(xiàn)問題、小組合作、協(xié)同研究都由學生自主完成。教師大多以參與者的身份出現(xiàn)，與學生一道研究，師生之間是一種民主、平等二和諧的伙伴關(guān)系。而第一次執(zhí)教中把學生學會解決具體數(shù)學問題作為教學的主要目標。面對具體問題情境時，甚至希望學生能盡快按照教師預先設(shè)定的“簡潔”“明快”“合理”的方式來進行思考，更是不允許學生的思維出現(xiàn)偏差。就知識技能掌握

的角度來看，第一次執(zhí)教無疑具有簡單、高效的特點，也能提高學生解題應(yīng)試的水平，但卻扼殺了學生的思維，致使學生在遇到新的問題情境或問題情境發(fā)生變化時，出現(xiàn)似懂非懂甚至措手不及也就不足為怪了。

2基于文本課程的教學，還是基于體驗課程的探究?

教學不只是課程傳遞和執(zhí)行的過程，更是課程創(chuàng)新與開發(fā)的過程：教學不只是傳授知識的過程，更是師生交往、積極互動、共同發(fā)展的過程。要改變重結(jié)論輕過程餉教學傾向，注重學生探索新知的經(jīng)歷和獲得新知的體驗。學科教學要以學生的發(fā)展為本，服從、服務(wù)于學生的健康全面發(fā)展。新課改背景下的課程不應(yīng)只是“文本課程”(課程標準、教學計劃、教科書……)，而應(yīng)該是“體驗課程”(能讓教師和學生實實在在體驗到、感悟到、思考到的課程)。

第二次執(zhí)教中更多地關(guān)注了學生對數(shù)學思想方法的感悟和學生獲取知識的過程。注重引導學生借助“圖示”與“操作”來提取數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系，注重尋找數(shù)量關(guān)系與問題解決之間的聯(lián)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，這一過程就是“數(shù)學化”“模型化”的過程。在學生建構(gòu)知識體系的過程中，教師沒有把知識僅僅作為文本課程來進行教學，而是把思考的時間、探索的空間、交流的機會讓給了學生，既關(guān)注數(shù)學知識的習得，更注重數(shù)學思想方法的體驗，讓學生有展示創(chuàng)造性思維成功的平臺。

3基于知識結(jié)論的記憶，還是基于數(shù)學智能的發(fā)展?

數(shù)學的教學有兩條線，一條是明線，即數(shù)學的基礎(chǔ)知識與技能，體現(xiàn)出階段性的特點。另一條是暗線，即數(shù)學思維方法的滲透，具有整體性和系統(tǒng)性的特點，需要教師從整體上加以把握。以往的教材比較重視明線而忽視暗線，新的教材比較重視數(shù)學思想方法的滲透。在實際教學中兩者往往會不斷發(fā)生沖突、容易致使教師陷入兩難境地。第二次執(zhí)教中通過變式、比較、分析、反思，溝通了知識之間的聯(lián)系和區(qū)別，不僅讓學生知其然而且還知其所以然，促進了學生思維的發(fā)展。特別是讓學生樹立了一種解決問題的意識，即在今后的學習中遇到類似復雜的問題時，都可以采取以退求進的方式，解決這類問題常用的策略是，由最小的、最簡單的情況人手，找出規(guī)律，以簡馭繁、化繁為簡。

結(jié)論與過程的關(guān)系是教學過程中一對十分重要的關(guān)系。從學科本身來講，過程體現(xiàn)該學科的探究過程與探究方法，結(jié)論表征該學科的探究結(jié)果。二者是相互作用、相互依存、相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系。有什么樣的探究過程和方法必然對應(yīng)著什么樣的探究結(jié)論或結(jié)果，概念原理的獲得依賴于特定的探究過程和方法。進入知識經(jīng)濟時代，學生在學校獲得的知識到社會上已遠遠不夠用。人們只有不斷更新知識，才能跟上時代的步伐。因此，讓學生從學會到會學，就顯得尤為重要和迫切。現(xiàn)代教育心理學研究指出，學生的學習過程不僅是一個接受知識的過程，而且也是一個發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程。這個過程一面是暴露學生產(chǎn)生各種疑問、困難、障礙和矛盾的過程，另一方面是展示學生發(fā)展聰明才智、形成獨特個性與創(chuàng)新成果的過程。正因為如此，新課程強調(diào)過程，強調(diào)學生探索新知的經(jīng)歷和獲得新知的體驗。當然，強調(diào)探索過程，意味著學生要面臨問題和困惑、挫折和失敗，這同時也意味著學生可能花了很多時間和精力結(jié)果表面上卻一無所獲，但是，這卻是一個人的學習、生存、生長、發(fā)展、創(chuàng)造所必須經(jīng)歷的過程也是一個人的能力、智慧發(fā)展的內(nèi)在要求。

