真實(shí)有效的課堂源自充分的“問題診斷”

葉事一　林　威

在教學(xué)設(shè)計(jì)中“問題”診斷這個(gè)環(huán)節(jié)最重要，問題診斷主要表現(xiàn)在：設(shè)計(jì)者根據(jù)自己以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯關(guān)系以及思維發(fā)展理論，對(duì)本內(nèi)容在教與學(xué)中可能遇到的障礙進(jìn)行預(yù)測(cè)，并對(duì)出現(xiàn)障礙的原因進(jìn)行分析（不同的學(xué)生會(huì)出現(xiàn)不同的教學(xué)問題，這也是在分析過程中要加以注意的），并在上述分析的基礎(chǔ)上指出教學(xué)重、難點(diǎn)實(shí)踐證明問題診斷是否充分、到位直接關(guān)系到課堂教學(xué)的成功與否

1 “問題”診斷讓預(yù)設(shè)更充分

教學(xué)設(shè)計(jì)中一個(gè)不容忽視的問題是使預(yù)設(shè)性、選擇性、生成性取得和諧與平衡，使課程學(xué)習(xí)因預(yù)設(shè)而獲得高效益，因選擇性和生成性而充滿創(chuàng)造力是否對(duì)可能發(fā)生的情況進(jìn)行多種預(yù)測(cè)并設(shè)計(jì)備用方案，在教學(xué)過程中，當(dāng)數(shù)學(xué)思維與預(yù)設(shè)方案不同時(shí)，教師要因勢(shì)利導(dǎo)，而不是生硬地阻斷學(xué)生的思維這時(shí)可能是冒險(xiǎn)的：如果預(yù)設(shè)不充分，學(xué)生的回答不著邊際，老師的基本功不扎實(shí)或課堂的機(jī)智不夠，會(huì)造成課堂的混亂；也有可能使課堂出現(xiàn)“精彩不曾預(yù)約”的理想效果

1.1 概念的“解構(gòu)”是否到位？

當(dāng)前教學(xué)中出現(xiàn)的許多問題都與教師自己的數(shù)學(xué)理解不到位有很大關(guān)系，有些老師自己不能準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容，對(duì)于哪些是重點(diǎn)、核心心中無數(shù)，以致教學(xué)中出現(xiàn)“眉毛胡子一把抓”，數(shù)學(xué)核心概念和思想方法得不到應(yīng)有重視，而細(xì)枝末節(jié)的東西卻讓學(xué)生反復(fù)訓(xùn)練；也有的老師以自己所教班級(jí)學(xué)生好為借口，“深挖洞，廣拓展”，無限地?cái)U(kuò)張內(nèi)容、拔高要求殊不知這樣的教學(xué)不但不能達(dá)到使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)的效果，反而還會(huì)因?yàn)檫^分追究細(xì)枝末節(jié)而擾亂了學(xué)生的思路，陷于具體細(xì)節(jié)不能自拔，最終干擾了學(xué)生的數(shù)學(xué)理解

典型案例1：一位老師在教學(xué)“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”時(shí)，在雙曲線的定義上舍得花時(shí)間，從雙曲線的產(chǎn)生過程中細(xì)致地探究它所滿足的幾何條件；用圖形語言、日常語言、數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述定義等一節(jié)課中用三分之二的時(shí)間學(xué)習(xí)定義，由于定義認(rèn)識(shí)深刻、全面，再加上很好地利用了橢圓的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生在后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)中輕松自如， 取得了很好的教學(xué)效果

典型案例2：2007浙江省優(yōu)質(zhì)課評(píng)比**老師（省一等獎(jiǎng)，課題：《2.1.1合情推理》）從一個(gè)問卷調(diào)查（某課題組為了解本市的高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀態(tài),對(duì)四所學(xué)校做了一個(gè)問卷調(diào)查）再結(jié)合圖片、生活實(shí)例等詳細(xì)的將歸納推理的兩個(gè)特征很好地解構(gòu)到位，潤(rùn)物細(xì)無聲，知識(shí)化無痕，效果非常好

