“三階幻方”的妙用

丁學(xué)明

“三階幻方”想必大家都知道吧.同學(xué)們還記得它的玩法嗎？如果都記得，那就跟著丁老師一起去解決下面的問題吧.

“三階幻方”有一個(gè)最明顯的性質(zhì)：它的橫行、豎列、對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等.我們可以利用這一性質(zhì)，遷移去解決一些數(shù)學(xué)問題.下面舉兩例，以饗讀者.

1．愛因斯坦填數(shù)題.

如圖1所示的9個(gè)圓圈是3個(gè)小的等邊三角形、1個(gè)位于中間的等邊三角形和3個(gè)大的等邊三角形的頂點(diǎn).將1~9這9個(gè)數(shù)字填入圓圈，要求這7個(gè)三角形中每個(gè)三角形頂點(diǎn)處的數(shù)之和相等.

觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)：中間三角形的三個(gè)圓圈和其余6個(gè)三角形的聯(lián)系最多.而這一點(diǎn)和“三階幻方”中的對(duì)角線上的數(shù)比較相似.我們不妨在中間三個(gè)圓圈里填上5，2，8或4，5，6.

下面是一種具體的填法：①中間三個(gè)圓圈填5，2，8；②從“三階幻方”中看出8與4，3相加得15，所以與8組成小三角形中的另兩個(gè)圓圈里應(yīng)填3，4；③確定3，4的位置.觀察“三階幻方”，有4，9，2和3，5，7.這樣就簡(jiǎn)單了，把4放在2，8橫線上，讓2，4，9組成一個(gè)大三角形，把3放在5，8斜線上，讓3，5，7組成一個(gè)大三角形.其余相同，見圖2.

同理可填出另外三種情況，見圖3、圖4、圖5.

2.馮·諾依曼的“取牌游戲問題”.

曾有人向世界杰出的數(shù)學(xué)家，第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)發(fā)明者馮·諾依曼教授請(qǐng)教了如下一個(gè)取牌游戲問題：

9張撲克牌，分別是A（作為1點(diǎn)），2，3，…，9，牌正面朝上放在桌子上.兩人輪流取牌，已取走的牌不能重新放回去，誰手中有3張牌點(diǎn)數(shù)加起來等于15，誰就贏.

馮·諾依曼教授在一分鐘思考時(shí)間里,就想到了“三階幻方”.因?yàn)椤叭A幻方”里有8組數(shù)之和都等于15.于是上面的取牌游戲就變成了另一種截然不同的形式：對(duì)陣的雙方，一方要盡可能使自己占據(jù)“三階幻方”中某行、某列、某對(duì)角線上的三個(gè)位置；而另一方則要竭力阻攔這種局面的形成.實(shí)際上，這就是中國(guó)古老的游戲“吃井字”：如圖6，兩人輪流在一個(gè)“井”字框里畫“○”或“×”，誰能把自己畫的“○”或“×”連成一條直線，誰就算贏.

我們注意到，在8個(gè)三數(shù)之和為15的組合中，含有5的有4種，含有2，4，6，8的各有3種，而含有1，3，7，9的各有2種.由此可見，先拿牌的人必須取“5”，即占據(jù)“井”字格的中央位置，這樣便會(huì)稍占一些便宜.因?yàn)?，若后拿牌的人此時(shí)取奇數(shù)點(diǎn)的牌的話，則他必?cái)o疑！只要分析一下圖6中的記號(hào)，你就會(huì)明白其中的奧秘.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文