進一步認識函數(shù)

田載今

為了幫助同學(xué)們進一步認識函數(shù)，下面在教科書的基礎(chǔ)上再補充介紹一些知識，供學(xué)有余力的同學(xué)參考.

1. 一元函數(shù)

現(xiàn)實生活中處處可見變量.例如，某地的電話費為每分鐘0.1元，那么打5分鐘電話要用0.5元，打8分鐘電話要用0.8

元，打10分鐘電話要用1元……隨著通話時間的變化，電話費也在變化.這里“通話時間”與“電話費”是兩個不同的變量，它們之間存在對應(yīng)關(guān)系.

初中數(shù)學(xué)教科書中，對于函數(shù)有如下的定義：

在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么x叫做自變量，y叫做x的函數(shù).

上面例子中的“通話時間”就是一個自變量，“電話費”是“通話時間”的函數(shù).如果問題中只涉及兩個變量，其中一個變量是自變量，另一個變量是函數(shù)，則這樣的函數(shù)叫做一元函數(shù).這里的“元”是指自變量.一元函數(shù)是指有一個自變量的函數(shù)，它是反映兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)概念.目前，中學(xué)數(shù)學(xué)中討論的函數(shù)都屬于一元函數(shù).

2. 多元函數(shù)

有些問題中涉及三個或更多的變量間的對應(yīng)關(guān)系.例如，隨著長方形的長a和寬b取值的變化，長方形的面積S會發(fā)生變化.當a=2，b=1.5時，S=3；當a=5，b=3時，S=15……這里的a、b是兩個自變量，S是a、b的函數(shù)，這是一個二元函數(shù).類似地，隨著長方體的長a、寬b、高c取值的變化，長方體的體積V會發(fā)生變化.當a=3，b=2，c=1時，V=6；當a=5，b=3，c=2時，V=30……這里的a、b、c是三個自變量，V是a、b、c的函數(shù)，這是一個三元函數(shù).二元及二元以上的函數(shù)叫做多元函數(shù).多元函數(shù)是反映一個變量與一組變量（兩個或更多的變量組成的自變量組）之間的對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)概念.在微積分（一個在高中會初步接觸，在大學(xué)將深入研究的數(shù)學(xué)分支）教程中，在討論一元函數(shù)的基礎(chǔ)上，對多元函數(shù)會有進一步的討論.

學(xué)習函數(shù)的概念時，不要因為函數(shù)一詞中有“數(shù)”這個字，就以為函數(shù)也像整數(shù)、分數(shù)、有理數(shù)等是某類數(shù)的名稱.其實，函數(shù)指的是一個變化過程中的某個變量，它相對于另一個變量（自變量）有唯一確定的對應(yīng)關(guān)系.表示一個函數(shù)，實際上就是要反映這種對應(yīng)關(guān)系.

函數(shù)通常有三種表示方法，即列表法、圖象法和解析式法.

三種函數(shù)表示法，分別以不同形式表示變量間的對應(yīng)關(guān)系.能用列表法或圖象法表示的函數(shù)，未必能列出其解析式.解析式法以式子形式反映了變量之間的對應(yīng)關(guān)系，是數(shù)學(xué)中表示函數(shù)的主要方法.一般地，對于用解析式法表示的函數(shù)，通過取特殊值、列表，用描點法可以繪出函數(shù)圖象.然而，也存在可以用解析式表示但不能繪出具體圖象的函數(shù)，例如y=2x（x是有理數(shù)），x+1（x是無理數(shù)）.由于數(shù)軸上的有理數(shù)點與無理數(shù)點都是處處存在而又處處不連續(xù)的，所以我們只能想象出這個函數(shù)的圖象是由無數(shù)個間斷點沿兩條直線的位置排列而成的，但不能繪出具體圖象.

1. 多項式函數(shù)

我們學(xué)習過多項式的概念.只含有一個字母的多項式，如3a+5，2b２+3b-6，c4+2c3-3c２-2c+1等，叫做一元多項式.如果用x表示字母，則一元n次多項式的一般形式為a0xn+a1xn-1+…+an，其中a0，a1，…，an是常數(shù)，并且a0≠0.形式為y=a0xn+a1xn-1+…+an的函數(shù)叫做n次多項式函數(shù)（簡稱n次函數(shù)），其中字母x表示自變量，a0，a1，…，an是常數(shù)，并且a0≠0.例如，y=6x3+3x2-2x+1，y=3x2+2x-5分別是三次函數(shù)和二次函數(shù).多項式函數(shù)是最基本的一類代數(shù)函數(shù)，其自變量的取值范圍為全體實數(shù).

2. 一次函數(shù)

一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線（可以稱它為直線y=kx+b），而其他多項式函數(shù)的圖象都是曲線（如二次函數(shù)的圖象是拋物線），因此一次函數(shù)也叫做（直）線性函數(shù).

一次函數(shù)y=kx+b中，當x=0時，y=b.由此可知，直線y=kx+b與y軸交于點（0，b），于是常數(shù)b叫做直線y=kx+b在y軸的截距.

以函數(shù)y=x+1，y=-x+1，y=2x+1，y=-2x+1的圖象為例（圖1），可以發(fā)現(xiàn)：｜k｜值越大，直線越“陡”.常數(shù)k的值決定了直線y=kx+b的傾斜程度，于是k叫做直線y=kx+b的斜率.

斜率和截距能表示y=kx+b中兩個常數(shù)的幾何意義，y=kx+b也叫做直線的斜截式.它在高中要學(xué)習的解析幾何中常常用到.

比較等式y(tǒng)= x-2和4x-3y=6，可以發(fā)現(xiàn)，雖然兩式的表達形式不同，但是對于表示x與y的關(guān)系，它們具有相同的意義.從其中任一式子，可以推出另一式子.

像y= x-2這樣的等式，一邊是單獨一個字母y，另一邊是關(guān)于字母x的解析式，可以明顯地表示y是x的函數(shù)，所以這種式子叫做顯函數(shù)的表達式.像4x-3y=6這樣的等式，雖然不是顯函數(shù)形式，但是隱含了兩個變量之間的某種函數(shù)關(guān)系，所以這種式子叫做隱函數(shù)的表達式.有些表面上看不出與函數(shù)有關(guān)的問題，其實包含了隱函數(shù)關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為與函數(shù)相關(guān)的問題來解決.例如，解二元一次方程組4x-3y=6，2x+y=3，如果能看出兩個方程是隱函數(shù)，它們分別對應(yīng)一次函數(shù)y= x-2與y=-2x+3，就能夠想到，解這個二元一次方程組，可以轉(zhuǎn)化為畫出兩個函數(shù)的圖象，看看它們的交點在哪里.交點的坐標同時滿足兩個函數(shù)關(guān)系，因而是兩個方程的公共解.于是，有圖2所示的圖象解法，得方程組的解為x=1.5， y=0.

同學(xué)們，讀過以上內(nèi)容后，你對函數(shù)有沒有新的認識？

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文