典型案例3：2007溫州市高一新課程培訓(xùn)會(huì)上一位老師執(zhí)教《等差數(shù)列》時(shí)，花了十幾分鐘時(shí)間在數(shù)列后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是一個(gè)定值上做許多無謂的糾纏，弄的學(xué)生一頭霧水，對(duì)概念的解構(gòu)很不到位，也體現(xiàn)了老師駕馭課堂的能力不強(qiáng)

典型案例4：2007浙江省優(yōu)質(zhì)課評(píng)比**老師

拋磚引玉x3+3x-1=0

（1）此方程是否有解？（2）能求出它的解嗎？

一元三次方程的求根公式：方程a3x3+a2x2+a1x+a0=0(a3≠0)

（2）能求出它的解嗎？

（2）能求其近似解嗎？

點(diǎn)評(píng) 首先一元三次方程的求根公式是不做要求的，其次張未華老師試圖讓學(xué)生知道用公式不可取，知難而退求近似解，從而引出我們重點(diǎn)要研究的方程近似解這個(gè)課題筆者認(rèn)為對(duì)概念的外延作深入的分析的“解構(gòu)”值得商榷（這樣會(huì)分散學(xué)生的注意力，不利于二分法思想的理解和掌握）

典型案例5：2007浙江省優(yōu)質(zhì)課評(píng)比**老師（省一等獎(jiǎng)，課題：《2.1.1合情推理》），他將合情推理的歸納推理和演繹推理在一個(gè)課時(shí)中都講解，筆者認(rèn)為這樣會(huì)使得學(xué)生對(duì)兩個(gè)概念理解不到位

結(jié)論：對(duì)概念的“解構(gòu)”和概念核心的確定、內(nèi)容所反映的思想方法的確定等，是影響教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)的“瓶頸”當(dāng)然，在此基礎(chǔ)上，選擇怎樣的載體（教學(xué)內(nèi)容）、通過怎樣的過程落實(shí)概念的核心和思想方法，也是需要深入思考的所以，在今后的研究中，首先要把概念的“解構(gòu)”和概念核心的確定、內(nèi)容所反映的思想方法的確定等作為重點(diǎn)；其次，在搞好教學(xué)設(shè)計(jì)和研究課的基礎(chǔ)上，針對(duì)核心概念和思想方法的教學(xué)，開展深入的反思活動(dòng)并提出改進(jìn)措施，不斷提高教學(xué)設(shè)計(jì)的能力，也是我們的重點(diǎn)

1.2 學(xué)生的行動(dòng)有否精細(xì)的設(shè)計(jì)？

認(rèn)知學(xué)習(xí)理論告訴我們，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程乃是新的學(xué)習(xí)內(nèi)容與原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用，形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程隨著課程改革的深入，數(shù)學(xué)教學(xué)越來越關(guān)注學(xué)生的獨(dú)立思考、自主探究，強(qiáng)調(diào)使學(xué)生經(jīng)歷完整的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生通過自己的觀察、試驗(yàn)、操作、推理、交流等獲得對(duì)數(shù)學(xué)的理解，并能用數(shù)學(xué)解決各種問題課堂中與同學(xué)的合作和交流受到了普遍的歡迎，一些公開課、示范課也必須要同學(xué)們?cè)诶蠋煹闹笇?dǎo)下“討論討論”事實(shí)上，課堂中的合作交流客觀上受到時(shí)間、課堂氛圍、小組成員間的興趣差異等因素的限制通過各種案例的分析，我們應(yīng)該對(duì)課堂中的合作交流采取更加審慎的態(tài)度，因此我們應(yīng)該對(duì)學(xué)生的課堂行動(dòng)有精細(xì)的設(shè)計(jì)：交流些什么？交流的點(diǎn)在哪里？哪些時(shí)間交給學(xué)生？等等

1.3 “問題”診斷要對(duì)可能遇到的障礙進(jìn)行充分的分析

“問題”診斷的重點(diǎn)是對(duì)本內(nèi)容在教與學(xué)中可能遇到的障礙進(jìn)行預(yù)測(cè)，并對(duì)出現(xiàn)障礙的原因進(jìn)行分析，這個(gè)工作只有越充分和到位才能使課堂教學(xué)越成功成功的案例有：

典型案例6：《用二分法求方程的近似解》可能遇到的障礙是：怎樣找到那個(gè)區(qū)間，算到什么時(shí)候結(jié)束，這個(gè)思想的本質(zhì)是什么等等

