計(jì)數(shù)問(wèn)題常見(jiàn)錯(cuò)誤例析

戴三紅

計(jì)數(shù)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重要問(wèn)題之一，排列組合是特殊的計(jì)數(shù)問(wèn)題，也是高考考查的經(jīng)典內(nèi)容之一，、通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，有深厚的實(shí)際應(yīng)用背景，此類問(wèn)題概念性強(qiáng)，思考方法和解題技巧特殊，掌握“分步相乘、分類相加、有序排列、無(wú)序組合”的原理和方法，并能加以靈活運(yùn)用是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，下面稍舉幾例，幫助同學(xué)們加深對(duì)此原理和方法的理解，避免出現(xiàn)類似錯(cuò)誤。

一、分組重復(fù)

例1某校安排5個(gè)班到4個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去1個(gè)

工廠，每個(gè)工廠至少安排1個(gè)班，不同的安排方法共有__________種，(用數(shù)字作答)

錯(cuò)解1：不同的安排方法共有A^5/4=120種。

錯(cuò)解2：先從5個(gè)班中選出4個(gè)班，每個(gè)班去1個(gè)工廠，有A^5/4=120種方法；再將剩下的1個(gè)班隨機(jī)安排去4個(gè)工廠中的某1個(gè)，這樣不同的安排方法共有120×4=480種，

錯(cuò)因：錯(cuò)解1是一種比較典型的錯(cuò)誤，原因是很多同學(xué)碰到此類問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有進(jìn)行深入細(xì)致的分析，直接套用排列數(shù)或組合數(shù)公式，對(duì)于錯(cuò)解2，5個(gè)班到4個(gè)工廠去實(shí)踐，則必定有2個(gè)班去同一個(gè)工廠，對(duì)于這2個(gè)班，無(wú)論先安排哪一個(gè)去工廠，結(jié)果都是一樣的，屬同一種安排方法，而錯(cuò)解2誤將2個(gè)班按不同順序去同一個(gè)工廠的情況看作是不同的，當(dāng)作2種安排方法，導(dǎo)致多解的錯(cuò)誤，因此，應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理時(shí)，要保證所分的步驟之間是有先后順序差異的。

正解1(以班級(jí)為研究對(duì)象)：先將5個(gè)班分成4組，有C²₅種不同的分法；再將4個(gè)組安排到4個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，有A^4/4種不同的方法，由分步計(jì)數(shù)原理得，不同的安排方法共有c²₅·A⁴₂=240種，

正解2(以工廠為研究對(duì)象)：由題意可知，必有2個(gè)班到同1個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，則可先將其中的2個(gè)班安排到某個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，有c²₅種不同的安排方法；再將剩下的3個(gè)班安排到剩下的3個(gè)工廠，有A³_{2種不同的安排方法，由分步計(jì)數(shù)原理得，不同的安排方法共有c²3·c¹3A³2=240種。}

點(diǎn)評(píng)：解題時(shí)一般可以或從元素(本例中的班級(jí))，或從位置(本例中的工廠)的角度來(lái)思考問(wèn)題，應(yīng)避免出現(xiàn)同時(shí)從兩個(gè)角度思考問(wèn)題而導(dǎo)致混亂出錯(cuò)的情況，

例2某校高二年級(jí)共有6個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要分到該年級(jí)的2個(gè)班級(jí)中，每班分到2名，則不同的分法種數(shù)為

(A)A^6/2c^4/2

(B)2/1 A^6/2c^4/2

(c)A^6/2A^4/2

(D)2AA^5/2

錯(cuò)解：先將4名學(xué)生平均分成2組，有cA^4/2種分法；再將這2組同學(xué)分別安排到6個(gè)班級(jí)中的2個(gè)，有AA^6/2種安排法，由分步計(jì)數(shù)原理得，不同的分法種數(shù)為AA^6/2CA^4/2選A

錯(cuò)因：這是涉及平均分組的問(wèn)題，分出來(lái)的各組是平等的，沒(méi)有先后順序的差別，錯(cuò)解正是忽視了這一點(diǎn)，重復(fù)進(jìn)行分組，導(dǎo)致多解，

正解：分兩步進(jìn)行，先將轉(zhuǎn)入的4名學(xué)生平均分成2組，有4/1C^4/2種分法；再將這2組同學(xué)分別安排到6個(gè)班級(jí)中的2個(gè)，有AA^6/2種安排法_由分步計(jì)數(shù)原理得，不同的分法種數(shù)為2/1AA^6/2CA^4/2選B-

