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    一道高考題的解法、推廣及其引伸

    2008-12-09 03:32:30楊木英
    中學數(shù)學研究 2008年9期
    關鍵詞:花種種顏色涂色

    楊木英

    題1 (2008年高考全國卷Ⅰ(理)第12題)如圖1,一環(huán)形花壇分成A、B、C、D四塊,現(xiàn)有4種不同的花供選種,要求在每塊里種1=種花,且相鄰的2塊種不同的花,則不同的種法總數(shù)為().

    A.96B.84

    C.60D.48

    這是一道選擇題的壓軸題,主要考查運用排列、組合的知識解決實際問題的能力,下面先給出本題的三種解法.

    解法1:(玦)A與C兩塊種同種花有4×3×3=36種;(玦i)A與C兩塊種不同種的花有4×3×2×2=48種.所以符合條件的不同種法共有36+48=84種,故選B.

    解法2:由題意,符合條件的種法至少要種兩種不同的花,所以(玦)A、B、C、D四塊用2種不同的花種有C24A22=12種;(玦i)A、C、B、D四塊用3種不同的花種有C34C23A22A22=48種;(玦ii)A、C、B、D四塊用4種不同的花種有A44=24種.因此,符合條件的不同種法總數(shù)為12+48+24=84種,故選B.

    解法3:首先對A塊有4種不同的花種法,對B、C、D三塊各有3種不同的花種法,由分步計數(shù)原理,這四種不同的花種到環(huán)形花壇的A、B、C、D四塊共有4×3×3×3=108種種法,但A與D兩塊可能種上同種的花,這種情形有4×3×2=24種,所以,符合條件的不同種法總數(shù)為108-24=84種,故選B.

    根據(jù)解法3的思路,上述問題容易推廣到一般情形:

    如圖2,一環(huán)形花壇分成A1、A2、…、A璶的n(n≥2)塊,現(xiàn)有m(m≥2)種不同的花供選種,要求在每塊里種1種花,且相鄰的2塊種不同的花,不同的種法共有多少種?

    解:記m種不同的花種到環(huán)形花壇分成A1、A2、…、A璶的n塊中符合條件的種法共有a璶種,因為A1塊有m種不同的花種法,A2塊有m-1種不同的花種法,A3塊有m-1種不同的花種法,…,A璶塊有m-1種不同的花種法,由分步計數(shù)原理,這個環(huán)形花壇分成A1、A2、…、A璶的n塊有m(m-1)﹏-1種不同的種法,但A1與A璶可能種同種的花,這種情形相當A1與A璶捆綁去掉一塊即有a﹏-1種,于是a璶與a﹏-1滿足遞推關系式:

    a2=m(m-1),a璶=m(m-1)﹏-1-a﹏-1(n≥3).∴a璶-(m-1)琻=-a﹏-1-(m-1)﹏-1,∴數(shù)列{a璶-(m-1)琻}是首項為a2-(m-1)2=m-1,公比為-1的等比數(shù)列.a璶-(m-1)琻=(m-1)?(-1)﹏-2,所以a璶=(m-1)[(-1)﹏-2+(m-1)﹏-1](n≥2).

    因此符合條件的不同的種法總數(shù)為(m-1)[(-1)﹏-2+(m-1)﹏-1].特別地,當m=4,n=4時得題1的答案為84.

    把上面種花問題理解為用m種顏色給n個區(qū)域涂色問題.則有下面的一般結論:

    推廣 如圖2,圓環(huán)分成A1,A2,…,A璶的n(n≥2)個小扇環(huán)區(qū)域,現(xiàn)用m(m≥2)種不同顏色給圓環(huán)中的n個小扇環(huán)區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域涂不同顏色,則不同的涂色方法種數(shù)為(m-1)[(-1)﹏-2+(m-1)﹏-1].

    一般地,用m(m≥2)種顏色給如圖3,圖4,圖5的各個區(qū)域涂色或給圖6多邊形的頂點涂色,每個區(qū)域或頂點只涂一種顏色,相鄰區(qū)域或相鄰頂點顏色不同的涂色問題,都可以看作圖2中的圓環(huán)涂色問題,利用推廣結論求解.

    下面運用推廣結論容易求得兩道2003年的高考題.

    題2 (2003年全國高考題)如圖7,一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域,現(xiàn)給地圖著色,要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色,現(xiàn)有四種顏色可供選擇,則不同的著色方法共有 種.

    題3 (2003年天津高考題)如圖8,某城市在中心廣場建造一個花圃,花圃分成6個部分,現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花,每部分種一種,且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花,不同的栽種方法有 種.