典型案例7：§2．2《離散型隨機(jī)變量》可能遇到的障礙是：（1）學(xué)生對(duì)于為什么要引入離散型隨機(jī)變量會(huì)產(chǎn)生困惑，其原因是學(xué)習(xí)者對(duì)新概念的陌生感和必要性的探究欲望是人的認(rèn)知規(guī)律決定的，而隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量又是中學(xué)階段少見的概率理論中一個(gè)實(shí)際應(yīng)用型概念（2）在探究隨機(jī)變量與隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果如何對(duì)應(yīng)？這種對(duì)應(yīng)的本質(zhì)是什么等問題時(shí)會(huì)出現(xiàn)障礙，原因在于一些隨機(jī)試驗(yàn)本身還不是純數(shù)學(xué)化的，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，而現(xiàn)階段的學(xué)生還不具備能很好地將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)成數(shù)，缺乏對(duì)映射本質(zhì)的理解（3）學(xué)習(xí)過程中如何恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量？定義好的隨機(jī)變量能刻畫所有的試驗(yàn)結(jié)果嗎？離散型隨機(jī)變量與非離散型隨機(jī)變量的不同在哪？都會(huì)是學(xué)生感到困難的地方，其原因仍然在隨機(jī)變量概念的抽象性和部分學(xué)生轉(zhuǎn)化能力的不足等方┟妾

2 “問題”診斷使重難點(diǎn)解析更到位

目前我們教學(xué)有這樣的通?。簺]有把教學(xué)重點(diǎn)放在概念的概括、辨析和如何用概念進(jìn)行判斷上，在細(xì)枝末節(jié)、操作程序上追究過多、用時(shí)太長(zhǎng)；普遍存在的問題是：概念、原理的概括過程中，例子太少，往往只對(duì)1~2個(gè)例子分析后就進(jìn)行概括，學(xué)生獨(dú)立分析、思考時(shí)間不夠，支撐抽象概念的具體事例不足，導(dǎo)致概念理解不到位

我們強(qiáng)調(diào)對(duì)教學(xué)“難點(diǎn)”的分析，既要說清難點(diǎn)所在，又要說清難點(diǎn)產(chǎn)生的原因，以及突破難點(diǎn)的預(yù)設(shè)方案，并且最好要有針對(duì)不同原因的多套方案

2.1 要有突破難點(diǎn)的好方法

典型案例8：2007浙江省優(yōu)質(zhì)課評(píng)比**老師（省一等獎(jiǎng)，《用二分法求方程的近似解》）：

探究:函數(shù)f(x)=玪n玿+2x-6的零點(diǎn)方程玪n玿+2x-6=0的根

(1)你能找出零點(diǎn)落在下列哪個(gè)區(qū)間嗎？

A（1，2） B（2，3） C（3，4） D（4，5）

(2)你能繼續(xù)縮小零點(diǎn)所在的區(qū)間嗎？

點(diǎn)評(píng)：從特殊到一般，逐步縮小范圍，引發(fā)學(xué)生探究的欲望

2.2 對(duì)教材的合理思考

新教材是許多專家用幾年的時(shí)間精心創(chuàng)作出來的，我們要充分尊重和理解教材，不可隨意的拔高和拓展 典型案例9：2007浙江省優(yōu)質(zhì)課評(píng)比**老師（省二等獎(jiǎng)，課題：《2.1.1合情推理》）

例2 如圖，已知點(diǎn)O在線段A1B上，|BO|=12|A1O|=1，C1為線段A1B外一點(diǎn)，且A1C1⊥A1B,過O作直線l⊥A1O,

連接BC1交l于D1，過D1作D1C2∥A1O交OC1于C2，過C2作C2A2⊥A1O于A2，

連接BC2交l于D2，過D2作D2C3∥A1O交OC1于C3，過C3作C3A3⊥A1O于A3，

一直繼續(xù)下去，可以得到一系列的點(diǎn)A璶設(shè)﹟OA璶|=a璶,則a璶=

作者的意圖是想和例1前后呼應(yīng)，用幾何方法解釋代數(shù)式，可謂用心良苦，是下了一番工夫的可是在此處卻成了敗筆：題目表述長(zhǎng)，學(xué)生理解有點(diǎn)難度

