圖解方案設(shè)計(jì)型問題

張德柱

方案設(shè)計(jì)型問題一直是近幾年中考的熱點(diǎn)，它考查學(xué)生能否從不同的角度分析問題和解決問題，能否解釋結(jié)果的合理性.為使同學(xué)們掌握方案設(shè)計(jì)型問題的解題技巧，特舉例解析如下.

例1（2008年·重慶）為支持四川抗震救災(zāi)，重慶市A、B、C三地分別籌集了賑災(zāi)物資100噸、100噸、80噸，需要全部運(yùn)往四川重災(zāi)地區(qū)的D、E兩縣.根據(jù)災(zāi)區(qū)的情況，這批賑災(zāi)物資中運(yùn)往D縣的要比運(yùn)往E縣的2倍少20噸.

（1）求這批賑災(zāi)物資中運(yùn)往D、E兩縣的各是多少噸.

（2）若要求C地運(yùn)往D縣的賑災(zāi)物資為60噸，A地運(yùn)往D縣的賑災(zāi)物資為x噸（x為整數(shù)），B地運(yùn)往D縣的賑災(zāi)物資的噸數(shù)小于A地運(yùn)往D縣的賑災(zāi)物資的噸數(shù)的2倍.其余的賑災(zāi)物資全部運(yùn)往E縣，且B地運(yùn)往E縣的賑災(zāi)物資不超過25噸.那么，A、B兩地的賑災(zāi)物資運(yùn)往D、E兩縣的方案有幾種？請(qǐng)你寫出具體的運(yùn)送方案.

（3）已知A、B、C三地的賑災(zāi)物資運(yùn)往D、E兩縣的費(fèi)用如下表.

為了及時(shí)將這批賑災(zāi)物資運(yùn)往D、E兩縣，某公司主動(dòng)承擔(dān)運(yùn)送這批賑災(zāi)物資的任務(wù).在（2）問的要求下，該公司運(yùn)送這批賑災(zāi)物資的總費(fèi)用最多是多少？

分析：（1）問可根據(jù)題意列方程組，較易解決.（2）問根據(jù)題目中給出的賑災(zāi)物資運(yùn)往各地的質(zhì)量可考慮列出關(guān)于x的不等式組，求出A、B兩地的賑災(zāi)物資運(yùn)往D、E兩縣的方案.（3）問可從求總費(fèi)用與x的函數(shù)關(guān)系式入手，依據(jù)自變量x的取值范圍求出函數(shù)最大值，關(guān)鍵是正確建立函數(shù)關(guān)系式.

解：（1）設(shè)這批賑災(zāi)物資運(yùn)往D縣的為a噸，運(yùn)往E縣的為b噸，由題意得a+b=280，a=2b-20，解得a=180，b=100.此即為所求.

（2）由題意及（1）的結(jié)果，可作出圖1所示的示意圖，并可得到不等式組120-x<2x，100-（120-x）≤25，解得40

因x為整數(shù)，故x可取值41、42、43、44、45，則這批賑災(zāi)物資的運(yùn)送方案相應(yīng)地有5個(gè).下面列舉2個(gè).

方案一：A地的賑災(zāi)物資運(yùn)往D縣41噸，運(yùn)往E縣59噸；B地的賑災(zāi)物資運(yùn)往D縣79噸，運(yùn)往E縣21噸.

方案二：A地的賑災(zāi)物資運(yùn)往D縣42噸，運(yùn)往E縣58噸；B地的賑災(zāi)物資運(yùn)往D縣78噸，運(yùn)往E縣22噸.

（3）設(shè)運(yùn)送這批賑災(zāi)物資的總費(fèi)用為w元，則由題意得w=220x+250（100-x）+200（120-x）+220（x-20）+200×60+210×20=-10x+60 800.

因?yàn)閣隨x的增大而減小，且40

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)類的應(yīng)用題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確地寫出表達(dá)各種量的代數(shù)式，正確建立函數(shù)模型，并求出自變量的取值范圍.解題的目標(biāo)最終轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值.另外，利用不等式設(shè)計(jì)方案時(shí)，要注意問題的實(shí)際意義 .如本題中要注意“x為整數(shù)”這個(gè)條件，這樣才能確定具體的方案.找到函數(shù)解析式中自變量的取值范圍，往往是解決這類問題的關(guān)鍵所在.不易理清思路時(shí)，可畫出示意圖幫助弄清關(guān)系.

