小步子推進(jìn)：數(shù)學(xué)建模的有效策略

張衛(wèi)星

[緣起]

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》情調(diào)“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展”。因此，在小學(xué)階段滲透數(shù)學(xué)建模思想已顯得越來越重要。數(shù)學(xué)模型是對于現(xiàn)實世界的某一特定研究對象，在作了一些必要的簡化和假設(shè)之后，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具：并通過數(shù)學(xué)語言提煉、表達(dá)出來的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，如數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)概念、解題方法及某類知識的特征等等。

那么，如何在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透建模思想呢?帶著這樣的問題，我們進(jìn)行了苦苦的探索?！爸矘鋯栴}”屬于經(jīng)典的奧數(shù)教學(xué)內(nèi)容，具有較高的思維含量和較強(qiáng)的探究空間，也是能夠滲透數(shù)學(xué)建模思想的一種非常有效的載體。教師在教學(xué)這一內(nèi)容時往往更多地關(guān)注植樹規(guī)律的獲得，而恰恰相反，對植樹規(guī)律獲取的過程即建模過程可能比掌握規(guī)律本身來得更重要。我校應(yīng)璐鮚老師在執(zhí)教這一內(nèi)容時較好地闡釋了數(shù)學(xué)建模的策略——小步子建模，保證學(xué)生有充分的時間和空間參與建模的全過程。

[教學(xué)范本及評析]

一、創(chuàng)設(shè)原型

1教學(xué)“間隔”的含義

師：同學(xué)們，我們都有一雙手，手里面藏著有趣的數(shù)學(xué)知識，你想了解嗎?請舉起你的右手并五指張開。

師：在張開的五指中，你還看到了什么?(空隙或叉)

師：數(shù)學(xué)中我們把這個“空隙”或“叉”叫做“間隔”。(板書)

師：數(shù)一數(shù)一只手中有幾個間隔。(4個)這個4，數(shù)學(xué)上稱做“間隔數(shù)”。(板書)

2列舉生活中的“間隔”

師：生活中的“間隔”到處可見，你能舉幾個例子嗎?(兩棵樹之間、兩個同學(xué)之間、兩個鈴聲之間……)

師：同學(xué)們舉得例子可真多!今天這堂課，我們就一起來研究和間隔有關(guān)的植樹問題。(板書課題：植樹問題)

(評析：這樣的開頭親切而簡潔。通過觀察雙手和列舉生活中大量含有“間隔”的實例，使學(xué)生較好地理解“間隔”與“間隔數(shù)”的含義，同時為后面的建模提供了生活原型。)

二、構(gòu)建模型

1動手操作、探究問題

(1)解讀信息，嘗試解答

出示問題：同學(xué)們在全長1000米的馬路一邊植樹，每隔5米栽一棵(兩端要栽)，一共需要多少棵樹苗?

師：從題中你了解到了哪些數(shù)學(xué)信息?(解讀“每隔5米栽一棵”“兩端要栽”“一邊”)

師：算一算，一共需要多少棵樹苗?(請用算式說話)

反饋答案：

方法一：1000÷5=200

方法二：1000÷5=200；200+1=201

(評析：只有真正理解了植樹問題的這些術(shù)語，才能為后面的建模掃清障礙。把教材中的全長100米改為1000米，更有利于化歸思想的運(yùn)用。學(xué)生的兩種解答方法為下一步的化歸做好了鋪墊。)

(2)示范植樹，化難為易

師：現(xiàn)在出現(xiàn)了兩種答案，到底哪種答案是正確的呢?這需要驗證。咱們可以模擬實際種一種。我們用泡沫代替小路，用牙簽代替小樹，因為“兩端要栽”，先在一端栽上1棵，隔5米栽1棵，再隔5米栽1棵，隔5米栽l棵……(栽第5棵的時候，教師做暈的動作)

師：我們現(xiàn)在栽了多少米?(20米)這么久才種了20米，一共要種1000米。如果這樣一棵一棵地栽下去，你有什么感受?(太麻煩)

師：對呀，老師的手都栽酸了。其實，像這種比較復(fù)雜的問題，在數(shù)學(xué)上還有一種更好的研究方法——復(fù)雜問題簡單化。用簡單的例子來研究它們的規(guī)律，然后用找到的規(guī)律來解決問題。大家想用這種方法試試嗎?