（作者的例1.已知數(shù)列{a璶} 第一項(xiàng)a1=2，且a﹏+1=a璶1+a璶（n=1 , 2 , …),試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.）

課堂實(shí)際情況：由于最后只剩下8分鐘，講解太匆忙了，學(xué)生的反應(yīng)沒有預(yù)想的好，雙方的交流不到位，可見課前問題的診斷不到位

典型案例10：2007浙江省優(yōu)質(zhì)課評(píng)比**老師（省一等獎(jiǎng)，課題：《2.1.1合情推理》）：

例2

根據(jù)上圖點(diǎn)的排列規(guī)則，猜想第 (5) 個(gè)圖形由多少個(gè)點(diǎn)組成，是怎樣排列的？第 n 個(gè)圖形中共有多少個(gè)點(diǎn)？

如圖所示的一系列正方形將點(diǎn)陣分割成奇數(shù)序列，其模式如下：

由上述具體事實(shí)能得出怎樣的結(jié)論？

如右上圖所示的一系列正方形將點(diǎn)陣分割，從內(nèi)向外擴(kuò)展，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論嗎？

點(diǎn)評(píng) 同樣是對(duì)教材的拓展，該老師的設(shè)計(jì)降低了難度，提高了題目的新穎性，大大激發(fā)學(xué)生解題的欲望，且符合歸納推理的思想本質(zhì)，是本節(jié)課的亮點(diǎn)

3 “問題”診斷讓新課程的理念演繹得更精彩、課堂更有效

新課程理念已深入人心，絕大多數(shù)教師能以學(xué)生發(fā)展為本，努力改進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式方法，并能結(jié)合內(nèi)容進(jìn)行選擇，使教學(xué)方法具有針對(duì)性和靈活性，注意啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生，綜合應(yīng)用類比推理、歸納推理和演繹推理等發(fā)現(xiàn)和猜想一些數(shù)學(xué)結(jié)論，同時(shí)又重視基礎(chǔ)知識(shí)的落實(shí)，在提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力、創(chuàng)新意識(shí)和理性精神等方面狠下功夫

3.1 創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境的診斷

怎樣的情境才是教學(xué)情境？目前強(qiáng)調(diào)“生活情境”，人為制造情境，特別是與當(dāng)前學(xué)習(xí)任務(wù)沒有太大關(guān)系的情境較多我們提倡基于情境的學(xué)習(xí)，認(rèn)為在實(shí)際背景中學(xué)習(xí)有利于了解知識(shí)的來龍去脈，有利于知識(shí)的遷移而為了真正達(dá)到這樣的目的，教師選擇的情境必須能引起學(xué)生的興趣，必須能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，必須能使學(xué)生參與復(fù)雜的、現(xiàn)實(shí)的、以問題為中心的活動(dòng)，必須支持學(xué)生獲得他們想要的知識(shí)，有利于學(xué)生發(fā)展深層次的思維活動(dòng)另外切不可唯情境至上，不是所有的概念都必須通過真實(shí)的背景來學(xué)習(xí)，應(yīng)該保留傳統(tǒng)當(dāng)中很多合理的成分

典型案例11：2006全國(guó)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評(píng)比中**老師在講授《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》用“神舟五號(hào)”的太空飛行圖，而且問學(xué)生“飛行路線是什么？”

點(diǎn)評(píng)：這個(gè)情境不好，問題也不好回答，“飛行軌跡是橢圓”是教師自己加上去的如果學(xué)生反問“為什么軌跡是橢 圓？”教師該如何回答？還是要用與當(dāng)前學(xué)習(xí)任務(wù)相關(guān)的、反映當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容本質(zhì)的情境，這里要用有橢圓軌跡的幾何要素的問題較┖錨

典型案例12：2007溫州市高中數(shù)學(xué)新課程“樣本校”活動(dòng)中的一堂高中數(shù)學(xué)新課程“樣本課”——《§1.5函數(shù)y=A玸in(ωx+)的圖象（2）》在教學(xué)設(shè)計(jì)的過程中進(jìn)行了三次教學(xué)設(shè)計(jì)

