幾種常見(jiàn)的概率計(jì)算問(wèn)題

姜強(qiáng)柱

解概率問(wèn)題如果是一次操作問(wèn)題，一般直接用公式法；如果是兩次操作問(wèn)題，一般用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法都可以解答；如果是三次操作問(wèn)題，用畫(huà)樹(shù)狀圖法較易解答.

一、游戲類問(wèn)題

例1 圖1是由轉(zhuǎn)盤(pán)和箭頭組成的兩個(gè)裝置，裝置A，B的轉(zhuǎn)盤(pán)分別被分成三個(gè)面積相等的扇形.裝置A上的數(shù)字分別為1，6，8，裝置B上的數(shù)字分別是4，5，7，這兩個(gè)裝置除表面數(shù)字不同外，其他結(jié)構(gòu)相同.現(xiàn)在你和另一個(gè)人分別同時(shí)用力轉(zhuǎn)動(dòng)A，B兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)上的箭頭.規(guī)定箭頭停留在較大數(shù)字的一方獲勝（若箭頭停在界線上，再重轉(zhuǎn)一次，直到不停在界線上為止），那么你會(huì)選擇哪個(gè)裝置？為什么？

解析： 這是兩次操作問(wèn)題，所以用列表法.把所有可能得到的數(shù)字組合列成下表：

由表知P（A>B）= ，P（B>A）= ，所以選擇A裝置.

例2 （濟(jì)寧市）如圖2，將轉(zhuǎn)盤(pán)等分成六個(gè)扇形，并在上面依次寫(xiě)上數(shù)字1，2，3，4，5，6.指針的位置固定，自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，當(dāng)它停止時(shí)，指針指向偶數(shù)區(qū)域的概率是（指針指向兩個(gè)扇形的交線時(shí)，當(dāng)做指向右邊的扇形）______，請(qǐng)你利用這個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)設(shè)計(jì)一個(gè)游戲，當(dāng)自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí)，指針?biāo)竻^(qū)域的概率為 .

解：指針指向偶數(shù)區(qū)域的概率是P＝ ＝ .

游戲設(shè)計(jì)：① 將1和2所在的扇形涂成紅色，3和4所在的扇形涂成黃色，5和6所在的扇形涂成綠色，則指針指向紅色或黃色或綠色區(qū)域的概率都為 .② 分別將1和4所在的扇形涂成紅色，2和5所在的扇形涂成黃色，3和6所在的扇形涂成綠色，則指針指向紅色或黃色或綠色區(qū)域的概率為 .

例3 （遼寧省）四張質(zhì)地相同的卡片如圖3所示，將卡片洗勻后，背面朝上放置在桌面上.

（1） 求隨機(jī)抽取1張卡片，恰好得到數(shù)字2的概率.

（2） 小貝和小晶用以上4張卡片做游戲，規(guī)則見(jiàn)圖4，你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖法說(shuō)明理由；若不公平，請(qǐng)你修改規(guī)則，使游戲變得公平.

解析： （1） 是一次操作問(wèn)題，可直接用公式.（2） 是兩次操作問(wèn)題，要用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法.

（1） P（恰好得到數(shù)字2）= = .

（2） 根據(jù)題意畫(huà)樹(shù)狀圖如圖5.

從樹(shù)狀圖中可以看出所有可能的結(jié)果共16種，不超過(guò)32的兩位數(shù)有10個(gè)，超過(guò)32的兩位數(shù)有6個(gè).

P（不超過(guò)32）＝ = ；

P（超過(guò)32）＝ = .

因?yàn)槎卟幌嗟?，所以游戲不公?

修改規(guī)則：① 組成的兩位數(shù)中，若個(gè)位數(shù)字是2，小貝勝，反之小晶勝.這樣能使游戲公平.

② 抽到的兩位數(shù)不超過(guò)32的得3分；抽到的兩位數(shù)超過(guò)32的得5分.這樣能使游戲公平.（有多種修改方法，僅舉兩種）

二、綜合計(jì)算題

例4 （沈陽(yáng)市）如圖6，A，B，C是三個(gè)幾何體，設(shè)正對(duì)我們的方向?yàn)樗鼈兊恼?設(shè)A，B，C三個(gè)幾何體的主視圖分別是A1，B1，C1，左視圖分別是A2，B2，C2，俯視圖分別是A3，B3，C3.

（1） 請(qǐng)你分別寫(xiě)出A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3圖形的名稱.

（2） 小剛先將這9個(gè)視圖分別畫(huà)在大小、形狀完全相同的9張卡片上，并將畫(huà)有A1，A2，A3的3張卡片放在甲口袋中，畫(huà)有B1，B2，B3的3張卡片放在乙口袋中，畫(huà)有C1，C2，C3的3張卡片放在丙口袋中，然后由小亮隨機(jī)從這三個(gè)口袋中分別取出1張卡片.

① 通過(guò)補(bǔ)全圖7的樹(shù)狀圖，求出小亮隨機(jī)抽取3張卡片上的圖形名稱都相同的概率；

② 小亮和小剛做游戲，游戲規(guī)則規(guī)定：在小亮隨機(jī)抽取的3張卡片中，只有2張卡片上的圖形名稱相同時(shí)，小剛獲勝；3張卡片上的圖形名稱完全不同時(shí)，小亮獲勝.這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？為什么？

解析： 這是三次操作問(wèn)題，用樹(shù)狀圖是解決問(wèn)題的最有效辦法.

（1） 由已知可得A1，A2是矩形，A3是圓；B1，B2，B3都是矩形；C1是三角形，C2，C3是矩形.

（2） ① 補(bǔ)全樹(shù)狀圖如圖8.

由樹(shù)狀圖可知，共有27種等可能的結(jié)果，其中3張卡片上的圖形名稱都相同的有12種.所以3張卡片上的圖形名稱都相同的概率是 = .

② 游戲?qū)﹄p方不公平.由①可知，3張卡片中只有2張卡片上的圖形名稱相同的概率是 ，即P（小剛獲勝）＝ ；3張卡片上的圖形名稱完全不相同的概率是 ＝ ，即P（小亮獲勝）＝ .

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文