梁勝海
普通高中的學生普遍反映“立幾難”,學習中常產(chǎn)生消極的自我暗示,對立體幾何怕學、懶學甚至不學,直接影響學生自身的數(shù)學素養(yǎng).教學中為了改變這種現(xiàn)狀,我做了一些思考,思考了立體幾何“難學”的主要成因及對策,下面談談自己一些粗淺的體會.
1.學生識圖與畫圖能力差.學生做練習時明明知道要畫圖,但就是不知從何畫起.解題時畫不出圖形,弄不清圖形的真實形狀,又怎能學好立體幾何呢?一些教師中往往覺得《平面的概念》《平面圖形直觀圖的畫法》高考中“不考”,從而加快教學進度,殊不知問題恰恰出現(xiàn)在這里,因為這里已經(jīng)開始體現(xiàn)《平幾》作圖與《立幾》作圖的區(qū)別和特點.我認為從這里到隨后的《空間兩條直線位置關系》等入門課,應適當放慢速度,多制作幾何模型,或利用多媒體的優(yōu)越性,從多方位、多角度描繪立體圖形,解決平面立體圖形與真實立體圖形在視覺上的差異,循序漸進培養(yǎng)學生“看圖、辨圖、作圖、想圖”能力.還要多給學生畫圖機會,適當展示不同視覺情況下圖形的缺點,讓學生提出該怎樣畫,使學生在不斷改進中提高畫圖能力,并能根據(jù)圖形分析點、線、面的各種位置關系,這是《立幾》入門教學中必須過好的一關.
2.通過初中的學習和生活中對圖形的直觀認識,平面幾何的知識方法在一定程度上已起到負遷移的作用.立體幾何從平面上升為空間后,許多地方與學生原有認知結構發(fā)生了沖突.如平面幾何中一些常用的概念和定理,在立體幾何中卻“失效”了,平面幾何里利用直觀性觀察實驗得出結論的方法,也大都不能奏效了.但學生還是習慣沿用平面幾何的知識方法.針對這種情況,教學中很有必要把平面幾何中相關概念和定理作再認識與辨析、補充和拓展.如“同垂直一條直線的兩條直線平行”在平面幾何中是千真萬確的,在立體幾何中可就有三種位置關系了,再把它變式到“同垂直一個平面的兩條直線平行”、“同垂直一條直線的兩個平面平行”和“同垂直一個平面的兩個平面平行”還正確嗎?讓學生明確平面幾何有關定理在立體幾何中并非拈來就用的.又如“在四面體的四個面中,直角三角形最多有幾個?”學生常常憑直觀想象,也想象不出個所以然來,就要與學生用i垂線定理進行論證,培養(yǎng)學生理性分析問題習慣,而不能僅用平面幾何的慣性思維來考慮,轉變思維方式.
3.不深入理解公理和定理,不善運用定理解題.一些學生學習概念、公理和定理,只是“死背”,而不是深入分析相關定理的內涵、外延和作用,應用定理分析解決問題的能力弱,考試解題時不知從何下手.教學中就要求老師與學生細致分析:定理的作用是什么?需具備什么樣的條件結論才成立?解題中怎樣運用?如三垂線(逆)定理作用是證明兩直線垂直,定理需具備的條件要有面內線、斜線和射影.應用思路是確定垂面——找(作)出垂線——確定斜線和射影——驗證面內線與斜線還是射影垂直——確定結論,而應用關鍵則是找(作)出垂面的垂線.教學中要特別有意識培養(yǎng)學生的應用能力,要有針對性設計應用定理的練習,讓學生會分析,應用所學定理來解決問題,進一步提高解題能力.
4.不懂常規(guī)數(shù)學思想方法的應用.轉化、分類、類比、運動變化思想是《立幾》中重要的思想方法,但學生不懂得運用,死守一隅,使解題中途夭折或出錯.如沿著幾何體表面的最短路程問題,沒有經(jīng)驗的學生就在立體圖形中冥思苦想,就是不得其法.但只要懂得轉化為表面展開圖時,問題轉眼就迎刃而解了.像這樣的轉化,立體幾何中比比皆是:線線平行(或垂直)線面平行(或垂直)、面面平行(或垂直)的轉化、三種角(線線角、線面角、二面角)和四種距離(線線距、點面距、線面距、面面距)的轉化等.實踐證明,教學中適時滲透有關的思想方法,能強化學生思維的目標意識,有助于降低學習難度,溝通知識問的聯(lián)系,發(fā)展思維能力.
5.基礎題型訓練、總結不到位,不能形成自己的知識體系.老師在課堂上對各種基本題型的方法作了展示,學生聽是聽明白了,但不經(jīng)過一定程度的練習和親身感悟.確切地說還是一知半解的.所以老師必須根據(jù)《立幾》主干知識整理編選一些能反映立體幾何通規(guī)通法的問題和習題,強化學生練習,要求學生做好題后糾錯和總結.要總結出:這種內容的題應怎樣切入?用的是什么方法?比如求點到平面的距離和二面角,常規(guī)解法都與點到平面的垂線有關,第一步當然是考慮圖中有沒有點到平面的垂線,如果沒有就要自己作,但怎樣作不是隨意而是有據(jù)的,通常是根據(jù)平面垂直的性質定理“面面垂直一線面垂直”來作.在《立幾》教學和訓練中要落實好這種常規(guī),讓學生從訓練中獲得多次刺激大腦皮層的機會,把基礎題型和主干知識連成片,使知識方法不斷積累,構建起一個《立幾》內容與方法的網(wǎng)絡系統(tǒng),達到轉化數(shù)學學業(yè)不良的目的.