師：我們把1000米改為20米。一齊讀題：

同學(xué)們在全長20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵(兩端要栽)，一共需要多少棵樹苗?

(評析：示范的第一個目的是讓學(xué)生理解每個間隔是相等的；其二是為學(xué)生下一步的模擬栽樹提供范例；其三是讓學(xué)生體會到化歸的必要性。)

(3)初次植樹，感受規(guī)律

師：四人一組模擬栽一栽、算一算。

師：說說一共栽了多少棵樹?(5棵)

師：想一想，20米里面有幾個5米?(4個)

師：這個4表示什么?(間隔數(shù))

師：通過栽樹，你發(fā)現(xiàn)了什么?(植樹棵樹比間隔數(shù)多!)

(評析：讓學(xué)生學(xué)會模擬栽樹的方法，為下一步的建模做準(zhǔn)備。)

2合作探究，建構(gòu)模型

(1)畫圖植樹，體驗規(guī)律

師：如果讓你來植樹，同樣全長20米，我們還可以每隔幾米栽1棵?(板書：2米、4米、10米、20米)

師：我們還可以用什么方法來種一種?(畫線段圖)

師：每組選取其中一種方案進(jìn)行畫圖研究，看看間隔數(shù)和棵數(shù)之間的關(guān)系。(學(xué)生研究，教師巡視)

師：誰先來匯報一下研究成果?(學(xué)生匯報，教師把匯報的數(shù)據(jù)集中展示出來)

(評析：讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法研究數(shù)學(xué)問題。把研究成果匯總在一起，為下一步學(xué)生的發(fā)現(xiàn)提供充分的信息。)

(2)開放植樹，感悟規(guī)律

師：除了路長是20米，還可以是幾米，怎么種?

師：下面請同學(xué)們用自己喜歡的方式去植樹，路的全長與間隔距離由你們自己決定，不過每組只能確定一種方案去植樹。(學(xué)生操作，教師巡視，有意識指導(dǎo)學(xué)生擴(kuò)大全長及間距)

師：誰來匯報一下植樹成果?(學(xué)生匯報，教師把成果繼續(xù)匯總到統(tǒng)計表上)

(評析：開放路長和間隔距離，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)生的主動性；有意識地指導(dǎo)學(xué)生擴(kuò)大數(shù)據(jù)，使建模素材更有可信度，同時為解決開始的問題做準(zhǔn)備。)

(3)觀察反思，提煉規(guī)律

師：仔細(xì)觀察表格，你們發(fā)現(xiàn)了什么?(學(xué)生很容易得出：兩端都栽：棵數(shù)＝間隔數(shù)+1；間隔數(shù)＝棵數(shù)-1)(板書結(jié)論)

師：這個“1”表示什么?(師結(jié)合線段圖用紅粉筆一棵樹一個間隔的演示)

生：“1”既可表示開頭的這棵樹，也可以表示末尾的那棵樹。

(評析：讓學(xué)生真正理解植樹問題的兩個模型。)

3完成問題，明確算法

師：你們現(xiàn)在能解決前面這個問題了嗎?哪個答案是正喃的?

師：我們通過簡單的例子發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，應(yīng)用這個規(guī)律解央了一個復(fù)雜的問題。以后再遇到“南端要栽”求棵數(shù)，知道該怎么做了嗎?

(評析：既是呼應(yīng)開頭，又是對上述探究學(xué)習(xí)的一個小結(jié)。)

三、靈活應(yīng)用

師：同學(xué)們真會觀察和發(fā)現(xiàn)，很快找出了植樹問題中蘊(yùn)含的規(guī)律，真不錯。那么，植樹問題在生活中還會以怎樣的形式出現(xiàn)呢?我們一起來看看：

1同學(xué)們做早操，某行從第一人到最后一人的距離是24米，每兩人之間相距2米，這行有多少人?(學(xué)生解答后反饋)

2永安溪大橋全長480米，在橋的兩邊從頭到尾每隔60米有一盞路燈(兩端都有)，共有多少盞路燈?(學(xué)生練習(xí)后，抓住“兩邊”進(jìn)行反饋)

師：看來，應(yīng)用植樹問題的規(guī)律，不僅能解決植樹的問

題，生活中很多類似的現(xiàn)象也能用植樹問題的規(guī)律來解決。

(評析：讓學(xué)生感受到植樹問題在生活中的廣泛應(yīng)用，而掌握了模型，解決起來就非常簡單，使學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)知識的巨大作用。)

四、總結(jié)拓展

師：同學(xué)們，今天你有什么收獲?

