基于數(shù)學(xué)文化的一則教學(xué)設(shè)計(jì)

徐初曉　周均華　徐玉蓉

數(shù)學(xué)可以塑造人的靈魂. 這里的數(shù)學(xué)不僅是數(shù)字、符號(hào)、公式，而是浸潤(rùn)其中的（數(shù)學(xué)）文化. 只有把抽象的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)，即冰冷的數(shù)學(xué)，轉(zhuǎn)化為生動(dòng)的、人文的、思考的數(shù)學(xué)，即火熱的數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)課堂才會(huì)變成陶冶人的爐膛. 《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》在基本理念中充分肯定了數(shù)學(xué)的社會(huì)文化價(jià)值，特別是在課程實(shí)施建議的教材編寫建議中強(qiáng)調(diào)了各學(xué)段都要注重?cái)?shù)學(xué)的文化價(jià)值，介紹有關(guān)的數(shù)學(xué)背景知識(shí)（數(shù)學(xué)家的故事、數(shù)學(xué)趣聞與數(shù)學(xué)史料）. 在數(shù)學(xué)新課程這一理念指導(dǎo)下，結(jié)合我們承擔(dān)的浙江省教育科學(xué)規(guī)劃2008年度研究課題“基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)模式研究”，筆者以八年級(jí)“中心對(duì)稱”這一重要內(nèi)容為載體，進(jìn)行了基于“數(shù)學(xué)文化”的教學(xué)設(shè)計(jì)探索，以下是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)錄與我們的思考.

1 教學(xué)實(shí)錄

1.1 創(chuàng)設(shè)情景，引入課題

師：剪紙是中國(guó)民間傳統(tǒng)藝術(shù)的一種，剪紙藝術(shù)距今已有兩千多年的歷史，經(jīng)過民間藝術(shù)家的不斷繼承與創(chuàng)新，已經(jīng)達(dá)到了相當(dāng)高的藝術(shù)水平. 在日常生活中我們也經(jīng)常看到一些精美的剪紙圖案（多媒體展示）（略）. （展示的這些剪紙圖案都是中心對(duì)稱圖形. 通過這些剪紙圖案的展示，不僅能讓學(xué)生感受到中國(guó)民間藝術(shù)的璀璨，而且讓學(xué)生感受到藝術(shù)存在于學(xué)生身邊，中心對(duì)稱圖形廣泛存在于我們的實(shí)際生活中. 同時(shí)也讓學(xué)生對(duì)中心對(duì)稱圖形有一個(gè)感性認(rèn)識(shí). ）

師：下面我們?cè)賮?lái)欣賞一些同學(xué)們自己的作品（略）.

師：在上節(jié)課中，我們已經(jīng)看到不少圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度后能與自身重合，那么這些圖形繞哪一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)多少度后能與自身重合？

生:繞著中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)72°或144°或216°或288°或90°或180°后能與自身重合.

（同時(shí)進(jìn)行多媒體演示，得出問題的結(jié)論，從而引出本節(jié)課的課題《中心對(duì)稱》. ）

師：很好！其中繞著中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合的圖形我們就叫做中心對(duì)稱圖形（a figure of central symmetry）. 這個(gè)中心點(diǎn)叫做對(duì)稱中心(centre of symmetry).

1.2 感受生活，識(shí)別圖形

師:請(qǐng)大家從旋轉(zhuǎn)角度上來(lái)說一說中心對(duì)稱圖形和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的聯(lián)系與區(qū)別.

ド:因?yàn)樾D(zhuǎn)對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度后能與自身重合，其中這個(gè)角度只要小于360°，所以中心對(duì)稱圖形一定是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，而旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形不一定是中心對(duì)稱圖形，如老師給出的圖中有些只是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，而有些既是中心對(duì)稱圖形，又是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形.

師:很好，這說明中心對(duì)稱圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的特殊情況，聰明的你還能不能在日常生活中找到一些中心對(duì)稱圖形呢？

生：……（舉例子）

師：現(xiàn)在播放一個(gè)Flash動(dòng)畫（蝴蝶飛呀），請(qǐng)大家欣賞，找出影片中哪些是中心對(duì)稱圖形. 看哪一組說得更多. （通過舉例子以及播放Flash影片，加深對(duì)中心對(duì)稱圖形的理解，給學(xué)生視覺上的享受，讓學(xué)生感覺到生活中處處都有中心對(duì)稱圖形，感受數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，在日常生活中數(shù)學(xué)無(wú)處不在. ）

師：這些是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷膱D案，大家能不能在我們已經(jīng)學(xué)過的幾何圖形中找一些中心對(duì)稱圖形呢？

生:有線段、長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、圓.

