笛卡兒與平面直角坐標(biāo)系

左效平

笛卡兒（1596~1650年），法國(guó)數(shù)學(xué)家.為了紀(jì)念笛卡兒對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展所作出的杰出貢獻(xiàn)，人們又把平面直角坐標(biāo)系稱為笛卡兒坐標(biāo)系.笛卡兒在發(fā)明平面直角坐標(biāo)系時(shí)，還有一個(gè)有趣的故事呢.

公元1620年深秋，萊茵河畔的烏兒姆小鎮(zhèn)扎下一排軍用帳篷.夜很深了，可是帳篷里的一名士兵卻翻來(lái)覆去怎么也睡不著，他就是后來(lái)聞名于世的數(shù)學(xué)家笛卡兒.笛卡兒有一個(gè)習(xí)慣，就是經(jīng)常躺在被窩里思考問(wèn)題.在一個(gè)陌生的地方，笛卡兒一時(shí)難以入睡，他又開始思考最近研究的幾何與代數(shù)結(jié)合的問(wèn)題.

眼前這些星星像豆子一樣，滿天都是，如果用數(shù)學(xué)方法，怎么表示它們的位置呢？當(dāng)然，最好是畫一張圖，但這是幾何的方法，再說(shuō)這么紛亂的星空即使畫出來(lái)，要指給人看某一顆星星時(shí)，還是得拿出一張圖，有什么辦法只用幾個(gè)數(shù)字就能標(biāo)出它們的位置呢？自己隨軍到處奔波，幾天前還在多瑙河對(duì)岸，今晚卻又到多瑙河這一岸，時(shí)而在上游，時(shí)而在下游，要是給上級(jí)報(bào)告部隊(duì)的位置，該怎樣表示呢？

笛卡兒正躺在被窩里思考，忽然門口傳來(lái)腳步聲，排長(zhǎng)來(lái)查鋪了！笛卡兒慌忙用被子蒙住頭，側(cè)著兩耳，聽(tīng)著響動(dòng).可是很奇怪，聽(tīng)腳步聲好像是人到門口又折回去了.他猜排長(zhǎng)一會(huì)兒還會(huì)回來(lái)，于是不再探出頭，繼續(xù)進(jìn)行圖與數(shù)的冥想.

過(guò)了一陣，排長(zhǎng)果然又來(lái)了.他闖進(jìn)帳篷，揭開被子，一把拉起笛卡兒就向外拖去.笛卡兒想喊喊不出，想披件衣服，可手又被攥得緊緊的.

等走出帳篷，排長(zhǎng)才說(shuō)：“你不是想用數(shù)學(xué)方法標(biāo)出天空中星星的位置嗎？趁現(xiàn)在夜深人靜，不會(huì)有人偷聽(tīng)，我告訴你個(gè)妙法.”

說(shuō)著，排長(zhǎng)從身后抽出兩支箭，拿在手里搭成一個(gè)“十”字，箭頭一個(gè)朝上，一個(gè)朝右.他將“十”字舉過(guò)頭說(shuō)：“你看，假如我們把天空的一部分看成一個(gè)平面，這個(gè)平面就可以分成4個(gè)部分.我這兩支箭能射得無(wú)窮遠(yuǎn)，天上這么多星星，隨便哪一顆，你只要分別向這兩只箭上引兩條垂線，就會(huì)得到兩個(gè)數(shù)字，這樣，這顆星星的位置就可以表示得一清二楚了.”

笛卡兒說(shuō)：“你慌慌張張地把我拉出來(lái)，我還當(dāng)有什么新鮮東西呢！畫坐標(biāo)圖古希臘人就會(huì)，現(xiàn)在最難的是那些抽象的負(fù)數(shù)，人看不見(jiàn)，摸不著，顯示不出來(lái)就不好說(shuō)服人了.”