附：第一次執(zhí)教教學設(shè)計

一、回憶引入：“兩點確定一條直線”“兩點之間線段最短”。

意圖：這一基本原理由教師直接進行陳述，從而喚起學生的知識回憶。

二、嘗試

出示問題情境一：現(xiàn)在在黑板上任意畫出三個點，可以連成多少條線段?

意圖：通過任意三點連成線段，讓學生對本課要研究的內(nèi)容有一初步的認識。

三、展開

(1)出示問題情境二：任意的6個點可以連成多少條線段?任意的8個點可以連成多少條線段72001個點、2008個點可以連成多少條線段?

意圖：用較大數(shù)目的點來連成線段，挑戰(zhàn)性更大，期望學生能從數(shù)學思考角度找到方法和策略。

(2)思考、討論、匯報交流。

四、應(yīng)用

附：第二次執(zhí)教課堂實錄

一、引入

師：把小組的每位同學看成一個端點，去與能跟你自己連成線段的同學握一握手，你和組內(nèi)同學能連成幾條線段?(學生“握手”活動)

意圖：將學生熟悉的生活原型作為課堂的引入，從而激發(fā)學生已有的知識經(jīng)驗。

二、展開

A握手問題

1把小組的每位同學看成一個端點，去與能跟你自己連成線段的同學握一握手，但不要重復，想一想再試一試，小組內(nèi)同學一共可以連成幾條線段?

2用下面這幾個點，請你想一想、連一連，能畫幾條線段?數(shù)例反思

意圖：提取存在于學生頭腦中原有的認識。

B連線段問題

1下面這4個點，請你想一想能畫幾條線段?

師：6個點可以連多少條線段?8個點呢?

2根據(jù)以上規(guī)律，你知道12個點、20個點能連成多少條線段嗎?請寫出算式。

3我們用n表示點數(shù)，你能用一個式子來表示本題的規(guī)律嗎?

4通過以上的操作，請大家思考一下為什么會有這樣的規(guī)律?

52001個點最多可以連成多少條線段?92008個點最多可以連成多少條線段?

6剛才同學們是怎樣找到規(guī)律的?你有什么建議嗎?

7特別要注意的是把變化的過程記錄下來，不能只記錄最終的結(jié)果，這樣便于我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

意圖：整個教學過程根據(jù)學生的思維而有序展開。

三、應(yīng)用

(1)10個老朋友見面，每兩人相互握手一次，你知道一共握了多少次手嗎?你能把你的想法與大家分享嗎?

10×9÷2=45(次)

(2)從1，2，3，……，9這九個數(shù)中選出兩個數(shù)組成兩位數(shù)，一共可以組出多少個不同的兩位數(shù)?想一想，這和用點連線段有什么相同，有什么不同?你能說說你是怎么想的嗎?

(3)一條直線能將一個長方形分為兩部分，兩條直線最多能將一個長方形分為4部分，那么5條直線最多能將一個長方形劃分成幾部分?2008條直線最多能將一個長方形劃分成幾部分呢?

(4)一張正方形紙，用“十”字形連續(xù)均分(如下圖)。均分2008次后，這張正方形紙被分成了()個部分。

第1次均分第2次均分第3次均分

4個部分

7個部分

10個部分

四、小結(jié)收獲，自我反思

師：這節(jié)課快要結(jié)束了，老師想了解一下同學們通過這節(jié)課的學習有什么收獲和啟示?

(浙江省杭州市長青小學310004)