線與數(shù)學(xué)的奇緣

潘國本

線與數(shù)學(xué)可是有奇緣的，信不信？不信請看.

線，可縫衣、織布、扣物、釣魚、做琴弦……能耐多多.如果是毛線，可打毛衣、扎辮子、織圖案……如果是鋼絲，可制鐵釘、做柵欄、做鋼纜……這些用途不必細(xì)說了，但是如果只是筆下一條線，有啥能耐？它能成字、成畫，能表示河岸、大道，能表示等高線、邊界，能表示各種函數(shù)關(guān)系，能表示各種平面圖形的邊、立體圖形的棱、圓形的周、球形的廓……

線與數(shù)學(xué)因緣深深，在平面幾何、立體幾何、解析幾何、非歐幾何中都立下了汗馬功勞.再具體一點(diǎn)，西摩松線、歐拉線、牛頓線、一筆畫曲線都魅力非凡.簡直一條線就有一個(gè)故事，每個(gè)故事都絢麗多彩.說兩則簡單的故事吧！

一位叫莫比烏斯（1790~1868）的德國人，一次與幾個(gè)朋友去鄉(xiāng)村度周末.這個(gè)村莊的周圍有許多湖汊（注：分叉的小河）.他們支起帳篷，開始垂釣、野炊.莫比烏斯看著眼前美景，忽發(fā)奇想，用一段樹枝在地上畫了一個(gè)圖（如圖1），說這些曲線都是湖岸線，若A在岸上，你們說P在湖中還是在岸上？

朋友們看了一會(huì)兒，看不出名堂.莫比烏斯隨即在圖上畫上許多斜線（如圖2），接著說，我們就算這些畫有斜線的陰影都表示湖面吧，這樣，陸地和湖面不就一目了然了嗎？

是啊，就添了些斜線，大家一下子就看清楚P是在湖岸上了.

還有一位比莫比烏斯晚出生48年的法國人，叫若爾當(dāng)（1838~1922），也是一位畫線的高手.他曾經(jīng)對(duì)人說，一條封閉曲線將平面分成了內(nèi)外兩個(gè)部分（他是第一個(gè)對(duì)大家說這一句話的.后來這句話成了一條著名定理，它看似簡單，證明起來卻遠(yuǎn)不輕松）.

他也給朋友提出過一個(gè)類似的問題:一條不相交的封閉曲線S，把平面分成內(nèi)外兩部分，平面上有一點(diǎn)A（如圖3）.請問：點(diǎn)A在曲線S所圍區(qū)域的內(nèi)部還是外部？

對(duì)圖形，朋友感覺模糊，需要仔細(xì)分辨.這時(shí)，若爾當(dāng)在遠(yuǎn)離曲線的地方找了一個(gè)點(diǎn)B，連接AB，隨后說，我們只要數(shù)數(shù)線段AB與曲線S有多少個(gè)交點(diǎn)就可以了，若交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，說明A與B分在S的不同區(qū)域；若交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則說明A與B在S的相同區(qū)域.圖3中AB與曲線有4個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，又B在S所圍區(qū)域的外部，所以A也在曲線S所圍區(qū)域的外部.若爾當(dāng)只畫了一條線段，問題就輕松地解決了.

到這里，你也許會(huì)說，莫比烏斯、若爾當(dāng)各用對(duì)方的方法，不也同樣能解決自己的疑難嗎？

畫一條線，簡單明了，先輩們有心開鑿，居然得到了這么一個(gè)奇妙世界.所以，只要肯動(dòng)腦筋，做個(gè)有心人，你也會(huì)與他們一樣有所發(fā)現(xiàn)的.