排長(zhǎng)向笛卡兒肩上打了一拳，哈哈笑道：“我說(shuō)，你這么聰明，這層紙你怎么就沒(méi)有捅破呢？你看，只要將這兩支箭的交叉處規(guī)定為0，向上、向右分別表示正數(shù)，向下、向左不就表示負(fù)數(shù)了嗎？烏兒姆鎮(zhèn)是交叉點(diǎn)，多瑙河上游是正，下游是負(fù)，對(duì)岸是正，這一岸是負(fù).我們行軍到哪個(gè)地方，不就隨時(shí)可以用兩個(gè)數(shù)字表示出來(lái)嗎？”

笛卡兒高喊道：“這是個(gè)好主意！”

他撲上前去想抓過(guò)箭來(lái)看看，不想排長(zhǎng)忽地將箭往身后一藏，不高興地說(shuō)道：“你就知道每天睡懶覺(jué)，不會(huì)自己做嗎？”

說(shuō)著排長(zhǎng)便向河邊跑去，眼看要進(jìn)了河里，他卻踏水而過(guò)，如履平地.笛卡兒一急也一腳踏進(jìn)水面，卻“撲通”一聲跌入河中，忙大喊救人.

突然，他覺(jué)得屁股上重重地挨了一腳，睜開眼睛一看，帳篷里已射進(jìn)陽(yáng)光.排長(zhǎng)正站在他的身邊喊著：“你這個(gè)懶鬼，還不起床，又在做美夢(mèng)！”

笛卡兒眨了眨眼，一骨碌爬起來(lái)，雙手抓住排長(zhǎng)的肩膀直搖：“你說(shuō)什么？你剛才對(duì)我講了些什么？”

排長(zhǎng)罵道：“神經(jīng)?。　苯又秩ゴ咂渌似鸫踩チ?

笛卡兒卻像發(fā)了瘋一樣從枕頭下抽出本子和鉛筆，他先畫了一條豎線，標(biāo)為y軸，又畫了一條橫線，標(biāo)為x軸，又在這兩條軸上標(biāo)出許多正數(shù)和負(fù)數(shù)，平面直角坐標(biāo)系就這樣誕生了.

恩格斯曾評(píng)價(jià)說(shuō)：“笛卡兒的變數(shù)是數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)．”

平面直角坐標(biāo)系把數(shù)學(xué)中的數(shù)與形完美統(tǒng)一起來(lái)了．

同學(xué)們，聽(tīng)了這個(gè)故事，大家是不是對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了更大的興趣呢？我們也要在平時(shí)多思考，多留心，說(shuō)不定哪天也會(huì)有一個(gè)重大的發(fā)現(xiàn)！

【責(zé)任編輯：潘彥坤】

藝術(shù)與投影幾何

多少世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)總是影響著藝術(shù)和藝術(shù)家．如投影幾何、黃金分割、比例、視覺(jué)幻影、對(duì)稱、圖案和花樣等，它們不僅影響著藝術(shù)家的設(shè)計(jì)思路，而且影響著各種藝術(shù)流派，如原始的、古典的、文藝復(fù)興時(shí)期的、近代的、流行的或藝術(shù)裝飾的等．

一位油畫家要在一張畫布上畫出一幅立體的場(chǎng)景，他必須確定從不同的距離和位置觀察時(shí)，物體會(huì)產(chǎn)生怎樣的改變．這便是文藝復(fù)興時(shí)期藝術(shù)活動(dòng)的主要部分和投影幾何發(fā)展的領(lǐng)域．投影幾何涉及圖形及其投影的空間關(guān)系和性質(zhì)等，因此它包含了透視法的問(wèn)題．藝術(shù)家為了創(chuàng)作他們的現(xiàn)實(shí)主義的立體油畫，文藝復(fù)興時(shí)期的藝術(shù)家們利用了新建立的投影幾何概念——投影點(diǎn)、消失點(diǎn)等．

藝術(shù)家推斷，假如人們透過(guò)窗戶去觀察一個(gè)景觀，并且眼睛保持在一個(gè)焦點(diǎn)上，這時(shí)視點(diǎn)集中，外面的景觀似乎是投影到窗戶上而被看到，這樣窗戶便可能充當(dāng)畫布那樣的幕．各種各樣的圖案賦予了藝術(shù)家創(chuàng)造的靈感，他們把這種現(xiàn)實(shí)從窗戶轉(zhuǎn)移到畫布上來(lái)．