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    你中過大獎嗎

    2008-08-18 09:15:28王靜富
    關(guān)鍵詞:黑桃骰子點數(shù)

    王靜富

    我們經(jīng)常看到某某人中了500萬大獎之類的消息,那么,中大獎的可能性大不大呢?請看下文.

    你中過大獎嗎?你一定會說,那絕對不可能,100萬張彩票才有那么1張!然而有時說不定也會給你帶來一點驚喜,網(wǎng)上搜索“彩票大獎得主”,居然有397 000條信息,有的是幾百萬,最多的是上億元大獎.看來還是可能的,只不過可能性極小罷了.

    實際上正如你所知,生活中各種各樣的事情,有的是完全不可能的,如一個人只花了一秒鐘就跑完100米,至少在現(xiàn)在是完全不能實現(xiàn)的.又如投擲一個普通的正方體骰子,朝上的點數(shù)是7,那當(dāng)然也是不可能的了.有的是必然發(fā)生的,如隨意畫一個三角形,任意兩邊之和總大于第三邊,這是天經(jīng)地義的真理.又如投擲一個普通的正方體骰子,朝上的點數(shù)不大于7,那當(dāng)然也是必然的了.還有的是有可能發(fā)生的,如明天會下雨,買一張彩票中了大獎,你今天數(shù)學(xué)考試得了第一名,等等.

    數(shù)學(xué)上把前兩種情況稱為確定事件,一定發(fā)生的稱為必然事件,而一定不會發(fā)生的就稱為不可能事件;第三種情況稱為不確定事件,或叫做隨機事件.

    現(xiàn)在請你根據(jù)你的生活經(jīng)驗,判斷如下的一些事件,看看它們是一些什么樣的事件:

    ●你和你的同伴一起玩一副沒有大小王的撲克,你隨便摸一張,發(fā)現(xiàn)是黑桃9;

    ●隨意畫一個四邊形,它的內(nèi)角和為350°;

    ●隨意拋擲一枚硬幣,落地后發(fā)現(xiàn)恰好是正面(即國徽一面)朝上;

    ●隨意畫一個等腰三角形,發(fā)現(xiàn)總有兩個內(nèi)角相等.

    既然確定事件是一定發(fā)生或一定不會發(fā)生的事件,人們就想到用數(shù)量來表達它們的內(nèi)涵:用數(shù)字0表示不可能事件,用1(即100%)表示必然事件,這樣隨機事件發(fā)生的可能性就介于0與1之間了.這些與我們生活語言應(yīng)該是完全一致的.

    隨機事件到處可見,其發(fā)生的可能性都介于0與1之間,那么是否都是一樣的呢?就像有些人所言:一個隨機事件,要么發(fā)生,要么不發(fā)生,兩者的可能性都是百分之五十.

    上面的話,聽起來,似乎有點道理.不過再仔細(xì)想想,觀察生活中的各種現(xiàn)象,相信你一定會發(fā)現(xiàn),有些是有一樣大小的可能性,例如隨意拋擲一枚硬幣,落地后只有兩種可能——正面朝上或反面朝上,這兩個隨機事件發(fā)生的可能性相等.

    當(dāng)然你也會發(fā)現(xiàn)有些隨機事件發(fā)生的“可能性”(即“機會”)不一樣,例如買一張彩票,有可能中獎,也有可能中不了獎,顯然這兩個隨機事件發(fā)生的可能性不相等,中獎的可能性比不中獎的要小得多了,特別是中大獎的可能性更小.

    又如,有四條線段,長度各為1、2、3和4,隨意抽取三條線段,能組成三角形的可能性與不能組成三角形的相比,哪個大些呢?對此,你有什么想法?你不妨運用數(shù)學(xué)上的“列舉法”,即把所有可能的情況全部列出來,數(shù)一數(shù),馬上就知道了.

    現(xiàn)實生活中,這樣的事例太多了.你不妨自己先作判斷,然后再和你的同伴交流討論一下,看看下面一些例子中,分別可能會出現(xiàn)哪些隨機事件,它們是否具有相等的可能性,若不相等,那么哪些可能性會較大些.記住,你還可以用那個“列舉法”呢!

    ●隨意投擲一個普通的正方體骰子,穩(wěn)定后,從朝上的點數(shù)來看,會有哪些隨機事件?

    ●你和你的同伴一起玩一副沒有大小王的撲克,隨便摸一張,從花色上看,會有幾種隨機事件?

    ●隨意拋擲兩枚硬幣,落地后會出現(xiàn)多少種可能情況呢?

    說到這里,你對于“隨機事件”的隨機性已經(jīng)有了那么一點體會了吧.它是隨機的,也就是可能發(fā)生,還可能不發(fā)生,哪怕是發(fā)生的可能性很小很小,就像買彩票中大獎那樣,還是可能發(fā)生的.而有的,如從一個裝有10 000只紅球和1只黑球的口袋里摸出1個紅球,發(fā)生的可能性很大很大,但也可能摸到的正好是黑球.

    現(xiàn)在讓我們輕松一下,做個游戲吧.

