認(rèn)識三角形的基本元素和三邊關(guān)系

楊　升

[問題與情境]

1． 觀察圖1的屋頂框架圖．

（1）你能從圖中找出4個不同的三角形嗎？

（2）與同桌交流各人找到的三角形．

（3）這些三角形有什么共同的特點？

2． 元宵節(jié)的晚上，圖1斜梁上裝有黃色彩燈，橫梁上裝有紅色彩燈，那么裝有黃色彩燈的電線與裝有紅色彩燈的電線哪根長呢？說說你的理由．你知道在一個三角形中，任意兩邊之和與第三邊的長度有怎樣的關(guān)系嗎？為什么會有這樣的關(guān)系？

[開眼界]

“幾何”這個詞來源于希臘文，原意是土地測量．在遠(yuǎn)古時代，人們在實踐中積累了平面、直線、方、圓、長、寬等概念，并逐步認(rèn)識了它們之間的位置和數(shù)量關(guān)系，這些后來就成了幾何學(xué)的基本概念．真正把幾何總結(jié)成一門具有嚴(yán)密理論的學(xué)科的是希臘杰出的數(shù)學(xué)家歐幾里得．他非常詳盡地搜集了當(dāng)時所能知道的一切幾何事實，按著柏拉圖和亞里士多德提出的關(guān)于邏輯推理的方法整理成 一套嚴(yán)密系統(tǒng)理論，寫成了數(shù)學(xué)史上的早期巨著——《幾何原本》，歐幾里得的《幾何原本》共13卷，第一卷講三角形全等的條件、三角形邊角關(guān)系、平行線理論、多邊形的面積等問題；第二卷講如何把三角形變成等積（面積）的正方形；第三卷講圓；第四卷討論內(nèi)切和外接多邊形；第五卷講相似多邊形理論；第六到第十卷講比例和算術(shù)理論；最后3卷講述立體幾何的內(nèi)容.

[經(jīng)典例析]

例1（1）如圖2，圖中共有[ ]個三角形，它們分別是[ ]．

（2）以AD為邊的三角形有[ ]．

（3）∠C分別為△AEC、△ADC、△ABC中[ ]、[ ]、[ ]邊的對角.

（4）∠AED是[ ]、[ ]的內(nèi)角.

答案：（1）6△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC

（2）△ABD、△ADE、△ADC

（3）AE AD AB

（4）△ADE △ABE

理解三角形的含義有三個要點：①不在同一直線上；②三條線段；③首尾順次相接．這三點缺一不可．三角形用符號“△”表示；頂點是A、B、C的三角形記作“△ABC”，在復(fù)雜圖形中數(shù)三角形時，要注意做到不重不漏．在數(shù)三角形個數(shù)時，可先固定一個頂點，變換另兩個頂點，依次數(shù)下去，要按一定的順序去找，才能不重不漏；圖2中都有一個公共點A，只需在BC上找出所有的線段，BC上共有6條線段：BD、BE、BC、DE、DC、EC，運用這種有序化的數(shù)學(xué)思路來找，便可找出圖中所有三角形.

例2 有兩根長度分別為5 cm和8 cm的木棒．用長度為2 cm的木棒與它們能擺成三角形嗎？為什么？長度為13 cm的木棒呢？

解：取長度為2 cm的木棒時，由于2 ＋ 5 ＝ 7 ＜ 8，出現(xiàn)了兩邊之和小于第三邊的情況，所以它們不能擺成三角形.

取長度為13 cm的木棒時，由于5 ＋ 8 ＝ 13，出現(xiàn)了兩邊之和等于第三邊的情況，所以它們也不能擺成三角形.

三角形的三邊關(guān)系為：三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形任意兩邊之差小于第三邊，巧記為“和者大，差者小”.該關(guān)系有兩個作用：①判斷三條線段能否組成三角形．通常采用較短兩邊的和與最長邊（或最長邊與所剩兩邊中的一條邊的差與另一邊）的大小關(guān)系來得結(jié)論，若大于（或小于），則可以組成三角形，否則不能組成三角形．②確定三角形第三邊的取值范圍．當(dāng)已知兩邊求第三邊的取值范圍時，第三邊必須滿足“兩邊之差的絕對值＞第三邊＞兩邊之和”，即如果已知三角形的兩邊a和b，第三邊為c，則有a－b ＜ c ＜ a ＋ b．

[即學(xué)即練]

1． 下列圖形是三角形的為（）．

2． 以下列各組線段為邊，能組成三角形是（）．

A． 2 cm，2 cm，5 cm B． 4 cm，7 cm，3 cm

C． 5 cm，2 cm，8 cm D． 11cm，9 cm，6 cm

3． 已知三條線段的長度之比如下，其中能夠組成三角形的是（）．

A． 2∶3∶4B． 3∶4∶7C． 1∶2∶4D． 4∶5∶10

4． 一位木工師傅現(xiàn)有兩根木條，它們的長分別為50 cm、70 cm，他要選擇第三根木條，將它們釘成一個三角形木架．設(shè)第三根木條長為x cm，則x的取值范圍是[ ]．

5． 四條線段的長分別為5 cm、6 cm、8 cm和13 cm，以其中任意三條線段為邊可構(gòu)成[ ]個三角形.

6． 指出圖3中有幾個三角形，并用符號寫出來.

7． 如果三角形的兩邊長分別是2和4，且三角形的周長為3的倍數(shù)，則三角形的第三邊長為多少？

8． 在三角形中，一邊長等于另一邊長的2倍，試探究該三角形的最短邊與周長的關(guān)系，并說明理由.

9． 有三段粗細(xì)均勻且直徑相同的鋼筋，長度分別是a cm、b cm和x cm，恰好可以圍成一個三角形，其質(zhì)量分別是20 kg，30 kg和p kg，求p的取值范圍（鋼筋質(zhì)量與長度成正比）.

10． 如圖4，AB ＝ BC ＝ AC ＝ 4，將三邊均分為4等份．問：圖中共有多少個三角形？

[中考風(fēng)向標(biāo)]

1． （2006年·常德市）有4條線段，它們的長分別為1 cm、2 cm、3 cm和4 cm，從中選三條構(gòu)成三角形，其中正確的選法有（）．

A． 1種 B． 2種 C． 3種 D． 4種

2． （2007年·貴陽市）在△ABC中，若AB ＝ 8，BC ＝ 6，則第三邊AC的長度m的取值范圍是[ ]．

參考答案：1． A2． 2 ＜ m ＜ 14

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