師:那么它們的對(duì)稱中心在哪里呢？

生:線段的對(duì)稱中心是它的中點(diǎn)；長(zhǎng)方形、正方形和平行四邊形的對(duì)稱中心都是對(duì)角線的交點(diǎn)；圓的對(duì)稱中心就是圓心.

師:很好！剛才大家所舉例的都是我們學(xué)過的一些基本圖形，下面讓我們來(lái)挑戰(zhàn)一些更復(fù)雜的圖形，判斷他們是否是中心對(duì)稱圖形？（同時(shí)進(jìn)行多媒體演示以幫助學(xué)生）（圖略）

1.3 合作交流，探索新知

師:如果一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后不是與自身重合，而是與另一個(gè)圖形重合（如圖1），那么我們稱這兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)稱為對(duì)稱中心，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)稱為關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn).

ね1圖2

師:下面我們一起來(lái)探索成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形有什么特征？如圖2，點(diǎn)A和點(diǎn)A′關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱圖形，那么你能從圖中發(fā)現(xiàn)什么嗎？

生:點(diǎn)A繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°到達(dá)點(diǎn)A′，因此點(diǎn)A、O、A′三點(diǎn)在同一條直線上，并且OA=OA′.

師:不錯(cuò)，我們也可以這么說：線段AA′經(jīng)過點(diǎn)O，并且點(diǎn)A和點(diǎn)A′到點(diǎn)O的距離相等或者說線段AA′被點(diǎn)O平分 . ナ:如果線段AB和線段A′B′關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱圖形，如圖3所示，那么你又能從圖中發(fā)現(xiàn)什么嗎？

ね3

生:根據(jù)前面的結(jié)論，同理可得：點(diǎn)A、O、A′三點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)B、O、B′三點(diǎn)在同一條直線上，并且OA=OA′，OB=OB′.

ナ:我們還可以進(jìn)一步往下探索，因?yàn)辄c(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱圖形就是它本身，所以可以得到△AOB和△A′OB′關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，那么大家還能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論嗎？

生:因?yàn)椤鰽OB繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后與△A′OB′重合，所以兩個(gè)三角形中所有的對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角都相等，其中有∠A=∠A′，那么我們可以得到AB∥A′B′的結(jié)論. 圖4

師:很好，在兩個(gè)成中心對(duì)稱的圖形中，對(duì)應(yīng)線段不僅相等（由旋轉(zhuǎn)的特征可得），而且互相平行. 有沒有特殊情況呢？

生:有，如圖4所示，對(duì)應(yīng)線段AB和A′B′正好在同一條直線上.

師:對(duì)，所以剛才的結(jié)論應(yīng)該怎么說才比較完整？

生:在兩個(gè)成中心對(duì)稱的圖形中，對(duì)應(yīng)線段相等，并且互相平行或在同一條直線上.

師:由于△AOB和△A′OB′也關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，我們可以得出:如果兩個(gè)三角形的三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于同一點(diǎn)成中心對(duì)稱，那么這兩個(gè)三角形關(guān)于這一點(diǎn)成中心對(duì)稱.

根據(jù)剛才所得結(jié)論，說一說由圖5能得到什么結(jié)論：ネ5

△ABC和△A′B′C′關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱.

生:(1)OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′；

(2)A、O、A′三點(diǎn)在同一條直線上；B、O、B′三點(diǎn)在同一條直線上；C、O、C′三點(diǎn)在同一條直線上；

(3)AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.

師:請(qǐng)大家歸納一下剛才所得的幾個(gè)結(jié)論.

生:(1)在成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，連結(jié)對(duì)稱點(diǎn)的線段都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分.

(2)在成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)線段相等，并且互相平行或在同一條直線上.

