公平還是不公平

郭　慶

不確定事件發(fā)生的機會有大小的區(qū)別，所以玩游戲時，參與游戲的各方都很在乎游戲的公平性，即各方贏的機會要一樣大.本文通過舉例分析，介紹了幾種解決這類問題的常用方法.

一、兩分法

若一個游戲或活動滿足以下兩個條件：1. 游戲或活動的結(jié)果只有兩種；2. 游戲或活動的任一結(jié)果只有一種情況.則可以直接得出這個游戲或活動是公平的.以上方法稱為兩分法.

例1在一些體育比賽（如足球賽和籃球賽）中，裁判通常在比賽開始之前用拋硬幣的方法來決定比賽雙方的場地和首先發(fā)球者.請問：這樣做對比賽的雙方來說公平嗎？

解析： 拋硬幣滿足兩分法，因為硬幣的正反兩面代表兩種結(jié)果，各種結(jié)果都只有一種情況，并且隨機事件“出現(xiàn)正面”發(fā)生與不發(fā)生是相對的，隨機事件“出現(xiàn)反面”也是如此.出現(xiàn)正面和出現(xiàn)反面的機會都是1/2，故這樣做是公平的.

評注： 比賽中用拋硬幣的方法決定比賽雙方的場地和首先發(fā)球者，隨機事件“出現(xiàn)正面”如果發(fā)生，其結(jié)果只有一種情況，并且要么發(fā)生，要么不發(fā)生.隨機事件“出現(xiàn)反面”也是如此，故符合兩分法.兩分法適用于相對比較簡單的情況.而在如投擲骰子的相對復雜的游戲中，隨機事件“投擲兩枚普通正方體骰子，擲得的點數(shù)之和為3”若發(fā)生，可能會是（1，2）或（2，1），也就是隨機事件發(fā)生的結(jié)果不僅僅是一種情況，我們就不能用兩分法來處理.

二、列舉法

列舉法是指游戲或活動的結(jié)果不止一種，并且每種結(jié)果出現(xiàn)的情況可能也是不止一種，但又是有限的，可以一一列舉出來，我們就將所有結(jié)果（一種結(jié)果對應一個隨機事件）可能出現(xiàn)的情況分類列舉出來，以便進行比較.

例2投擲兩枚普通正方體骰子，把兩枚骰子的點數(shù)相加，則“第一枚骰子的點數(shù)為1且第二枚骰子的點數(shù)為6”是“兩枚骰子的點數(shù)之和為7”的一種情況，我們記為（1，6）.如果我們在游戲中規(guī)定，擲出的兩枚骰子的點數(shù)之和為7則甲方贏，擲出的兩枚骰子的點數(shù)之和為9則乙方贏.這個游戲公平嗎？如果不公平，它偏向哪一方？

解析： 從這個游戲的規(guī)定我們可以看出，出現(xiàn)（1，6），（2，5）等情況甲方都會贏.我們可以用列舉法解決這個問題，如表1.

從表中我們可以看出，出現(xiàn)“兩枚骰子的點數(shù)之和為7”的情況多一些，故該游戲不公平，偏向甲方.

評注： 如果隨機事件有兩種或更多種情況，又是可以列舉出來的，我們就不妨將各個隨機事件可能出現(xiàn)的情況全部列舉出來.哪個隨機事件可能出現(xiàn)的情況多，則這個隨機事件發(fā)生的可能性就大.列舉法是一種常用的方法，但是要注意，在列舉時要考慮全面，不能遺漏.

三、遞推法

遞推法是利用想要出現(xiàn)的結(jié)果逆向分析，從而得出在游戲或活動中獲勝的機會大小的方法.

例3桌子上放著20顆糖果，小明和小軍玩游戲，兩人商定的游戲規(guī)則為：兩人輪流拿糖果，每人每次至少要拿1顆，至多可以拿2顆，誰先拿到第10顆糖果誰就獲勝，獲勝者可以把剩下的10顆糖果全部拿走.這個游戲公平嗎？為什么？

解析： 要想拿到第10顆糖果，就必須要先拿到第7 顆，把第8顆或第8顆和第9顆留給對方.要想拿到第7顆，就必須要先拿到第 4顆，把第5顆或第5顆和第6顆留給對方.要想拿到第4顆，就必須要先拿到第1顆，從而把第2顆或第2顆和第3顆留給對方.由分析我們可以看出，這是一個明顯偏向第一個拿糖果者的游戲，因此游戲不公平.

評注： 遞推法是一種相對有效的方法，主要考查同學們的推測能力，要求是同學們在思考的時候思維一定要嚴密.

同學們在分析游戲或比賽是否公平時，一定要分清情況，根據(jù)具體情況采取相應的方法來分析.