多邊形學(xué)習(xí)要點(diǎn)

孫琪斌

一、主要學(xué)習(xí)目標(biāo)

1. 認(rèn)識(shí)多邊形的內(nèi)角和外角.

學(xué)習(xí)“多邊形及其內(nèi)角和”這節(jié)內(nèi)容，首先要知道三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形.可根據(jù)圖1所示的結(jié)構(gòu)圖領(lǐng)會(huì)三角形的角與多邊形的角之間的聯(lián)系.

2. 體會(huì)“化未知為已知”的數(shù)學(xué)思想，掌握多邊形的內(nèi)角和公式.

三角形的內(nèi)角和是180°，那么求四邊形的內(nèi)角和問(wèn)題（未知），是否可以使用“化未知為已知”的思想，將求四邊形的內(nèi)角和問(wèn)題（未知）轉(zhuǎn)化為計(jì)算三角形的內(nèi)角和問(wèn)題（已知）呢？下面給出了將四邊形劃分為三角形的幾種方法，如圖5、圖6、圖7，你能借助這些圖形計(jì)算出四邊形的內(nèi)角和嗎？

如圖5，過(guò)四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，可以作出對(duì)角線AC，將四邊形ABCD劃分為2個(gè)三角形：△ABC、△ADC.四邊形ABCD的內(nèi)角和為

∠BAD+∠B+∠BCD+∠D

=（∠BAC+∠DAC） +∠B+（∠BCA+∠DCA）+∠D

=（∠BAC+∠B+∠BCA）+（∠DAC+∠DCA+∠D）

=180°+180°=360°.

類(lèi)似地，我們可以過(guò)五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出2條對(duì)角線，將五邊形劃分為3個(gè)三角形（如圖8）；過(guò)六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出3條對(duì)角線，將六邊形劃分為4個(gè)三角形（如圖9）……由此可以得出五邊形、六邊形……的內(nèi)角和（如表1）.

表1

在六邊形ABCDEF的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，將這些外角的和稱(chēng)為六邊形的外角和.如圖10中的∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6. 每個(gè)外角與其相鄰內(nèi)角的和都為180°，于是有6×180°-（6-2）×180°=360°.故六邊形的外角和等于360°.

同理，對(duì)于n邊形，可以得到n邊形的外角和：n×180°-（n-2）×180°=360°.

二、典型例題與學(xué)習(xí)建議

例1如果一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都是144°，則這個(gè)多邊形是邊形.

解法1：（從內(nèi)角的角度思考）設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式（n-2）×180°，可得方程（n-2）×180=144n. 解這個(gè)方程，得n=10.

所以這個(gè)多邊形是十邊形.

解法2：（從外角的角度思考）這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都是144°，因此這個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于180°-144°=36°.

因此，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是=10.

【學(xué)習(xí)建議】要學(xué)會(huì)從不同的角度思考問(wèn)題，能巧妙運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，同時(shí)要有建立方程解決問(wèn)題的意識(shí).

例22008年奧運(yùn)會(huì)在北京舉辦，李明同學(xué)想設(shè)計(jì)一個(gè)內(nèi)角和是2 008°的多邊形圖案.他的想法能實(shí)現(xiàn)嗎？試說(shuō)明理由.

解：假如李明同學(xué)所設(shè)計(jì)的這個(gè)內(nèi)角和是2 008°的多邊形的邊數(shù)為n，依據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，可得方程（n-2）×180=2 008.

解這個(gè)方程：n-2=，n-2=11，n=13.

因?yàn)樗蟮玫膎的值13不是正整數(shù)，所以，我們可以知道李明同學(xué)想設(shè)計(jì)的這個(gè)內(nèi)角和為2 008°的多邊形不存在.

【學(xué)習(xí)建議】類(lèi)似這樣的存在性問(wèn)題，可以先假設(shè)其存在，然后構(gòu)造方程，根據(jù)所求得的值來(lái)確定問(wèn)題的答案.