    解析:圖7可以看作為圖9中區(qū)域1為中心的扇環(huán)區(qū)域2、3、4、5.因為先涂區(qū)域1有4種涂法,又區(qū)域1和其余的四個扇環(huán)區(qū)域相鄰,依題意則涂區(qū)域1的顏色不能用來涂其余的四個區(qū)域.根據(jù)推廣結論,用3種顏色涂四個小扇環(huán)區(qū)域有2(-1)4+23=18種,由分步計數(shù)原理,不同的著色方法共有4×18=72種,故題2應填72.

    同樣,圖8可以看作為圖10,同理可得題3的不同栽種方法有4×2(-1)5+24=120種,故題3應填120.因此可得

    引伸1 如果關于區(qū)域A0為中心的圓環(huán)分成A1,A2,…,A璶的n(n≥1)個小扇環(huán)區(qū)域,現(xiàn)用m(m≥2)種不同顏色給圓環(huán)中的n+1個區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域涂不同顏色,則不同的涂色方法種數(shù)為m(m-2)?(-1)﹏-2+(m-2)﹏-1.

    證明:如圖11,第一步,先對區(qū)域A0涂色,有m種涂法,由于區(qū)域A0和其余A1,A2,…,A璶的n個小扇環(huán)區(qū)域都相鄰,所以,涂區(qū)域A0的顏色不能用來涂其余的n個區(qū)域.

    第二步,根據(jù)推廣結果,用m-1種顏色涂圓環(huán)的n個小扇環(huán)區(qū)域有(m-2)?(-1)﹏-2+(m-2)﹏-1種涂法,所以,由分步計數(shù)原理,不同的涂色方法種數(shù)共有m(m-2)(-1)﹏-2+(m-2)﹏-1.

    類似地,用不同顏色給n(n≥3)棱錐的每一個頂點涂色,使得同一條棱上的兩個端點顏色不同的涂色問題,同樣轉化為引伸1的結論求解.例如

    題4 將一個四棱錐的每一個頂點涂上一種顏色,并使同一條棱上的兩個端點顏色不同,如果只有5種顏色可供使用,不同的涂色方法總數(shù)有 種.

    解:如圖12,把頂點S、A、B、C、D分別看作圖11中的A0,A1,A2,A3,A4,則問題轉化為引伸1,顯然不同染色方法總數(shù)為5×3?[(-1)2+33]=420.故應填420.

    事實上,用m種顏色給圖2圓環(huán)的n個小扇環(huán)區(qū)域涂色的問題,也可以理解為m個人相互進行n次傳球后球仍回到首發(fā)球者手中的傳球問題.兩者的基本思想方法類似,不同的是傳球問題第一次發(fā)球者是固定.若第一次發(fā)球者不固定,則傳球問題就是上述推廣的涂色問題,于是根據(jù)推廣有

    引伸2 包含甲在內的m(m≥1)個人相互傳球,若第一次球首先從甲手中發(fā)球傳出,則經(jīng)過n次傳球后球仍傳回到甲手中的傳球方法種數(shù)為m-1m(-1)﹏-2+(m-1)﹏-1.

    證明:設經(jīng)過n次傳球,球回到甲手中的傳球方法有a璶種,因為第一次球從甲手中傳球給其他人有m-1種傳球方法,第二次由拿球者再傳給其他人也有m-1種,同理,第三次、第四次、…,第n-1次傳球都有m-1種方法,最后第n次傳球只能傳給甲,且只有一種傳球方法.由分步計數(shù)原理,共有(m-1)﹏-1種

    傳球方法.但要去掉第n-1次傳球時,拿球者恰好是甲的情形共有a﹏-1種傳球方法,所以a璶與a﹏-1滿足遞推關系:

    a1=0,a璶=(m-1)﹏-1-a﹏-1(n∈N且n≥2),由此可得

    a璶-(m-1)琻m=-a﹏-1-(m-1)﹏-1猰.

    ∴數(shù)列a璶-(m-1)琻m是公比為-1,首項為a1-m-1m=-m-1m的等比數(shù)列.因此a璶-(m-1)琻m=-m-1m(-1)﹏-1,

    故a璶=m-1m(m-1)﹏-1+(-1)﹏-2.

    題5 甲、乙、丙、丁四個人相互傳球,由甲開始發(fā)球,并記作第一次傳球,經(jīng)過4次傳球后,球仍然回到甲手中,則不同的傳球方法有 種.

    解:由引伸2,顯然不同的傳球方法有a4=34(33+1)=21,故填21.

    注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?!?/p>

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