第一次：以物理的實(shí)際背景引入，強(qiáng)調(diào)物理意義

問題情境：彈簧掛著小球作上下振動(dòng)（即簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)），它在第x秒時(shí)，相對(duì)于平衡位置（原點(diǎn)O）的位移y（玞m)由下面函數(shù)關(guān)系式確定：y=A玸in(ωx+),(A>0,ω>0),x∈［0,+∞)如果小球振動(dòng)時(shí)，位移y隨時(shí)間x滿足：y=玸in(2x+π3）,x∈［0,+∞)（1）指出A，ω及跡徊⑺得魎們的物理意義；（2）該函數(shù)圖象可由y=玸in玿圖象怎樣變化而來？

第二次：在物理背景下創(chuàng)設(shè)圖象關(guān)系的問題情境

問題情境：彈簧掛著小球作上下振動(dòng)（即簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)），它在第x秒時(shí)，相對(duì)于平衡位置（原點(diǎn)O）的位移y（玞m)由下面函數(shù)關(guān)系式確定：y=A玸in(ωx+),(A>0,ω>0),x∈［0,+∞)它的圖象與y=玸in玿的圖象有何關(guān)系？又如何從已知圖象求它的解析式呢？

第三次：復(fù)舊引新，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”提出問題

問題提出：昨天我們共同學(xué)習(xí)了A、ω、級(jí)院數(shù)y=A玸in(ωx+)(A>0,ω>0)圖象的影響今天，讓我們繼續(xù)用數(shù)學(xué)的熱情進(jìn)一步演繹昨天的故┦陋

師：函數(shù)y=玸in(2x+π3)的圖象可由y=玸in玿的圖象怎樣變化而來？

課堂實(shí)際情況：第三個(gè)方案得到與會(huì)老師的一致肯定，而其他老師創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情景反而有去數(shù)學(xué)化的危險(xiǎn)

典型案例13：2007浙江省數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課**老師（省一等獎(jiǎng)）設(shè)計(jì)“游戲互動(dòng)”的環(huán)節(jié)，通過猜年代、猜元素、猜名字、猜顏色、猜圖案等生活中生動(dòng)的實(shí)例緊扣本節(jié)課的主題——合情推理

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾提出了水平數(shù)學(xué)化（將日常真實(shí)情境數(shù)學(xué)化）和垂直數(shù)學(xué)化（將數(shù)學(xué)內(nèi)容在形式化數(shù)學(xué)范疇中數(shù)學(xué)化）思想，認(rèn)為數(shù)學(xué)應(yīng)該被看待為人類的一種活動(dòng)因此，數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)應(yīng)該是讓學(xué)生經(jīng)歷問題情境的整個(gè)數(shù)學(xué)化過程，學(xué)生體驗(yàn)到的情境也必須是具有真實(shí)感覺的，由始至終學(xué)生所經(jīng)驗(yàn)到的皆是真實(shí)性學(xué)習(xí)相信經(jīng)過有意識(shí)地將課堂教學(xué)生活化，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，必將使得數(shù)學(xué)的教與學(xué)成為一種有生命的動(dòng)感交┝鳘

3.2 強(qiáng)化有效提問的診斷

構(gòu)建恰時(shí)恰點(diǎn)的問題（系列）是有效教學(xué)的基本線索，“問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”應(yīng)當(dāng)成為教學(xué)的一條基本原則，有了恰時(shí)恰點(diǎn)適度的問題，學(xué)生有效的獨(dú)立思考、 自主探究、合作交流才能有平臺(tái)這就要深入研究如何提問的問題問題要反映當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)——有意義；提問的關(guān)鍵是要把握好“度”，使學(xué)生處于“跳一跳摘果子”的狀態(tài)，問題要達(dá)到“道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開而弗達(dá)”的境界具體的，可以從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的關(guān)節(jié)點(diǎn)上、數(shù)學(xué)思想方法的概括點(diǎn)上、學(xué)生數(shù)學(xué)思維的癥結(jié)點(diǎn)上等提出問題

采用“教學(xué)設(shè)計(jì)——教學(xué)實(shí)踐——教學(xué)反思——改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)——再教學(xué)實(shí)踐”的實(shí)踐活動(dòng)，特別要重視問題診斷的重要性，真正有效地提高課堂教學(xué)的有效性

參考文獻(xiàn)

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