    這是兩個人的游戲.你與你的同伴玩撲克,由第3位同學(xué)在黑桃2、3、4三張牌中摸出兩張,約定:摸出的兩張牌的牌面點數(shù)之和為偶數(shù),算你贏;而如果牌面點數(shù)之和為奇數(shù),則算你的同伴贏.

    玩了一會兒,你有什么感覺?你是否想到,這里面還有一個隨機事件發(fā)生的可能性大小的問題?

    讓我們一起稍作分析,在黑桃2、3、4三張牌中,隨機摸出兩張,會有幾種情況呢?很簡單,只有三種情況:黑桃2與黑桃3、黑桃2與黑桃4、黑桃3與黑桃4.相應(yīng)的牌面點數(shù)之和分別為5、6、7.其中5與7是奇數(shù),6是偶數(shù).那就是說,盡管每次摸出的兩張牌都是隨機的,但從長遠(yuǎn)的觀點看,出現(xiàn)奇數(shù)的可能性要比偶數(shù)大.

    嘿,看來這個游戲并不公平,你“吃虧”了!那么如果改成牌面點數(shù)之積,又會如何呢?那就請你自己想想了.

    看來以后做游戲,還得好好從數(shù)學(xué)上多思考思考才行.

    說到這里,你可能會說:隨機事件的發(fā)生似乎是不確定的,那么我們能否估計它發(fā)生的可能性的大小呢?我們在《數(shù)據(jù)的收集與表示》的學(xué)習(xí)中,曾提到可以通過實驗,收集數(shù)據(jù),讓數(shù)據(jù)說話,認(rèn)識生活中的各種現(xiàn)象.

    下面是我在反復(fù)實驗投擲普通的正方體骰子時,收集的有關(guān)隨機事件“出現(xiàn)6點”的數(shù)據(jù)(別看我做了10 000次實驗,那可是計算機的功勞).

    你不妨也試試,看看你的數(shù)據(jù)如何,再畫出折線圖,看看能夠找到什么數(shù)學(xué)規(guī)律.告訴你吧,隨著實驗次數(shù)的增加,這里出現(xiàn)6點的頻率會穩(wěn)定在1/6附近.

    也就是說,雖然每次實驗的結(jié)果是隨機的,無法預(yù)測的,但隨著實驗次數(shù)的增加,事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定在某一個數(shù)值附近,這就是隨機事件的數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性.正因為如此,我們就可以用平穩(wěn)時的頻率估計這一隨機事件在每次實驗時發(fā)生的可能性的大小.以后你還會學(xué)習(xí)一些重要的方法,以便更好地研究隨機事件.

    現(xiàn)在你應(yīng)該快結(jié)束本學(xué)期的學(xué)習(xí)了吧.你看,無論是方程與不等式,多邊形與軸對稱,還是最后的不確定現(xiàn)象,都與你的生活實際密切相關(guān),充滿著趣味與挑戰(zhàn).這真是,數(shù)學(xué)到處存在,處處都需要數(shù)學(xué),人人都離不開數(shù)學(xué)!

    練習(xí)題:

    1.根據(jù)你的生活經(jīng)驗,判斷如下的一些事件中哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是隨機事件.

    (1)今年6月1日天氣晴朗少云;

    (2)投擲兩個普通的正方體骰子,穩(wěn)定后,兩者的點數(shù)之和大于20;

    (3)隨意畫兩條平行線,兩者之間的距離處處相等;

    (4)一個彩盤被分成6個一樣大小的扇形,并被涂上黑、黃、綠、白、紅與藍六種顏色,轉(zhuǎn)動該彩盤的指針,停止后,恰好指著紅色;

    (5)拋擲兩枚硬幣,落地后,出現(xiàn)“一個正面與一個反面”.

    2.你與你的好朋友一起玩撲克游戲:

    桌上放著6張撲克牌,全部正面朝下.你們已被告知其中有兩張且只有兩張是老K,但是你不知道老K在哪個位置.現(xiàn)請另一位同學(xué)隨便取出兩張并把它們翻開,約定如下:

    若兩張牌中至少有1張是老K,你贏;而若兩張牌中沒有老K,你的好朋友贏.

    你認(rèn)為這一游戲?qū)δ阌欣麊幔空f說你的道理.

    參考答案:

    1.必然事件:(3).不可能事件:(2).隨機事件:(1)、(4)與(5).

    2.為了求解這道題目,讓我們把這6張牌用1到6這些數(shù)字編號,并且假定5號牌和6號牌就是那兩張老K.現(xiàn)在,我們列出從6張牌中取出兩張的所有不同組合,總共有15種這樣的組合:

    1-2,2-3,3-4,4-5,5-6

    1-3,2-4,3-5,4-6

    1-4,2-5,3-6

    1-5,2-6

    1-6

    注意在這15對牌中有9對包含老K(5號牌和6號牌).那就是說,約定內(nèi)容中第1種情況有9對,第2種情況只有6對.所以至少翻出一張老K的可能性比一張老K也翻不出的可能性要大,這一游戲?qū)δ闶怯欣?

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