(3)如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連成的線段都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被該點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形一定關(guān)于這一點(diǎn)成中心對(duì)稱. ナ:結(jié)論中的(1)和(2)是成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形的特征，結(jié)論(3)是判別兩個(gè)圖形是否成中心對(duì)稱的方法. 另外還有一個(gè)很明顯的特征：成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形互相重合，由此我們可以得出，這兩個(gè)成中心對(duì)稱的圖形中對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等. （本環(huán)節(jié)的設(shè)置從中心對(duì)稱概念出發(fā)，到最后歸納出中心對(duì)稱的性質(zhì)，思路清晰. 整個(gè)設(shè)計(jì)過程讓學(xué)生從感性到理性，經(jīng)歷了概念的形成過程. 學(xué)生通過自己探索得到了知識(shí)，體會(huì)到了成功的喜悅. ）

1.4 指導(dǎo)應(yīng)用，深化理解

ネ6師：圖6是“本田”汽車標(biāo)志的一部分，已知它是關(guān)于點(diǎn)P的一個(gè)中心對(duì)稱圖形，你能運(yùn)用你所學(xué)的中心對(duì)稱的知識(shí)畫出它的另一部分嗎？（合作探討，協(xié)作完成. ）（此環(huán)節(jié)旨在加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的理解與鞏固；設(shè)計(jì)的問題注意了感性與理性認(rèn)識(shí)的結(jié)合，以便于學(xué)生更深地理解；注意向?qū)W生滲透類比學(xué)習(xí)的思想方法；注意了知識(shí)的應(yīng)用設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了知識(shí)來(lái)源于生活又反作用于生活的辯證關(guān)系；注意了學(xué)生合作、創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng). ）

1.5 歸納總結(jié)，反思提高

想一想：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？（自由發(fā)言）

說一說：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會(huì)了解決什么問題？（自由發(fā)言）

2 課后反思

“中心對(duì)稱”是義務(wù)教育階段第三學(xué)段中“圖形與變換”的一個(gè)內(nèi)容. 《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》并不要求從嚴(yán)格的幾何變換定義出發(fā)來(lái)研究變換的性質(zhì)，從而研究圖形的性質(zhì)，而只要求“通過實(shí)例認(rèn)識(shí)變換”，借助圖形的直觀探索旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，以及一些基本圖形的性質(zhì)，并能利用圖形變換設(shè)計(jì)、欣賞圖形. 本文基于數(shù)學(xué)文化對(duì)“中心對(duì)稱”做教學(xué)設(shè)計(jì)，以下一些方面值得反思.

(1)通過挖掘數(shù)學(xué)中的美，用中國(guó)傳統(tǒng)民間藝術(shù)“剪紙”作為情景進(jìn)行導(dǎo)入，特別是采用學(xué)生自己創(chuàng)作的剪紙圖案，讓學(xué)生體會(huì)、感受、欣賞數(shù)學(xué)美，讓學(xué)生受到數(shù)學(xué)文化的震撼. 以此引導(dǎo)并激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)、探索數(shù)學(xué)的美，最后達(dá)到創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的境界.

(2)中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形滲透了旋轉(zhuǎn)變換思想，但學(xué)生已經(jīng)習(xí)慣靜態(tài)圖形的學(xué)習(xí)，對(duì)運(yùn)動(dòng)變化不適應(yīng). 《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》指出：“動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式. ……數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程. ”通過圖形的動(dòng)態(tài)演示以及讓學(xué)生從“做中學(xué)”，讓學(xué)生掌握這種變換思想，使學(xué)生的思維更加活躍，處理問題更加靈活. 在教學(xué)設(shè)計(jì)“中心對(duì)稱性質(zhì)”的形成中，讓學(xué)生通過交流歸納，使他們感覺到自己在活動(dòng)中“研究”的成果，對(duì)最終形成規(guī)范、正確的結(jié)論有重要貢獻(xiàn)，從而激發(fā)他們更加注意數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式.

(3)數(shù)學(xué)來(lái)源與生活，又必須回歸于生活. 本教學(xué)設(shè)計(jì)采用的大部分都是與生活緊密相關(guān)的各種圖形標(biāo)志，讓學(xué)生感知學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以讓生活增添許多樂趣，同時(shí)也讓學(xué)生感知到數(shù)學(xué)就在我們身邊，學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)就應(yīng)當(dāng)是生活中的數(shù)學(xué)，是“自己身邊的數(shù)學(xué)”，并且進(jìn)一步感悟到把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的訓(xùn)練，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高了學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣, 進(jìn)一步拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野.

げ慰嘉南

ぃ1］ 中華人民共和國(guó)教育部.全日制義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實(shí)驗(yàn))［S］.北京師范大學(xué)出版社，2001.

ぃ2］ 張維忠.文化視野中的數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育［M］. 北京：人民教育出版社，2005.

ぃ3］ 鐘向軍，周均華.數(shù)學(xué)文化走進(jìn)課堂的一次嘗試［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2008,（2）.