例2某農(nóng)機(jī)租賃公司共有50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)，其中甲型20臺(tái)，乙型30臺(tái).現(xiàn)將50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)派往A、B兩地區(qū)收割小麥，其中30臺(tái)派往A地區(qū)，20臺(tái)派往B地區(qū).兩地區(qū)與該農(nóng)機(jī)租賃公司商定的每天的租賃價(jià)格見下表.

（1）設(shè)派往A地區(qū)x臺(tái)乙型聯(lián)合收割機(jī)，農(nóng)機(jī)租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金為y元，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x的取值范圍.

（2）若使農(nóng)機(jī)租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金總額不低于79 600元，試說明有多少種分配方案，并將各種方案寫出來.

（3）如果要使這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得的租金最高，請(qǐng)你為該農(nóng)機(jī)租賃公司提出一條合理化建議.

分析：根據(jù)題設(shè)，可作出下面的示意圖，從而獲得解題思路.

解：（1）設(shè)乙型有x臺(tái)派往A地區(qū)，則（30-x）臺(tái)派往B地區(qū).從而依條件有：甲型有（30-x）臺(tái)派往A地區(qū)，（x-10）臺(tái)派往B地區(qū).

故y=1 800（30-x）+1 600（x-10）+1 600x+1 200（30-x）=74 000+200x.

∵0≤x≤30，0≤30-x≤20，0≤x-10≤20，

∴10≤x≤30.

（2）由題意，74 000+200x≥79 600，故x≥28.

∴x=28，29，30.有三種方案（具體方案略）.

（3）由（1）知y隨x的增大而增大，故當(dāng)x=30時(shí)，有y最大=74 000+200×30=80 000.建議就是：把乙型收割機(jī)全部派往A地區(qū)，甲型收割機(jī)全部派往B地區(qū).

點(diǎn)評(píng)：題中所給的信息量大，數(shù)據(jù)也較多，為梳理各個(gè)量之間的關(guān)系，我們可以畫出示意圖來整理信息.解決這類問題的基本思路是：采用示意圖，結(jié)合題意建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式.結(jié)合各個(gè)量的約束條件求出未知數(shù)的范圍，再結(jié)合實(shí)際問題確定可能的方案.根據(jù)一次函數(shù)的增減性確定出最優(yōu)方案.

例3（2008年·麗水）為了促進(jìn)“長三角”區(qū)域的便捷溝通，實(shí)現(xiàn)節(jié)時(shí)、節(jié)能，杭州灣跨海大橋于今年5月1日通車.下表是寧波到上海的兩條線路的有關(guān)數(shù)據(jù).

（1）若小汽車的平均速度為80 km/h，則小車走直路比走彎路節(jié)省多少時(shí)間？

（2）若小汽車每千米的油耗為x升，汽油價(jià)格為5元/升，請(qǐng)?zhí)角螅簩?duì)x的不同取值，走哪條線路的總費(fèi)用較?。傎M(fèi)用=過路費(fèi)+油費(fèi)）.

分析：該題（1）問較易.（2）問由題意可知：走每條線路所需的費(fèi)用是每千米的油耗的函數(shù)，故可以構(gòu)建“函數(shù)模型”.

解：（1）（316-196）÷80=1.5，所以小汽車走直路比走彎路節(jié)省了1.5 h.

（2）設(shè)小汽車走直路和走彎路的總費(fèi)用分別為y1元、y2元，則y1=5×196x+180=980x+180，y2=5×316x+140=1 580x+140.設(shè)走直路和走彎路的費(fèi)用之差為y元，則y=y1-y2=-600x+40.畫出一次函數(shù)y=-600x+40的圖象，如圖3，它與x軸的交點(diǎn)為 ，0.由圖象可知：

當(dāng)x= 時(shí)，y=0，即y1=y2，兩種線路總費(fèi)用一樣；當(dāng)00，即y1>y2，小汽車走彎路的總費(fèi)用較小； 當(dāng)x> 時(shí)， y<0，即y1

點(diǎn)評(píng)：本題屬于函數(shù)應(yīng)用題，可以利用方程或不等式解決，也可以利用函數(shù)圖象解決.本解把比差法與圖象法相結(jié)合，比較直觀地解決了問題.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文