奇妙的完全數(shù)

韓雪濤

在遙遠(yuǎn)的古希臘有一個(gè)著名的數(shù)學(xué)學(xué)派——畢達(dá)哥拉斯學(xué)派.這一學(xué)派對(duì)數(shù)的性質(zhì)異常感興趣.他們發(fā)現(xiàn)，有些大于0的自然數(shù)的所有真因數(shù)（即那些可以整除該自然數(shù)的自然數(shù),但不包括該自然數(shù)本身）之和比它們本身要大，如12的真因數(shù)有1、2、3、4、6，其和是16.另有一些自然數(shù),它們的所有真因數(shù)之和比它們本身要小，如4的真因數(shù)有1、2，其和是3.那么，有沒(méi)有所有真因數(shù)之和恰好等于它本身的數(shù)呢？有！他們把這樣的數(shù)叫做完全數(shù)（也叫完美數(shù)）.這一學(xué)派的創(chuàng)始人畢達(dá)哥拉斯曾說(shuō)：“6象征著完滿的婚姻以及健康和美麗，因?yàn)樗牟糠质峭暾?，并且其所有真因?shù)之和等于6.”這意味著他已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了最小的完全數(shù)6.下一個(gè)完全數(shù)是28，這也是這個(gè)學(xué)派所發(fā)現(xiàn)的.

接下來(lái)的兩個(gè)完全數(shù)，是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員尼克馬修斯發(fā)現(xiàn)的．他在其《數(shù)論》一書(shū)中有如下一段話：“第三個(gè)在百位數(shù)的深處，是496；第四個(gè)卻在千位數(shù)的尾巴上，接近10 000，是8 128.它們具有一致的特性：尾數(shù)都是6或8，而且都是偶數(shù).”

對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，完全數(shù)的性質(zhì)才是更為重要的.

公元前3世紀(jì)，古希臘著名數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中給出并證明了一個(gè)漂亮的結(jié)論：如果2ⁿ － 1是一個(gè)素?cái)?shù)（即質(zhì)數(shù)），那么自然數(shù)2^n-1（2ⁿ － 1） 一定是完全數(shù).2ⁿ－ 1 型的素?cái)?shù)？這不就是梅森素?cái)?shù)嗎？正是.因此，我們可以說(shuō)，只要能找到一個(gè)梅森素?cái)?shù)，根據(jù)歐幾里得的結(jié)論，我們馬上就可以得到一個(gè)完全數(shù).容易看出，通過(guò)歐幾里得的結(jié)論得到的完全數(shù)都是偶數(shù)，于是一個(gè)非常自然的疑問(wèn)產(chǎn)生了：是否每個(gè)偶完全數(shù)都具有歐幾里得給出的形式呢？歐幾里得之后2 000多年，18世紀(jì)的偉大數(shù)學(xué)家歐拉給了上述疑問(wèn)一個(gè)明確的答復(fù)：如果一個(gè)數(shù)是偶完全數(shù)，則它一定可以表示成 2^n-1（2ⁿ－ 1），其中 2ⁿ－ 1 是素?cái)?shù).于是，經(jīng)過(guò)歐幾里得與歐拉這兩位數(shù)學(xué)家的強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)手，偶完全數(shù)的本質(zhì)被解開(kāi)了.

然而，完全數(shù)在自然數(shù)中是非常稀少的.現(xiàn)在，人們找到的完全數(shù)只有44個(gè)（與找到的44個(gè)梅森素?cái)?shù)相對(duì)應(yīng)，也包括6、28等），而且全都是偶完全數(shù).那么，有沒(méi)有奇完全數(shù)呢？沒(méi)人知道.實(shí)際上，“奇完全數(shù)是否存在”這個(gè)問(wèn)題目前仍是數(shù)學(xué)中的一大未解之謎呢！