神秘莫測(cè)的角谷猜想

郭宜垚

這個(gè)猜想大約是在20世紀(jì)30年代被提出來的.在西方，它常被稱為西拉古斯（Syracuse）猜想，因?yàn)閾?jù)說這個(gè)猜想首先是在美國(guó)的西拉古斯大學(xué)研究的；而在東方，這個(gè)猜想由將它帶到日本的美籍日本數(shù)學(xué)家角谷靜夫（Shizuo Kakutani）的名字命名，被稱做角谷猜想.除此之外，它還有著一大堆其他各種各樣的名字，這些名字大概都和傳播、研究它的數(shù)學(xué)家或者地點(diǎn)有關(guān)：克拉茲（Collatz）問題，哈斯（Hasse）問題，烏拉姆（Ulam）問題，等等.1996年，B. Thwaites懸賞1 100英鎊來解決這個(gè)猜想.看在“錢大爺”的份上，角谷猜想于是又多了個(gè)名字，叫Thwaites猜想.今天，在數(shù)學(xué)文章或著作里，大家通常簡(jiǎn)單地把它稱做“3X+1 問題”.

角谷猜想的內(nèi)容是這樣的:

對(duì)任何一個(gè)正整數(shù)n，只要對(duì)n反復(fù)進(jìn)行下列兩種運(yùn)算:

（1） 如果n是偶數(shù), 就除以2 ；

（2） 如果n是奇數(shù), 就乘以3再加1.

那么,最后的結(jié)果總是1.

這是一個(gè)形式上很簡(jiǎn)單的問題.要理解這個(gè)問題,所需要的知識(shí)不會(huì)超過小學(xué)三年級(jí)的水平.所以,每一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者都可以來碰碰運(yùn)氣，試試能不能證明它.不過在這里要提醒大家的是，已經(jīng)有“無數(shù)的”數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者嘗試過了，而且其中不乏數(shù)學(xué)天才和世界上一流的數(shù)學(xué)家，他們都沒有成功.事實(shí)上，在互聯(lián)網(wǎng)上已經(jīng)有一些所謂的“證明”,但后來都被專家們否定.據(jù)說還有個(gè)數(shù)學(xué)愛好者跑到公證處去公證他的“證明”，生怕別人把他的好主意給偷跑了.如果你在幾小時(shí)或幾天內(nèi)就找到了一個(gè)“證明”，那么你要把它一步一步地仔細(xì)寫下來，再看看是不是嚴(yán)密、正確，估計(jì)正確的概率可能比連續(xù)中10次彩票頭獎(jiǎng)的概率還要低喲！當(dāng)然,如果你能找到一個(gè)正整數(shù),經(jīng)過猜想所說的運(yùn)算始終得不到1,也算成功了!不過,找這樣一個(gè)正整數(shù)也不容易,因?yàn)閿?shù)學(xué)家們已經(jīng)通過計(jì)算機(jī)驗(yàn)證了,不大于2.702×10¹⁶的所有正整數(shù)都滿足這個(gè)猜想.

這種形式如此簡(jiǎn)單、解決起來卻又如此困難的問題，對(duì)數(shù)學(xué)家們來說實(shí)在是可遇而不可求的. 一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為，角谷猜想的證明難度可能不亞于有著“數(shù)學(xué)王冠上明珠”之稱的哥德巴赫猜想（即每個(gè)大于2的偶數(shù)，都可表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和）的證明難度.數(shù)學(xué)家們已經(jīng)發(fā)表了不少篇嚴(yán)肅的關(guān)于角谷猜想即“3X+1問題”的數(shù)學(xué)論文，對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了各方面的探討，可是這個(gè)問題本身始終沒有被解決.二十多年前，有人向著名的匈牙利數(shù)論學(xué)家保羅·厄爾多斯（Paul Erd?s）介紹了這個(gè)問題，并且問他怎么看待現(xiàn)代數(shù)學(xué)對(duì)這個(gè)問題無能為力的現(xiàn)象，厄爾多斯回答說：“數(shù)學(xué)還沒有準(zhǔn)備好來回答這樣的問題.”

20世紀(jì)奧地利著名數(shù)理邏輯學(xué)家哥德爾（Kurt G?del） 證明了,在以自然數(shù)公理為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)中，總有不可證明的命題存在.公理系統(tǒng)的這種性質(zhì)叫做不完備性.打個(gè)比方說，如果我們只取歐氏幾何的前四條公理，那么平行公理（即經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行）是不能用這前四條公理證明出來的，也就是說，只有前四條公理的幾何是不完備的.

數(shù)學(xué)家們推測(cè)說，我們有可能不能證明“3X+1問題”；甚至，即使“3X+1問題”其實(shí)是錯(cuò)誤的，我們也有可能不能證明這一點(diǎn).當(dāng)然，無論什么數(shù)學(xué)難題都有可能搞得數(shù)學(xué)家們疑神疑鬼，但其實(shí)是他們還沒有發(fā)現(xiàn)證明的方法.不過下面這個(gè)事實(shí)表明，“3X+1問題”離不可證明的問題或許并不太遠(yuǎn).

英國(guó)數(shù)學(xué)家康維（John Horton Conway），喜歡數(shù)學(xué)游戲的朋友可能會(huì)記起他的名字來（著名的“Game of Life”游戲就是他發(fā)明的），在1972年考慮了“3X+1問題”的推廣形式.在“3X+1問題”里，我們把數(shù)字除以2，可能得到2種余數(shù)（0或者1），按照余數(shù)我們使用2個(gè)公式（除以2或者乘3再加1）.康維考慮了除以一個(gè)固定的數(shù)p，按照余數(shù)的不同（這時(shí)就有p種不同的余數(shù)）分別使用p個(gè)公式的情況.然后他提出了一個(gè)類似于“結(jié)果總是1”的猜想.他在論文中證明了，這個(gè)猜想是不可證明的.

互聯(lián)網(wǎng)上有不少網(wǎng)站提供有關(guān)的程序，供數(shù)學(xué)愛好者驗(yàn)證角谷猜想.比如在http://www.numbertheory.org/php/collatz.html，你只要在有關(guān)的頁面上輸入一個(gè)足夠大的正整數(shù)，然后按下“go”，就可以觀察到這個(gè)數(shù)像飛機(jī)一樣忽高忽低，經(jīng)過漫長(zhǎng)的“航程”最后降落在“1”的跑道上的生動(dòng)畫面.