解析幾何中與斜率有關(guān)的綜合題

陳玉生

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考重點考查的知識點，其中與斜率有關(guān)的綜合問題是高考題中的“亮點”，倍受命題者青睞.它涉及知識多、方法靈活、綜合性強，能有效地考查學(xué)生的推理運算能力、理性思維能力.

1.斜率為定值的證明題

例1 如圖，曲線G的方程為y2=2x(y≥0)，以原點為圓心，以t(t>0)為半徑的圓分別與曲線G和y軸的正半軸相交于點A與點B，直線AB與x軸相交于點C.

(1)求點A的橫坐標(biāo)a與點C的橫坐標(biāo)c的關(guān)系式；

(2)設(shè)曲線G上點D的橫坐標(biāo)為a+2，求證：直線CD的斜率為定值.

分析：對于(1)只要直接求解即可，對于(2)需要通過(1)求得用a表示的點C的坐標(biāo).直接表示出直線CD的斜率，通過運算即可證明此斜率為定值.

解：(1)由題意知，A(a,2a)，因為|OA|=t,所以a2+2a=t2,又t>0,故t=a2+2a(1)，由點B(0，t),C(c,0)的坐標(biāo)知直線BC的方程為xc+yt=1.又因A在直線BC上，故有ac+2at=1，將(1)代入上式得ac+2aa(a+2)=1,∴c=a+2+2(a+2).

(2)因為D(a+2,2(a+2))，所以直線CD的斜率為k〤D=2(a+2)a+2-c=

2(a+2)a+2-(a+2+2(a+2))=2(a+2)-2(a+2)=-1(定值).

注：本題綜合考查運算能力、思維能力及綜合分析問題、解決問題的能力.

2.斜率存在的探索題

例2 平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(0,2)且斜率為k的直線l與橢圓x22+y2=1有兩個不同的交點P和Q.

(1)求k的取值范圍；

(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量㎡P+㎡Q哂氌〢B吖蠶?如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由.

分析：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，將曲線交點轉(zhuǎn)化為方程的解，利用韋達(dá)定理，設(shè)而不求，整體思維，整體代換，避繁就簡，是解決圓錐曲線問題的通性、通法.

解：(1)由已知得直線l的方程為y=kx+2，代入橢圓方程得x22+(kx+2)2=1，即12+k2x2+22kx+1=0①，則△=8k2-4?12+k2=4k2-2>0,解得k<-22或k>22，即k的范圍為-∞,-22∪22,+∞.

(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)，則㎡P+㎡Q=(x1+x2,y1+y2),由方程①，知x1+x2=-42k1+2k2,②，又y1+y2=k(x1+x2)+22,③，而A(2，0)，B(0，1)，〢B=(-2,1)，所以㎡P+㎡Q哂氌〢B吖蠶叩燃塾趚1+x2=-2(y1+y2)，將②③代入上式，解得k=22.由(1)知k<-22或k>22，故沒有符合題意的常數(shù)k.

3.分類討論斜率的研究題

例3 我們把由半橢圓x2a2+y2b2=1(x≥0)與半橢圓y2b2+x2c2=1(x≤0)合成的曲線稱作為“果圓”，其中a2=b2+c2,a>0,b>c>0，如圖，點F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2是相應(yīng)橢圓的焦點，A1，A2和B1，B2分別是“果圓”與x,y軸的交點.

(1)若△F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；

(2)當(dāng)|A1A2|>|B1B2|時，求ba的取值范圍；

(3)連接“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦.試研究：是否存在實數(shù)k，使斜率為k的“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上?若存在，求出所有可能的k值；若不存在，說明理由.

解：(1)∵F0(c,0),F1(0,-b2-c2),

F2(0，b+2-c+2),∴|F0F2|=(b2-c2)+c2=b=1,|F1F2|=2b2-c2=1,于是c2=34,a2=b2+c2=74，所求“果圓”方程為47x2+y2=1(x≥0)，y2+43x2=1(x≤0).

(2)由題意，得a+c>2b，即a2-b2>2b-a,∵(2b)2>b2+c2=a2,∴a2-b2>(2b-a)2,得ba<45,又b2>c2=a2-b2,∴b2a2>12,∴ba∈(22,45).

(3)設(shè)“果圓”方程為x2a2+y2b2=1(x≥0)，y2b2+x2c2=1(x≤0)，記平行弦的斜率為k，當(dāng)k=0時，直線y=t(-b≤t≤b)與半橢圓x2a2+y2b2=1(x≥0)的交點是P(a1-t2b2,t)，與半橢圓y2b2+x2c2=1(x≤0)的交點是Q(-c?1-t2b2,t).

∴P，Q的中點M(x,y)滿足x=a-c2?1-t2b2,

y=t,得x2(a-c2)2+y2b2=1.∵a<2b,∴(a-c2)2-b+2=a-c-2b2?a-c+2b2 ≠0.綜上所述，當(dāng)k=0時，“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上.

當(dāng)k>0時，以k為斜率過B1的直線l與半橢圓x2a2+y2b2=1(x≥0)的交點是(2ka2bk2a2+b2,k2a2b-b3k2a2+b2).由此，在直線l右側(cè)，以k為斜率的平行弦的中點軌跡在直線y=-b2ka2x上，即不在某一橢圓上.

當(dāng)k<0時，可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上.

4.斜率范圍(最值)的綜合題

例4 設(shè)F1、F2分別是橢圓x24+y2=1的左、右焦點.

(1)若P是該橢圓上的一個動點，求㏄F1?㏄F2叩淖畬籩島妥钚≈擔(dān)

(2)設(shè)過定點M(0，2)的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點)，求直線l的斜率k的取值范圍.

分析：本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題及推理計算能力.解題中要求學(xué)生能夠數(shù)形結(jié)合、靈活轉(zhuǎn)化.利用判別式、基本不等式、函數(shù)方法產(chǎn)生不等式關(guān)系，從而求得相關(guān)參數(shù)的范圍，是常用的求范圍(最值)方法，要求在

平時學(xué)習(xí)中練好這一基本功.

解：(1)易知a=2,b=1,c=3，所以F1(-3,0),F2(3,0)，設(shè)P(x,y)，則㏄F1?㏄F2=(-3-x,-y),(3-x,-y)=x2+y2-3=x2+1-x24-3=14(3x2-8)，因為x∈［-2，2］，故當(dāng)x=0，即P為橢圓短軸端點時，┆㏄F1?㏄F2擢有最小 值-2；當(dāng)x=±2，即點P為橢圓長軸端點時，㏄F1?㏄F2哂兇畬籩1.

(2)顯然直線x=0不滿足條件，可設(shè)直線l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y=kx+2,

x24+y2=1得(k2+14)x2+4kx+3=0,∴x1+x2=-4kk2+14,x1?x2=3k2+14,由△=(4k)2-4(k+14)×3=4k2-3>0得k<32或k>-32.又0°<∠AOB<90°詎玞os∠AOB>0詎㎡A?㎡B>0,∴㎡A?㎡B=x1x2+y1y2>0.又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k?(x1+x2)+4=3k2k2+14+-8k2k2+14=-k2+1k2+14,=∵3k2+14+-k2+1k2+14>0,即k2<4,∴-2

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”