點(diǎn)評(píng)：平均分組問(wèn)題是排列組合中的難點(diǎn)之一，同學(xué)們?cè)谂龅椒纸M問(wèn)題時(shí)應(yīng)首先區(qū)分是平均分組還是非平均分組，將mn(m.NEN)個(gè)不同的元素平均分成m組的分法有2種，

三、分類情形不全面

例3某禮堂的主席臺(tái)有2排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不能左右相鄰，那么不同的坐法種數(shù)是

(A)334

(B)346

(C)350

(D)363

錯(cuò)解1：如果安排2人分別在前后2排就座，有8x12xA~=192種不同的坐法；如果安排2人都在前排就座，有4x4xAA^2/2=32種不同的坐法；如果安排2人都在后排就座，有A²₁₁=110種不同的坐法，

由分類計(jì)數(shù)原理知，符合要求的不同的坐法種數(shù)是192+32+110=334種，選A，

錯(cuò)解2：若不考慮2人是否相鄰，有A²₂₀=380種不同的坐法，2人相鄰的坐法：都在前排左側(cè)和都在前排右側(cè)的坐法各有3種，都在后排的坐法有11種，所以符合要求的坐法種數(shù)是380-3-3-11=363種，選D，

錯(cuò)因：錯(cuò)解1從正面人手考慮符合條件的情形，但當(dāng)符合條件的情形較多時(shí)，容易遺漏某種情形，錯(cuò)解1正是由于忽略了2人同在前排就坐且坐在中間3個(gè)空位同側(cè)的情形，才導(dǎo)致漏解，錯(cuò)解2從反面人手，在所有情形中排除不符合條件的情形，不失為一個(gè)好思路，但錯(cuò)解2在考慮不符合條件的情形時(shí)，卻忽略了2人相鄰時(shí)，再交換2人的位置又是一種不同的坐法，

正解1：如果安排2人分別在前后2排就座，有8×12xA²₂=192種不同的坐法，如果安排2人都在前排就座，有兩種情形：若2人分別坐在中間3個(gè)空位的兩側(cè)，有4x4xAA²₂=32種不同的坐法；若2人坐在中間3個(gè)空位的同側(cè)，有2xAA²₃=12種不同的坐法，如果安排2人都在后排就座，有A²₁₁=110種不同的坐法

由分類計(jì)數(shù)原理可知，符合要求的不同的坐法種數(shù)是192+32+12+110=346種，選B，

正解2：若不考慮2A是否相鄰，則共有A²⁰=380種不同的坐法，2人相鄰的情形：都在前排左側(cè)和都在前排右側(cè)的坐法各有3xA²₂=6種，都在后排的坐法有l(wèi)lxA²A₂=22種，所以符合要求的坐法種數(shù)是380-6-6-22=346種.選B.

點(diǎn)評(píng)：有關(guān)“相鄰與不相鄰”的問(wèn)題是一類基本的排列組合應(yīng)用問(wèn)題，“捆綁法”與“插空法”是解決這類問(wèn)題的常用方法，應(yīng)能非常熟練地掌握和使用，“正難則反”是解決情形復(fù)雜的排列組合問(wèn)題的基本策略之一，

例4某城市在中心廣場(chǎng)建造了一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分(見(jiàn)圖1)，現(xiàn)要在花圃中栽種4種不同顏色的花，每部分栽種1種顏色的花，且相鄰部分栽種的花的顏色不同，則不同的栽種方法有——種，(以數(shù)字作答)

錯(cuò)解：第1部分可以栽種4種不同顏色的花；第2部分可以栽種3種不同顏色的花；第3，4，5，6部分各可以栽種2種不同顏色的花由分步計(jì)數(shù)原理得，不同的栽種方法有4×3×2A⁴=192種，

錯(cuò)因：上述解法并不能保證第2部分與第6部分栽種的花的顏色是不同的，

正解：先在第1，2，3部分栽種3種不同顏色的花，有A=24種方法，

如果第5部分栽種與第1，2，3部分顏色不同的花，此時(shí)第4部分只能栽種與第2部分顏色相同的花，第6部分只能栽種與第3部分顏色相同的花，只有1種方法；如果第5部分栽種與第2部分顏色相同的花，此時(shí)第4部分只能栽種與第1，2，3部分顏色不同的花，第6部分能栽種與第1，2部分顏色不同的花，共有2種方法；如果第5部分栽種與第3部分顏色相同的花，此時(shí)第6部分只能栽種與第l，2，3部分顏色不同的花，第4部分能栽種與第1，3部分顏色不同的花，共有2種方法。

結(jié)合分步計(jì)數(shù)和分類計(jì)數(shù)原理可知，不同的栽種方法有24x(1+2+2)=120種。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)綜合性的排列組合問(wèn)題，只有做到分類分步合理、嚴(yán)密，才能做到“不重不漏”