師：請同學(xué)們在回家的路上數(shù)一數(shù)學(xué)校到家里共有幾棵樹(幾根電線桿、幾盞路燈)，幾個間隔?(把看到的信息寫在本子上)

(評析：布置這個任務(wù)的目的有兩個，第一是讓學(xué)生在實際生活中驗證課堂中建構(gòu)的模型，第二是為下節(jié)課的學(xué)習(xí)尋找素材。)

[總測]

一、建模內(nèi)容要簡要

課堂的時間是千常數(shù)，學(xué)生的學(xué)習(xí)精力是有限的。因此，選擇恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)內(nèi)容，特別是抓住課的本質(zhì)，精簡非本質(zhì)的內(nèi)容，就會使一節(jié)課顯得既充實又簡約，有骨也有肉。關(guān)于一條線段的植樹問題有三種情形：兩端都要栽；一端栽另一端不栽；兩端都不栽。有的教師喜歡把三種情形放在同一課內(nèi)進(jìn)行教學(xué)，以加強(qiáng)三種方法之間的比較，但在一節(jié)課內(nèi)學(xué)習(xí)這么多內(nèi)容，學(xué)生對植樹問題模型的理解肯定是膚淺的，也無法深刻感悟植樹問題在實際生活中的應(yīng)用。因此，應(yīng)老師對教材內(nèi)容進(jìn)行了一定的刪減，本課只教學(xué)第一種情形——兩端都栽，其變式訓(xùn)練求路長也沒有出現(xiàn)。這樣處理的目的是突出植樹問題基本模型的構(gòu)建，保證學(xué)生有充分的時間和空間體驗植樹問題模型的建構(gòu)過程。其實，在第一課時深刻地建立起植樹問題的模型，后續(xù)知識的教學(xué)就駕輕就熟了。

二、建模過程要充實

新課程對數(shù)學(xué)教學(xué)的一條重要要求，就是要讓學(xué)生全面地、充分地參與數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生過程：也就是教學(xué)要具有充實的知識建構(gòu)過程。那么，如何做到這一點呢?首先要把教材的重點、難點、關(guān)鍵之處深化、細(xì)化，像放大鏡一樣把它放大；其次是處理教材時要突出數(shù)學(xué)味，要適當(dāng)滲透一些數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思維，讓數(shù)學(xué)課更理性；最后是教學(xué)的推進(jìn)要具有明顯的層次性、遞進(jìn)性，要讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)知識的形成過程。為讓學(xué)生真正理解植樹問題的基本模型，應(yīng)老師把建模過程分成八個層次即，小步進(jìn)行，可以說達(dá)到了充分細(xì)化。其建模的主要進(jìn)程如下：創(chuàng)設(shè)原型，理解“間隔”與“間隔數(shù)”含義；解讀問題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息(兩端都栽；一邊；每隔5米)；教師模擬栽樹；學(xué)生第一次利用“泡沫”和“牙簽”模擬栽樹；學(xué)生利用畫線段圖的方式第二次模擬栽樹；學(xué)生第三次模擬栽樹(開放路長、間距及栽樹方法)：信息匯總，植樹問題基本模型水到渠成；結(jié)合線段圖解釋數(shù)學(xué)模型中“1”的含義。通過這樣八個步驟的層層推進(jìn)，學(xué)生對植樹問題基本模型的認(rèn)識就比較透徹了。更難能可貴的是，教師在滲透數(shù)學(xué)建模思想的同時也向?qū)W生滲透了化歸思想，教學(xué)時把教材中的路長從100米改成1000米，就是為實現(xiàn)化歸思想做準(zhǔn)備的。

(浙江省仙居縣三橋小學(xué)317300)